Файл: И. Е. Малова, С. К. ГороховаН. А. Малинникова, Г. А. Яцковская.pdf

Приложения
404
Поскольку
ΔS(x) = S(x + Δx) – S(x), то выясним геометриче
ский смысл
ΔS(x)
(пусть
Δх > 0).
S(x) — площадь, заштрихованная наклонными линиями,
S(x +
Δx) — площадь, заштрихованная горизонтальными линия
ми, тогда
ΔS(x) — это площадь, только с горизонтальной штри
ховкой, эта фигура тоже является криволинейной трапецией.
Рассмотрим прямоугольник: S
пр.
=
=
ΔS(x).
c
∈ [x, x + Δx], ΔS = f(c)·Δx,
( )
S x
x
Δ
Δ
=
= f(c).
При
Δx → 0, c → x, f(c) → f(x), так как
f(x) непрерывна на [a, b],
( )
S x
x
Δ
Δ
→
→ S′(x), т. е. S′(x) = f(x), S(x) —
первообразная функции f(x) на [a, b].
Комментарий при построении рисунка 3 и выполнении записей на
доске. Возьмем теперь прямоугольник той же площади
ΔS(x),
опирающейся на отрезок [x, x +
Δx].
Пересечет ли верхняя сторона прямоугольника график функ
ции f(x)? Да, потому что:
1) функция f(x) непрерывна;
2) прямоугольник имеет ту же площадь, что и криволинейная трапеция, а если он содержится в криволинейной трапеции, то его площадь будет меньше
ΔS(x), а если содержит криволиней
ную трапецию, то его площадь будет больше
ΔS(x).
Итак, верхняя сторона прямоугольника пересечет график функ
ции в некоторой точке с абсциссой c
∈ [x, x + Δx]. Как известно,
S прямоугольника равна произведению смежных сторон, но одна сторона прямоугольника
Δx, а другая — f(c), тогда f(c)·Δx —
площадь прямоугольника и
ΔS = f(c)·Δx.
Разделив обе части равенства на
Δx, мы и получим
( )
S x
x
Δ
Δ
= f(c).
Рис. 3
x
c
x +
Δx

405
При
Δx → 0, c → x, а f(c) → f(x), так как f(x) непрерывна на [a, b],
а
( )
S x
x
Δ
Δ
→ S′(x), т. е. S′(x) = f(x), значит, S(x) — первообразная функции f(x) на [a, b].
Комментарий к последнему выводу. Главное дело сделано. Те
перь осталось совсем чутьчуть.
Учитывая основное свойство первообразных, мы любую пер
вообразную функции f можем записать в виде
S (x) = F(x) + C.
Как найти C? Вспомним, что S(a) = 0 и S(b) = S. Тогда: S(a) =
= F(a) + C = 0, отсюда C = –F(a).
S = S(b) = F(b) + C; но C = –F(a), тогда S = F(b) – F(a).
Запись на доске:
S(x) = F(x) + C.
S(a) = 0. Тогда: S(a) = F(a) + C = 0, C = –F(a).
S = S(b) = F(b) + C; но C = –F(a), тогда S = F(b) – F(a).
Подведение итогов.
Вот мы и доказали теорему. Оказалось, что для вычисления площади криволинейной трапеции, надо найти первообразную для функции f(x), ограничивающей эту трапецию на отрезке
[a, b], и вычислить ее приращение F(b) – F(a).
Давайте еще раз внимательно посмотрим на доказательство этой теоремы и проанализируем его, выделив основные этапы.
1) Ввели новую функцию S(x) на [a, b].
2) Доказали, что, S
′(x) = f(x), используя определение произ
водной и заменив криволинейную трапецию прямоугольником той же площади.
3) Записали S(x) через F(x) + C, используя основное свойство первообразной, и нашли С из того, что S(a) = 0.
4) Нашли S, из того, что S = S(b).
На доске изображены геометрические фигуры в системе коор
динат. Все ли изображенные фигуры являются криволинейными трапециями? (Учащиеся исключают случай в.) Для всяких ли
Часть XI. Личностно ориентированный урок
а
б
в
г
д

Приложения
406
криволинейных трапеций можно использовать доказанную тео
рему? (Учащиеся исключают случай г.) Совпадет ли в случае д
результат вычисления площади трапеции по старой и по новой формуле? (Учащиеся запрашивают данные и предлагают способ проверки.) Совпадет ли в случае б результат вычисления площади треугольника по старой и по новой формуле? (Учащиеся запра
шивают данные и предлагают способ проверки.)
Вот теперь мы можем поставить точку.
Приложение 65
Прием затребованной помощи
Прием затребованной помощи предназначен для преодоления учащимися затруднений на этапах: анализа условия задания,
поиска способа его выполнения, составления плана решения,
оформления решения. По запросу учащегося учитель предостав
ляет ему в письменном виде рекомендации для осуществления соответствующего этапа деятельности, а затем карточку для са
мопроверки выполнения данных ему рекомендаций.
Пример осуществления приема затребованной помощи
(на основе материалов В.А. Волковой — учителя г. Карачева Брянской области)
Учащимся сообщается, что по предложенному заданию можно запросить помощь:
а) по проведению (проверке) анализа условия задачи,
б) по проведению (проверке) поиска решения задачи,
в) по проверке плана решения,
г) по проверке решения.
В соответствии с запросом им будет дана карточка, на лицевой стороне которой представлены рекомендации (левая сторона пуб
ликуемых карточек), а на обратной — материалы для самопро
верки (или иной вариант решения) (правая сторона публикуемых карточек).
Задание. Решите задачу несколькими способами ([75], № 1041).
Вычислите
3 2
( )
f x dx
−
∫
, если график функции y = f(x) изображен на
рисунке.

407
Часть XI. Личностно ориентированный урок
y
x
3 2
1 1 2 3
–1
–2
–3
–2
–3
Проанализируем условие задачи
Результат анализа (карточка № 1)
1. Перечислите все, что можно оп
ределить по предложенному ри
сунку.
1. По рисунку можно определить:
а) функция является кусочной,
б) координаты точек, через кото
рые проходит график, в) уравнения каждой части графика (у = 1, у = –х).
2. Что известно об искомом инте
грале?
3. Как связаны обнаруженные по рисунку данные и искомый инте
грал?
4. Что требуется в задании?
2. В искомом интеграле известны границы интегрирования.
3. а) данный график является гра
фиком подынтегральной функции,
б) связаны понятием площади.
4. Вычислить значение определен
ного интеграла.
Проведем поиск решения
Результат поиска (карточка № 2)
1. Как обычно находим значение определенного интеграла? (Пе
речислите известные вам способы.)
2. Что необходимо знать, чтобы про
извести вычисления первым спосо
бом (вторым способом, ...)? При ка
ких условиях можно пользоваться этим способом? Все ли условия вы
полняются для данного примера?
Какие теоретические сведения мо
гут помочь учесть особенности при
мера?
1. Вычислить определенный инте
грал можно аналитически, зная уравнение подынтегральной функ
ции. Можно вычислить, опираясь на понятие площади фигуры.
2. Для аналитического способа на
до знать уравнение подынтеграль
ной функции, это уравнение долж
но быть одно, а у нас два. Можно воспользоваться свойством адди
тивности определенного интеграла:
( )
( )
( )
b
c
b
a
a
c
f x dx
f x dx
f x dx
=
+
∫
∫
∫
. Для

Приложения
408
Решение аналитическим способом
Решение геометрическим способом (карточка № 4)
Окончание табл.
План решения аналитическим способом
План решения геометрическим способом (карточка № 3)
1) Найдем уравнения частей графика,
2) искомый интеграл заменим сум
мой интегралов,
3) вычислим значения полученных интегралов, затем их сумму.
1) Построим фигуры, площади ко
торых требуется вычислить (это тра
пеция и треугольник),
2) найдем площадь каждой фигуры,
3) из площади трапеции вычтем площадь треугольника.
Проведем поиск решения
Результат поиска (карточка № 2)
3. Составьте план выполнения за
дания обнаруженными способами.
графического способа надо иметь криволинейную трапецию, ограни
ченную функцией, которая не ме
няет знака на рассматриваемом про
межутке, в данном случае фигура ограничена графиком функции, ко
торая меняет знак на [–2, 3]. Мож
но воспользоваться свойством, что в случае, если функция принимает отрицательные значения на [а, b],
то
( )
b
a
f x dx
S
= −
∫
3. План решения (смотри карточку
№ 3).
3
трап.
треуг.
2
( )
f x dx S
S
−
=
−
=
∫
f x dx
dx
x dx
x
x
( )
(
)
(
)
=
+ −
=
=
−
= − + −
−
⎛
−
−
−
−
−
−
−
∫
∫
∫
2 3
2 1
1 3
2 1
2 1
3 1
2 1 2 9
2 1
2
⎝⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −3
= + ⋅ − ⋅ = −
1 2 2
1 3 3 2
3

409
Приложение 66
Конспекты двух последовательных уроков
Нахождение числа по его дроби
Урок № 1
Цели: Продолжить работу с дробями. Научиться решать задачи
на нахождение числа по его дроби. Установить связи с прошлым
опытом учащихся. Привлечь учащихся к активному поиску решения
задачи.
Ход урока
Чтобы продолжить нашу работу на уроках, вернемся к про
шлому уроку, подведем итоги самостоятельной работы.
I. Анализ самостоятельной работы.
Задание. В чем заключается допущенная вами ошибка?
Учащиеся называют ошибку и либо сами ставят перед собой задачу с ней справиться, либо учащиеся дают свои рекоменда
ции, как это сделать.
II. Повторение. «Копилка знаний и умений».
Ученики называют, а учитель находит карточку и укладывает в «копилку». В «копилке» на доске полоскикарточки:
«Сложение и вычитание дробей».
«Умножение и деление дробей (чисел)».
«Применение законов сложения и умножения».
«Нахождение дроби от числа».
«Нахождение процентов от числа».
III. Изучение нового. «Нахождение числа по его дроби».
1. Учащиеся читают тему урока и задают вопросы:
Появится ли новое правило?
Будем решать конкретную задачу и самостоятельно?
Вести поиск новых знаний, совершать открытие?
Будем ли читать учебник и сопоставлять наши выводы с предло
женными авторами учебника?
Какую пользу принесут нам новые знания? И др.
(Эти вопросы записываются на дополнительную доску, чтобы в них увидеть мотив для деятельности.)
Часть XI. Личностно ориентированный урок

Приложения
410 2. Итак, задача.
Сейчас чудесное время года – зима. Но снег хорош не на катке.
Ребятам нашей школы нужно расчистить для катка
2 5
школьного
двора, что составляет 800 м
2
. Какова площадь школьного двора?
Как мы с вами поступим? Мы не пойдем на школьный двор,
заснеженный и заметенный, выполнять практическую работу.
Как быть?
1. Мы запишем краткое условие.
2. Попробуем воспользоваться прежними знаниями.
3. Попытаемся поискать правило.
На доске:
Школьный двор — ?
х (м
2
)
Расчистили —
2 5
,
2 5
х (м
2
)
что составляет 800 м
2
или 800 (м
2
).
Предлагается детям подумать и высказать свои соображения и предложения.
С
1
. Мы такие задачи уже решали в 3 классе.
П
1
. Воспользуемся правилом третьего класса.
Один ученик формулирует правило: Чтобы найти число по значению его дроби, надо это значение разделить на числитель дроби и результат умножить на знаменатель.
Другой объясняет, почему так, ссылаясь на понятие числителя и знаменателя дроби.
С
2
. Я вижу, что мне нужно найти по стрелке дробь от числа.
Есть правило.
П
2
. Но число мне не известно, значит, это число я обозначу за
х и, воспользовавшись правилом, составлю уравнение, используя еще одно данное задачи.
Предложения принимаются. На доске (все выделения и стрел
ки возникнут позже):
800 : 2 · 5 = 2000 (м
2
)
2 5
x = 800, x = 800 :
2 5
, x = 800 ·
5 2
, x = 2000.
Ответ: 2000 м
2
записи после черты возни
кают позже

411
Сравнив полученные ответы, делаем вывод, что задача решена верно.
Звучит вопрос: Почему, умея решать задачу так, она выделяется в отдельной теме в 6 классе?
Задание. Отметить на доске цветным мелом ту часть записи,
с помощью которой можно сформулировать новое правило.
Вывод. Чтобы найти число по данному значению его дроби,
надо это значение разделить на дробь.
3. Предлагается составить свою задачу и записать кратко ее условие в тетрадь. Тот, кто выполнил эту работу, пишет условие на доске, указывая свою фамилию, затем читаем все, решаем устно.
4. Как же пополнить нашу копилку? Зашифровать все такие задачи. Не важно, говорится ли о катке, бананах, пошивочной мастерской, озеленении, певчих птицах и т. д., не важно, какая дробь задана в условии (обыкновенная или десятичная), не важ
но, какое именно число соответствует указанной дроби. На доске:
Число — ?
Число находим
a
b
, что составляет С.
С :
a
b
IV. Закрепление.
1. Работаем с учебником, анализируем текст п. 18. Учащиеся высказывают свои соображения (им нравится самим совершать открытия).
2. Читаем предложенные задачи № 631, 632, 633. Отвечаем на вопрос: что общего в этих задачах?
3. Переходим к № 634, 635. Выясняем, что с этими задачами легко справиться, применив свои знания о том, что число процен
тов можно записать дробью, а затем применить найденное правило.
4. Как иначе можно выполнить № 634, 635? (Решаются задачи на проценты.)
5. После обзора опорных задач учащимся предлагается офор
мить в тетради решение одной из них несколькими способами.
6. Подводятся итоги решению, и что полезного для себя каж
дый получил на уроке.
7. Домашнее задание:
1) п. 18 (правило),
2) составить свою задачу (с решением в кармашке),
3) попробовать объяснить решение задачи: 40% от 40% неко
торого числа т равны 6,4. Найти число т.

Приложения
412
Урок № 2
Цели: Учиться решать задачи на основе опорной. Искать спосо
бы решения одной задачи. Показать применение новых знаний на
примерах из жизни.
Ход урока
I. а) Итоги прошлого урока (чему научились?).
б) На прошлом уроке одной из задач, стоящих перед нами,
была такая: Какую пользу принесут нам новые знания? Как вы думаете, как можно ответить на этот вопрос?
На доске записываются предложения учащихся:
• сможет решать более сложные задачи,
• составлять свои задачи,
• распознавать среди других .
II. Закрепление. Сегодня я предлагаю применить свои знания.
На доске написаны краткие условия задач и даны схемы действий. Укажите, какие из них являются верными.
Задача 1. Заказ — ?
I завод —
8 25
II завод — 0,4
III завод — ост. 280 т
I
II
III
IV
1) +
2) –
3) :
1) +
2) :
1) –
2) –
3) :
1) ·
2) +
3) –
4) :
Какие вопросы возникли? (Не ука
зана зависимость,
после этого появ
ляются стрелки,
показывающие,
что части даны от всего заказа.)
I
II
III
1) :
1) –
2) ·
1) –
2) :
I
II
III
1) +
2) –
3) :
1) –
2) ·
3) –
4) :
1) –
2) –
3) :
Задача 2. Весь путь — ? (км)
Прошли
— 12%
Осталось — 440 км
Задача 3.
Площадь сад. учка — ? (м
2
)
Капуста
—
2 7
Картофель —
1 4
ост. пл.
Помидоры — 42 (м
2
).

413
Задача 4.
Игрушки на елке — ? (шт.)
Шары —
5 24
Сказочные фигурки — 0,8
Гирлянды
Учащиеся своим «вставанием» сигналят о готовности указать верный ход решения.
Проговариваем свое объяснение. Лишние схемы стираются с доски.
III. Работа в группах (по сборнику дидактических материалов оформляют решение задач № 151 и 152).
В это время учитель проверяет выполнение домашнего зада
ния, ищет задачи с интересным содержанием. Листочки вывеши
вает на доску.
Учащиеся той группы, которая справилась с самостоятельной работой, могут познакомится с задачами, появившимися на доске.
IV. Итоги работы с высказыванием личного отношения к уроку,
степени личного участия («Раньше..., теперь...»)
V. Домашнее задание: 1) Записать решение задачи (с. 101),
которую можно назвать «контрольной» задачей по данной теме.
2) Один банк предлагает вкладчикам 12% годовых, другой – 75%
того, что предлагает первый банк. А в третьем банке годовые составляют 101% годовых второго банка. В какой банк вы посо
ветуете внести деньги?
Приложение 67
Урок открытой контрольной работы
Разложение многочленов на множители (фрагмент)
Цели: Организовать консультации по возникшим во время изучения
темы вопросам, обобщить изученные способы разложения многочле
нов на множители, выявить типичные ошибки учащихся, опреде
лить готовность учащихся к контрольной работе.
Часть XI. Личностно ориентированный урок
I
II
III
1) +
2) :
1) +
2) –
3) :
1) ·
2) +
3) –
4) :