Файл: Учебное пособие по дисциплине Механика Модуль Прикладная механика.docx

 

Теория наибольших линейных деформаций (II теория прочности, Мариотт, 1682 г.)

В основу теории наибольших линейных деформаций положена гипотеза о преимущественном влиянии наибольших по абсолютной величине линейных деформаций.

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее из относительных удлинений достигает опасной величины, соответствующей пределу прочности при простом растяжении.

Опыты этого не подтверждают. В связи с этим данная теория для расчета деталей не используется.

Теория наибольших касательных напряжений (III теория прочности; Кулон, 1773 год)

В основу теории наибольших касательных напряжений положена гипотеза о преимущественном влиянии наибольших по абсолютной величине касательных напряжений.

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее из касательных напряжений достигает величины, соответствующей пределу текучести при простом растяжении.

Предельное значение максимальных касательных напряжений при растяжении



Сравнивая с условием наступления предельного состояния (13), получим эквивалентное напряжение по III теории прочности:

На практике встречаются случаи, когда σ_y =0, тогда



Условие прочности (31) хорошо согласуется с результатами испытания изотропных материалов, поэтому данная теория широко применяется для расчета деталей из металлических материалов.

 

Теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения (IV теория прочности; Бельтрами - 1885 г.; Губер - 1904 г.)

В основу энергетической теории прочности положена гипотеза о преимущественном влиянии удельной потенциальной энергии изменения формы.

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия изменения формы достигает величины, соответствующей пределу текучести при простом растяжении

---

.

В частном случае, когда σ_y =  0, то, приняв σ_x = σ и τ_xy = τ, найдем



Рассмотренная теория хорошо согласуется с экспериментами для пластичных материалов и широко применяется на практике.

Теория прочности Мора (V теория прочности)

Теория прочности Мора позволяет учесть различие в свойствах материалов при растяжении и сжатии. Ее можно получить путем модификации теории наибольших касательных напряжений в соответствии с уравнением:

для пластичных материалов, или



для хрупких материалов.

Условие прочности по теории Мора имеет следующий вид:



 

Замечания о выборе теории прочности

Обзор многочисленных теорий предельных состояний показывает, что совершенных теорий еще нет. Каждая из существующих теорий справедлива только в определенных условиях и для определенных материалов. Рассмотренными выше теориями можно пользоваться только при напряженных состояниях с главными напряжениями разных знаков. Возможность применения этих теорий в случаях трехосного растяжения или сжатия требует дополнительной экспериментальной проверки.

При выборе теории прочности в случае плоского напряженного состояния и объемного напряженного состояния с главными напряжениями разных знаков надо учитывать свойства материала. Если материал пластичен и одинаково работает на растяжение и сжатие, то следует пользоваться теорией наибольшей энергии формоизменения  или теорией максимальных касательных напряжений. Если пластичный материал неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то следует применить теорию Мора. Расчет хрупких материалов при указанных напряженных состояниях следует производить по теории Мора.

Совместные действия изгиба и кручения стержня
В случае изгиба с кручением от крутящего момента в поперечных сечениях бруса возникают касательные напряжения, которые рассчитываются по разному для круглых и прямоугольных брусьев. Вследствие этого, рассматривать расчет сечений произвольной формы не представляется возможным.

---

Кручение с изгибом – частный случай сложного сопротивления, который может рассматриваться как сочетание чистого кручения и поперечного изгиба.




Рис.7.9

 

Определение внутренних усилий и напряжений при кручении с изгибом
Для определения внутренних усилий воспользуемся методом сечений:













 Обычно две составляющие поперечной силы (Q_y, Q_z) и изгибающего момента (M_y, M_z) приводят к их полным результирующим




Расчет валов круглого (кольцевого) поперечного сечения на кручение с изгибом
Исследуем этот вид деформации стержня на примере расчета вала кругового (кольцевого) поперечного сечения на совместное действие изгиба и кручения.

У кругового и кольцевого поперечного сечений все центральные оси главные, поэтому косого изгиба у вала вообще не может быть, следовательно, нет смысла в каждом сечении иметь два изгибающих момента M_x, и M_y, а целесообразно их заменить результирующим (суммарным) изгибающим моментом (рис.7.9)



Опасное сечение при кручении с изгибом устанавливается из совместного анализа эпюр крутящего 

---

M_x и полного изгибающего M_и моментов. Если в сечении вала постоянного диаметра с наибольшим изгибающим моментом М действует наибольший крутящий момент М_кр, то это сечение является опасным.

Наибольшие напряжения изгиба возникают в точках  наиболее удаленных от нейтральной оси



где W_изг — момент сопротивления при изгибе.
В этих же точках имеют место и наибольшие касательные напряжения кручения



где W_р — момент сопротивления при кручении.

Условие прочности по III гипотезе записывается в виде



или



где    - эквивалентный момент по третьей гипотезе прочности.

Условие прочности по IV гипотезе прочности записывается в виде



или



где    - эквивалентный момент по четвертой гипотезе прочности.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

- Что такое сложное сопротивление стержней?

- Какие виды деформации бруса называют сложным со­противлением?

- Сформулируйте принципы,  на  которых строится  рас­чет брусьев при сложном сопротивлении?

- В чем заключается принцип независимости действия сил?

- Опишите методику определения компонентов внутренних сил при сложном сопротивлении?            

- Какой изгиб называется косым?

- Какие точки сечения будут опасными при косом изгибе?

- Как записывают условия прочности при косом изгибе для балки из пластичного материала?

- По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при косом изгибе?

- Какой вид сложного сопротивления называется внецентренным растяжением (или сжатием)?

- К каким равнодействующим приводятся внутренние силы при внецентренном растяжении (или сжатии)?

---

- Какие виды напряжений испытывает сжимаемый стержень при внецентренном приложении сжимаемой или растягиваемой нагрузки?

- По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня при внецентренном растяжении и сжатии? Какой вид имеет эпюра этих напряжений?

- Как определить положение наиболее напряженной (опасной) точки сечения бруса при внецентренном растяжении (сжатии)?

- Как составить условие прочности бруса при внецентренном растяжении (сжатии)?

- Какие напряжения возникают в поперечном сечении бруса при изгибе с кручением?

- Как находятся опасные сечения бруса круглого сечения при изгибе с кручением?

- Как выполняют проверку безопасной прочности при кручении с изгибом круглого бруса?

- Что представляет собой эквивалентное напряжение?

- Чем отличаются между собой различные теории прочности?

- Какое назначение имеют гипотезы предельных напряжений состояний (гипотезы прочности)?

- В чем заключается сущность гипотезы прочности максимальных касательных напряжений и энергетической гипотезы прочности?

- Как формулируется теория прочности удельной потенциальной энергии,  идущей  на  изменение формы  и  условие прочности по ней?

- В чем состоит теория прочности Мора?

- В чем преимущество гипотезы прочности Мора?

---