ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 112
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Электрическое поле в диэлектриках
11
z
D
y
D
x
D
k
D
j
D
i
D
k
z
j
y
i
x
D
z
y
x
z
y
x
)
(
Следовательно, формулу (2.20) можно записать в операторном виде:
D
. (2.22)
Учитывая, что
E
D
0
, представим формулу (2.22) в виде:
0
E
Принимая во внимание формулу (2.21), получим
0 2
, (2.23) где
2 2
2 2
2 2
2
x
y
x
– скалярное произведение операторов набла.
Это скалярное произведение обозначают символом и называют оператором
Лапласа:
2 2
2 2
2 2
x
y
x
. (2.24)
Используя оператор Лапласа (2.24) запишем уравнение (2.23) в виде
0
. (2.25)
Уравнение (2.25) называют уравнением Пуассона. Если свободный заряд отсутствует ( 0), то
0
. (2.26)
Уравнение (2.26) называют уравнением Лапласа.
Рассмотрим следующий пример. Требуется найти распределение потен- циала внутри плоского конденсатора, если расстояние между его обкладками d, а разность потенциалов равна
1
2
Решение: Направим ось X так, как показано на рис. 2.8, начало координат свяжем с левой пластиной конденсатора.
Электрическое поле в диэлектриках
12
Так как внутри конденсатора свободных зарядов нет, то применим урав- нение Лапласа (2.26). Учтем, что потенциал изменяется только в направлении оси X. Тогда уравнение Лапласа преобразуется к виду
0
d d
2 2
x
Чтобы найти распределение потенциала внутри конденсатора, дважды проинтегрируем уравнение Лапласа:
2 1
1 2
d d
c
x
c
x
c
x
, где c
1
и c
2
– произвольные постоянные интегриро- вания, которые определяются из начальных усло- вий. Пусть при x 0,
1
, а при x d,
2
. Тогда c
2
1
и
2
c
1
d +
1
, откуда
d
c
1 2
1
. Следовательно, закон распределения потенциала внутри конденсатора имеет вид
1 1
2
)
(
x
d
x
2.7. Виды поляризации диэлектриков. Сегнетоэлектрики
Различают следующие виды поляризации диэлектрика:
Упругая электронная поляризация – внешнее поле смещает электрон- ную оболочку атомов относительно ядра. Эта поляризация характерна для всех диэлектриков.
Ионная поляризация – смещение в кристаллической решетке разно- именно заряженных ионов в противоположных направлениях. Поляризация на- блюдается в кристаллах.
Дипольная (ориентационная) поляризация – если молекулы имеют собственный электрический момент, то внешнее поле ориентирует их. Этот вид поляризации присущ полярным диэлектрикам.
Спонтанная (самопроизвольная поляризация) – у диэлектриков, имеющих в объеме большие поляризованные области (домены). Под действием электрического поля произвольно ориентированные электрические моменты
0
X
d
1
2
Рис. 2.8. К выводу формулы распределения потенциала
Электрическое поле в диэлектриках
13 доменов ориентируются в направлении внешнего поля. Спонтанная поляриза- ция наблюдается в сегнетоэлектриках.
Существует группа веществ, которые могут обладать поляризацией в от- сутствие внешнего электрического поля. Эти вещества называются сегнето-
электриками. К таким веществам относятся сегнетова соль, титанат бария и др.
Перечислим свойства сегнетоэлектриков:
обладают поляризацией в отсутствии внешнего электрического поля;
имеют нелинейную зависимость диэлектрической проницаемости от напряженности внешнего электрического поля;
наличие гистерезиса.
При циклических изменениях внешнего поля зависимость P f(E) сле- дует изображенной на рис. 2.9 кривой, на- зываемой петлей гистерезиса. При пер- воначальном включении электрического поля поляризация P растет с ростом на- пряженности поля E в соответствии с кри- вой 1. Уменьшение поляризации происхо- дит по ветви 2. При обращении напря- женности внешнего поля в нуль вещество сохраняет значение поляризации P
0
, называемое остаточной поляризацией. Только под действием противоположно направленного поля E
c
, поляризация становится равной нулю. Это значение на- пряженности поля называется коэрцитивной силой. При дальнейшем изменении
E получается ветвь 3 и т.д.
Свойства сегнетоэлектриков объясняются их доменной структурой. До-
мены – это области самопроизвольной поляризации. В пределах такой области дипольные моменты молекул отличны от нуля, однако, направления дипольных моментов разных областей различны и результирующий дипольный момент может быть равен нулю. Под действием внешнего поля моменты всех доменов устанавливаются по направлению поля, и сегнетоэлектрик поляризуется.
0
E
c
P
о
E
P
1 2
3
Рис. 2.9. Петля гистерезиса
Электрическое поле в диэлектриках
14
Для каждого сегнетоэлектрика существует температура, выше которой он утрачивает свои свойства и становится обычным диэлектриком. Эта темпе- ратура называется точкой Кюри. Например, для титаната бария точка Кюри со- ставляет 125С.
2.8. Прямой и обратный пьезоэффект
Если на сегнетоэлектрик надавить, то на его поверхности возникает по- ляризационный заряд. Это явление называется прямым пьезоэффектом. Вели- чина поляризации пропорциональна деформации кристалла. При изменении знака деформации знак поляризации меняется также на обратный. Важнейши- ми пьезоэлектриками являются кварц, сегнетова соль, титанат бария.
Если вырезать из кристалла кварца пластинку, перпендикулярную к кри- сталлографической оси a (рис. 2.10, a), и сжать ее вдоль этой оси, то на гранях пластинки появятся связанные заряды (на рисунке пластинка расположена так, что кристаллографическая ось c направлена на нас). То же самое происходит, если пластинку растянуть вдоль оси oo, перпендикулярной к кристаллографи- ческим направлениям a и c.
При изменении знака деформации (т.е. при растяжении вдоль оси a или сжатии вдоль oo) на гранях пластинки появляются поляризационные заряды другого знака.
Для практического использования пьезоэффекта на грани пластинки на- кладывают металлические обкладки. Если эти обкладки включить в электриче- скую цепь, то при изменениях деформации кристалла в цепи будут возникать
c
a
o
o
F
F
F
U
а)
б)
Рис. 2.10. Прямой пьезоэффект (а); обратный пьезоэффект (б)
Электрическое поле в диэлектриках
15 импульсы напряжения. Такие процессы протекают, например, в пьезоэлектри- ческом микрофоне. Знакопеременная деформация пластинки под действием звуковой волны преобразуется в переменное напряжение той же частоты.
Пьезоэффект имеет следующее объяснение. Решетку всякого кристалла можно представить в виде нескольких образованных разными атомами или группами атомов более простых решеток, вставленных друг в друга. Если кри- сталл не имеет центра симметрии, то при деформации происходит сдвиг про- стых решеток друг относительно друга, который может вызвать появление у кристалла поляризационного заряда.
У пьезоэлектриков наблюдается и обратный пьезоэффект, заключаю- щийся в том, что при подаче на кристалл переменного напряжения, пьезоэлек- трик начинает вибрировать с частотой этого напряжения, т.е. в кристалле воз- никают механические колебания (рис. 2.10, б). Эти колебания будут особенно интенсивными при резонансе. Такие настроенные в резонанс пластинки ис- пользуются для получения ультразвуковых колебаний, для стабилизации часто- ты генераторов электрических колебаний и др.
1 2 3 4 5 6 7
ГЛАВА 3. ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
3.1. Равновесие зарядов на проводнике
Если проводнику сообщить некоторый заряд q, то он распределится та- ким образом, что будет находиться в положении равновесия. Так как носители заряда в проводнике способны перемещаться под действием сколь угодно ма- лой силы, то равновесие зарядов на проводнике может наблюдаться лишь при выполнении следующих условий:
Напряженность поля всюду внутри проводника должна быть равна ну- лю:
E 0.
В соответствии с выражением
grad
E
это означает, что потенциал внутри проводника должен быть постоянным, т.е. const.
Напряженность поля на поверхности проводника должна быть в каж- дой точке направлена по нормали к поверхности
E E
n
Следовательно, в случае равновесия зарядов поверхность проводника бу- дет эквипотенциальной.
Поместим незаряженный металлический проводник в виде пластины в электрическое поле плоского конденсатора напряженностью E (рис. 3.1, а). Под действием сил поля свободные электроны проводника перемещаются к поло- жительно заряженной пластине конденсатора и накапливаются на краю иссле- дуемого проводника. На другом краю проводника возникают положительные заряды. Явление разделения электрических зарядов в проводнике под действи- ем внешнего электрического поля с напряженностью E
1
называется электро-
статической индукцией.
Заряды электростатической индукции, называемые индуцированными за-
рядами, создают в проводнике внутреннее электрическое поле с напряженно- стью E
2
, которое направлено против внешнего электрического поля. При равен- стве зарядов внешнего и внутреннего полей равны и напряженности.
Проводники в электрическом поле
2
Напряженность результирующего поля внутри проводника равна нулю E
E
1
E
2
0. В связи с отсутствием электрического поля внутри проводника все его точки имеют одинаковый потенциал, а поверхность является эквипотенци- альной.
Электрическое поле отсутствует не только в сплошном проводнике, но и в проводящей оболочке (рис. 3.1, б). Это свойство используется для защиты приборов от действия электрических полей путем их экранирования.
3.2. Электроемкость
Потенциал проводника пропорционален находящемуся на нем заряду т.к. при увеличении заряда в несколько раз, во столько же раз увеличивается на- пряженность поля в каждой точке пространства вокруг проводника и в такое же число раз возрастает работа переноса единичного заряда из бесконечности на поверхность проводника, т.е. потенциал проводника.
Таким образом
q C, (3.1) где C – коэффициент пропорциональности между потенциалом и зарядом. Этот коэффициент пропорциональности называется электроемкостью (емкостью) проводника. Из (3.1) следует, что
q
C
. (3.2)
E
2
E
1
+q
-q
а)
E0 экран
б)
Рис. 3.1. Металлическая пластина в электрическом поле конденсатора (а); применение экрана (б)
Проводники в электрическом поле
3
Емкость численно равна заряду, сообщение которого проводнику повы-
шает его потенциал на единицу.
В СИ за единицу емкости принимают емкость такого проводника, потен- циал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл. Эта единица емкости называется фарад (Ф), т.е.
Ф
В
Кл
]
[
C
Фарад – это очень большая единица емкости. На практике пользуются более мелкими единицами: 1пФ 110
-12
Ф; 1нФ 110
-9
Ф; 1мкФ 110
-6
Ф.
Вычислим емкость шара радиуса R по формуле (3.2):
R
q
C
0 4
, (3.3)
R
0 4
1
– потенциал шара. Подставим в формулу (3.3) R 6,410 6
м – ради- ус Земли, тогда C 711 мкФ.
Расчет показал, что даже такое огромное тело, как земной шар имеет не- большую емкость.
3.3. Конденсаторы
Конденсаторы – это устройства для накапливания электрических заря- дов. Конденсаторы делают в виде двух проводников, расположенных близко друг к другу. Образующие конденсатор проводники называются его обкладка-
ми. Чтобы внешние тела не оказывали воздействие на емкость конденсатора, обкладки располагают так, чтобы поле было полностью сосредоточено внутри конденсатора.
Конденсаторы бывают плоские, цилиндрические и сферические. Емко- стью конденсатора называется величина, равная
2 1
q
C
, (3.4) где q – заряд конденсатора,
1
2
– разность потенциалов между его обкладка- ми.
Проводники в электрическом поле
4
Вычислим емкость плоского, цилиндрического и сферического конденса- тора.
Плоский конденсатор состоит из двух параллельных близкорасполо- женных пластин (обкладок), между которыми находится диэлектрик с прони- цаемостью . Пусть площадь одной обкладки S, а расстояние между обкладками равно d. Как видно из рис. 3.2, поля положительно и отрицательно заряженных обкладок внутри конденсатора складываются, поле будет однородным, а вне конденсатора компенсируют друг друга.
Напряженность поля внутри конденсатора равна
S
q
E
E
E
0 0
0 0
2 2
, где q – заряд конденсатора. Но
S
qd
d
E
0 2
1
Тогда, в соответствии с формулой (3.4), емкость плоского конденсатора равна
d
S
C
0
. (3.5)
Из формулы (3.5) видно, что емкость плоского конденсатора пропорцио- нальна площади его обкладки и обратно пропорциональна расстоянию между обкладками.
Цилиндрический конденсатор состоит из двух коаксиальных металли- ческих цилиндров, с радиусами оснований R
1
и R
2
и высотой H (рис. 3.3). Меж- ду обкладками конденсатора находится диэлектрик с проницаемостью .
+
E
+
E
E
+
E
E
+
+E
d
Рис. 3.2. Плоский конденсатор
R
1
R
2
H
Рис. 3.3. Цилиндрический конденсатор
Рис. 3.4. Сферический конденсатор
R
1
R
2