ВУЗ: Омский государственный технический университет
Категория: Книга
Дисциплина: Методы оптимальных решений
Добавлен: 12.02.2019
Просмотров: 13041
Скачиваний: 110
56
Таблица 3.2
№
Шкалы Равенство
Промежуточ-
ное значение
Слабое пре-
восходство
Промежуточ-
ное значение
Сильное пре-
восходство
Промежуточ-
ное значение
Значительное
превосходство
Промежуточ-
ное значение
Абсолютное
превосходство
1
1–3
1 2 2 2 2 3 3 3 3
2
1–5
1
2
2
3
3
4
4
5
5
3
1–7
1 2 2 3 4 5 6 6 7
4
1–9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
1–11
1 3 4 5 7 8 9 10
11
6
1–13
1
3
4
6
7
9
10
12
13
7
1–15
1 3 5 7 8 9 11
13
15
8
1–17
1
3
5
7
9
11
13
15
17
9
1–18
1 4 6 8 10 12 14 16 18
10
1–26
1
5
8
11
14
17
20
23
26
11
1–90
1 20 30 40 50 60 70 80 90
12
0,9
x
1
0,9
x
13
0,7
x
1
0,7
x
14
0,5
x
1
0,5
x
15
0,3
x
1
0,3
x
16
0,1
x
1
0,1
x
17 1+0,
x
1
1+0,
x
18 2+0,
x
1
2+0,
x
19 3+0,
x
1
3+0,
x
(
x
– соответствующее значение в шкале 1–9)
20 4+0,
x
1
4+0,
x
21
x
1
x
22
2
x
1
2
x
23
3
x
1
3
x
24
4
x
1
4
x
25
5
x
1
5
x
26
/ 2
2
n
0
2
1
=
0,5
2
1,414
=
1
2
2
=
1,5
2
2,828
=
2
2
4
=
2,5
2
5,657
=
3
2
8
=
3,5
2
11,31
=
4
2
16
=
27
/ 8
9
x
1
1/ 8
9
2 / 8
9
3/ 8
9
4 / 8
9
5/ 8
9
6 / 8
9
7 / 8
9
9
57
Далее приведены результаты вычислений в этих шкалах для примеров освеще-
ния стульев, национальных богатств и расстояния воздушных полетов. Для всех
примеров вначале идёт матрица с качественными значениями (табл. 3.3, 3.4, 3.5).
Затем (табл. 3.3а, 3.4а, 3.5а) следует таблица с перечнем решений задачи о собст-
Таблица 3.3. Пример освещенности стульев
1
C
2
C
3
C
4
C
1
C
E
(
)
−
B W S
(
)
−
B S D
D
2
C
—
E
W
(
)
−
B W S
3
C
— —
E
(
)
−
B E W
4
C
—
—
—
E
Примечание.
E
– равенство.
W
– слабое превосходство,
S
– сильное превос-
ходство,
D
– значительное превосходство.
A
– абсолютное превосходство,
( )
. .
−
B
– промежуточные значения между указанными в скобках. В симметричных позициях
используются обратные величины (здесь не заполнены), когда свойства переводят-
ся в численную шкалу.
Таблица 3.3а
*
Собственный вектор для каждой шкалы
max
λ
СКО
МАО
(1) 0.451 0.261 0.169 0.119 4.071 0.091 0.008
(2)
0.531
0.237
0.141
0.091
4.087
0.045
0.006
(3) 0.577 0.222 0.125 0.077 4.034 0.019 0.006
(4)
0.617
0.224
0.097
0.062
4.102
0.008
0.005
(5) 0.659 0.213 0.083 0.044 4.230 0.031 0.011
(6)
0.689
0.198
0.074
0.039
4.261
0.047
0.008
(7) 0.702 0.199 0.066 0.034 4.353 0.055 0.013
(8)
0.721
0.188
0.060
0.031
4.292
0.066
0.010
(9) 0.732 0.185 0.057 0.026 4.451 0.072 0.010
(10)
0.779
0.162
0.042
0.017
4.639
0.099
0.012
(11) 0.886 0.098 0.014 0.003 6.545 0.162 0.031
(12)
0.596
0.229
0.105
0.070
4.072
0.009
0.008
(13) 0.545 0.238 0.124 0.094 4.023 0.037 0.009
(14)
0.470
0.243
0.151
0.135
4.008
0.081
0.024
(15) 0.352 0.236 0.191 0.221 4.094 0.156 0.071
(16)
0.141
0.162
0.230
0.467
4.762
0.316
0.231
(17) 0.340 0.260 0.212 0.187 4.004 0.158 0.042
(18)
0.445
0.271
0.171
0.113
4.143
0.094
0.005
(19) 0.513 0.266 0.142 0.078 4.332 0.056 0.016
(20)
0.561
0.259
0.122
0.059
4.521
0.031
0.022
(21) 0.431 0.260 0.172 0.137 4.025 0.103 0.017
(22)
0.860
0.111
0.021
0.009
4.421
0.147
0.027
(23) 0.953 0.043 0.003 0.001 4.992 0.203 0.057
(24)
0.984
0.015
0.001
0.000
5.871
0.223
0.071
(25) 0.995 0.005 0.000 0.000 7.142 0.230 0.076
(26)
0.604
0.214
0.107
0.076
4.000
0.008
0.005
(27) 0.531 0.233 0.134 0.102 4.000 0.046 0.077
0.608
0.219
0.111
0.062
Фактическое значение вектора (из
закона обратного квадрата оптики)
*
Здесь и далее в табл. 3.4а, 3.5а, 3.6, 3.7. 3.8 применяется американская запись десятичных дробей, с
точкой вместо запятой, разделяющей целые и дробные части. – Прим. перев.
58
венном векторе, соответствующих каждой шкале, к которому примыкает столбец со-
ответствующих собственных значений. В двух последующих столбцах даны средне-
квадратичное отклонение и медианное абсолютное отклонение от медианы. Они вы-
числены для отклонений соответствующего вектора-строки от действительного (из-
вестного) вектора решения, приведенного внизу таблицы. Из этих, а также из мно-
гих других, менее систематизированных примеров видно, что шкала 1–9 выделяется
Таблица 3.4. Пример национальных богатств
США
СССР
Китай
Франция
Велико-
британия
Япония
ФРГ
США
E
(
)
−
B W S
A
(
)
−
B S D
(
)
−
B S D
S
S
СССР
—
E
D
S
S
W
(
)
−
B W S
Китай
— —
E
— — — —
Франция
—
—
S
E
E
—
—
Велико-
британия
— —
S
E
E
— —
Япония
—
—
D
W
W
E
(
)
−
B E W
ФРГ
— —
S
W
W
—
E
Таблица 3.4а
Собственный вектор для каждой шкалы
max
λ
СКО
МАО
(1) 0.273 0.201 0.059 0.088 0.088 0.165 0.127 7.191 0.062 0.018
(2) 0.348 0.212 0.039 0.076 0.076 0.142 0.108
7.285
0.031
0.014
(3) 0.388 0.220 0.027 0.067 0.067 0.132 0.098 7.305 0.017 0.014
(4) 0.427 0.230 0.021 0.052 0.052 0.123 0.094
7.608
0.014
0.011
(5) 0.473 0.234 0.015 0.040 0.040 0.116 0.081 8.103 0.029 0.019
(6) 0.496 0.230 0.013 0.037 0.037 0.111 0.076
8.097
0.037
0.016
(7) 0.512 0.235 0.011 0.033 0.033 0.104 0.073 8.453 0.043 0.018
(8) 0.531 0.231 0.010 0.030 0.030 0.099 0.069
8.436
0.050
0.017
(9) 0.544 0.232 0.008 0.026 0.026 0.099 0.064 8.853 0.056 0.016
(10) 0.597 0.224 0.005 0.019 0.019 0.085 0.052
9.616
0.077
0.014
(11) 0.741 0.181 0.001 0.004 0.004 0.048 0.020 16.152 0.134 0.009
(12) 0.408 0.228 0.024 0.058 0.058 0.126 0.099
7.485
0.012
0.007
(13) 0.363 0.220 0.032 0.072 0.072 0.131 0.110 7.255 0.024 0.014
(14) 0.302 0.204 0.047 0.093 0.093 0.136 0.125
7.079
0.049
0.014
(15) 0.214 0.169 0.081 0.130 0.130 0.135 0.142 7.085 0.090 0.023
(16) 0.078 0.085 0.197 0.196 0.196 0.100 0.149
8.275
0.167
0.083
(17) 0.205 0.174 0.091 0.120 0.120 0.150 0.139 7.028 0.092 0.003
(18) 0.283 0.211 0.055 0.084 0.084 0.158 0.125
7.398
0.057
0.019
(19) 0.338 0.230 0.038 0.063 0.063 0.157 0.111 7.875 0.036 0.010
(20) 0.379 0.240 0.028 0.050 0.050 0.153 0.100
8.359
0.025
0.014
(21) 0.271 0.201 0.059 0.096 0.096 0.148 0.129 7.147 0.062 0.014
(22) 0.700 0.191 0.002 0.011 0.011 0.053 0.033
9.729
0.118
0.010
(23) 0.856 0.114 0.000 0.002 0.002 0.017 0.009 14.286 0.182 0.020
(24) 0.932 0.061 0.000 0.000 0.000 0.005 0.002
23.125
0.215
0.026
(25) 0.968 0.030 0.000 0.000 0.000 0.001 0.001 39.824 0.231 0.026
(26) 0.470 0.200 0.019 0.053 0.053 0.115 0.091
7.147
0.001
0.026
(27) 0.348 0.227 0.032 0.075 0.075 0.134 0.110 7.110 0.029 0.065
0.413 0.225 0.043 0.069 0.055 0.104 0.091 Фактическое значение вектора
(из закона о ВНП за 1972 г.)
59
Таблица 3.5. Пример с расстояниями
Каир
Токио
Чикаго
Сан-
Франциско
Лондон
Монреаль
Каир
E
(
)
−
B D A
W
W
D
Токио
W
E
A
W
W
A
Чикаго
— —
E
— —
(
)
−
B E W
Сан-Франциско
—
—
(
)
−
B S D
E
—
(
)
−
B S D
Лондон
— —
S
W
E
(
)
−
B S D
Монреаль
—
—
—
—
—
E
Таблица 3.5а
Собственный вектор для каждой шкалы
max
λ
СКО
МАО
(1) 0.234 0.296 0.083 0.150 0.175 0.062 6.258 0.043 0.039
(2)
0.247 0.320 0.058 0.150 0.180 0.045
6.224
0.027
0.015
(3) 0.253 0.334 0.045 0.151 0.183 0.035 6.190 0.019 0.008
(4)
0.262 0.397 0.033 0.116 0.164 0.027
6.454
0.019
0.010
(5) 0.265 0.437 0.027 0.098 0.154 0.019 6.870 0.036 0.011
(6)
0.267 0.443 0.024 0.099 0.152 0.016
6.848
0.038
0.011
(7) 0.265 0.483 0.020 0.080 0.138 0.014 7.074 0.057 0.017
(8)
0.266 0.482 0.017 0.082 0.140 0.012
7.106
0.056
0.015
(9) 0.264 0.506 0.016 0.073 0.131 0.010 7.494 0.067 0.019
(10)
0.259 0.550 0.011 0.058 0.116 0.007
8.109
0.088
0.024
(11) 0.210 0.707 0.002 0.019 0.061 0.001 13.727 0.159 0.048
(12)
0.259 0.380 0.037 0.124 0.169 0.030
6.354
0.013
0.010
(13) 0.251 0.340 0.047 0.143 0.178
0.042
6.171 0.018 0.013
(14)
0.236 0.286 0.062 0.168 0.187 0.062
6.042
0.044
0.019
(15) 0.202 0.210 0.091 0.201 0.190
0.107
6.092 0.086 0.042
(16)
0.113 0.084 0.156 0.227 0.154 0.266
7.261
0.178
0.144
(17) 0.203 0.227 0.117 0.165 0.178
0.110
6.022 0.082 0.070
(18)
0.233 0.321 0.085 0.131 0.172 0.065
6.349
0.039
0.044
(19) 0.247 0.371 0.066 0.110 0.163
0.045
6.779 0.024 0.024
(20)
0.253 0.414 0.053 0.094 0.153 0.033
7.214
0.032
0.023
(21) 0.229 0.282 0.083 0.153 0.181
0.073
6.111 0.049 0.040
(22)
0.254 0.591 0.004 0.048 0.101 0.003
7.993
0.106
0.030
(23) 0.198 0.736 0.000 0.015 0.050 0.000 11.180 0.172 0.049
(24)
0.138 0.837 0.000 0.004 0.022 0.000
17.124
0.219
0.061
(25) 0.089 0.901 0.000 0.001 0.009 0.000 27.862 0.250 0.075
(26)
0.257 0.385 0.029 0.138 0.166 0.025
6.156
0.015
0.009
(27) 0.248 0.342 0.044 0.151 0.175
0.039
6.097 0.019 0.029
0.278 0.381 0.032 0.132 0.177 0.019 Фактическое значение вектора
(фактическое расстояние)
сама по себе. Это указывает на склонность человека приводить в соответствие от-
тенки чувств с числами 1–9. Некоторые даже предполагают, что это связано со
свойствами мозга, которое некоторым образом связано с числом пальцев, хотя и не-
известно, что является каузальным фактором. При условии, что мозг может одно-
временно обработать 7±2 факторов, можно провести иерархическую декомпозицию
больших матриц в кластеры такого размера, к которым шкала 1–9 еще может быть
применена. Это указывает на возможную в общих ситуациях ее жизнеспособность,
которую мы подтвердили только для малых кластеров.
60
Замечание. Последняя шкала – (27) в табл. 3.2 возникает из следующего сооб-
ражения. Используя геометрическое среднее величины суждения, оцененного не-
сколькими лицами (см. последний абзац этого раздела), можно заметить, что гео-
метрическое среднее двух чисел: 2 и 8 есть 4, что на один интервал ближе к 2, чем
к 8 (в отличие, например, от геометрического среднего 1/3 и 3, которое находится
на расстоянии двух интервалов от каждого). Это склоняет нас к введению шкалы
для обратно-симметричных матриц, сохраняющей отношение вида
/
/
=
x y
y z
или
2
=
y
xz
, из которого получаем
log
log
log
log
−
=
−
y
x
z
y
. Данное соотношение мож-
но получить, если шкалу с девятью значениями и восемью интервалами разделить
следующим образом: начать с единицы, затем (например)
1/ 8
9
,
2 / 8
9
и т. д., применяя
также и обратные величины. Этим можно улучшить согласованность, но, как пока-
зывают наши примеры, не обоснованность (надежность).
Вот один способ проверки качества согласованности, полученной при использо-
вании различных шкал. Для матриц всех размеров до 15 создадим по 100 выборок и
заполним случайным образом их элементы числами из шкал 1–5, 1–7, 1–9, 1–15, 1–
20 и 1–90. Так, например, для шкалы 1-5 элементы главной диагонали будут, как
всегда, единицы, а для любого элемента над диагональю выбираем случайно любое
из целых чисел 1–5 или их обратные величины. Обратная величина этого элемента
будет симметричным элементом. Ту же самую процедуру проведем и для других
шкал. Усредним величину
(
)
(
)
max
/
1
−
−
n
n
λ
для 100 матриц, соответствующих каж-
дому значению
n
для каждой шкалы. Вычислим также дисперсии.
В результате имеем табл. 3.6, которая полезна для сравнения значения вычис-
ленного отклонения от согласованности для отдельной задачи, со средним значени-
ем, полученным для использованной шкалы. В нашем случае существенными явля-
ются значения для шкалы 1–9. При этом сравнении можно требовать, чтобы отно-
шение было малым, например, порядка 0,1. Мы оценили частотное распределение
max
λ
, основанное еще на одной выборке из 500. Для
2
=
n
оно постоянно,
max
2
=
λ
;
для
3
=
n
совокупное
распределение
есть
распределение
Вейбулла
(
)
2
max
1 exp
/
−
−
c
b
λ
, где
4,076
=
b
и
1,937
=
c
. Для
4
≥
n
имеем усечённое нормаль-
ное распределение со следующими средними и дисперсиями выборки:
4
=
n
, (6,650;
3,370);
5
=
n
, (9,418; 4,424);
6
=
n
, (12,313; 4,413);
7
=
n
, (15,000; 4,123);
8
=
n
,
(17,952; 3,627);
9
=
n
, (20,565; 3,327). На практике используются величины, при-
веденные в гл. 1 для сравнений случайной согласованности шкалы 1–9.
Таблица 3.6. Мера несогласованности
µ
*
Среднее значение и дисперсии для шкал
Порядок
матрицы
1–5
1–7
1–9
1–15
1–20
1–90
3
×
3
0.190
0.024 545
0.254
0.193 822
0.382
0.266 743
0.194
0.026 226
0.120
0.006 869
0.720
0.213 737
4
×
4
0.520
0.086 061
0.592
0.109 430
0.946
0.433 014
0.920
0.726 465
0.934
0.385 499
1.490
0.858 485
5
×
5
0.454
0.026 549
0.814
0.087 479
1.220
0.278 788
2.018
1.024 723
2.352
2.157 268
11.690
84.438 283
6
×
6
0.612
0.016 420
0.892
0.075 895
1.032
0.180 380
2.594
0.530 469
3.484
0.837 721
16.670
29.536 466
*
Эта таблица любезно предоставлена доктором Р. Уппулури из Национальной лаборатории г. Ок-Риджа.