ВУЗ: Омский государственный технический университет
Категория: Книга
Дисциплина: Методы оптимальных решений
Добавлен: 12.02.2019
Просмотров: 13053
Скачиваний: 110
91
опускающемся до минимума и возрастающем, колебательном и, наконец, допускаю-
щем катастрофическое изменение.
Матрица 2×2
Для этого случая
( )
max
2
t
λ
=
и наша зависимая от времени задача о собственном
значении представляется в виде
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
2
2
1
2
1/
1
a t
t
t
a t
t
t
ω
ω
ω
ω
=
,
откуда имеем
( ) ( ) ( )
( )
1
2
1
2
t
a t
t
t
ω
ω
ω
+
=
,
( ) ( )
( )
( )
1
2
2
/
2
t a t
t
t
ω
ω
ω
+
=
.
Из первого уравнения получаем
( )
( ) ( )
1
2
t
a t
t
ω
ω
=
,
что также может быть получено из второго уравнения. Эти два уравнения не мо-
гут быть независимыми, в противном случае детерминат
( )
A t
не был бы равен нулю
и мы не имели бы ненулевого решения. Поэтому можно зафиксировать
( )
2
t
ω
произ-
вольным образом, например положить
( )
2
1
t
ω
=
, отсюда получим
( )
( )
1
t
a t
ω
=
. Нор-
мализованный правый собственный вектор имеет вид
( )
( )
( )
{
}
/
1 , 1/
1
a t
a t
a t
+
+
.
Нормализованный левый собственный вектор будет обратным элементом, т. е.
( ) ( )
( )
{
}
1/
1 , 1/
1
a t a t
a t
+
+
Матрица 3×3
Моррис [109], решая кубическое уравнение, достаточно просто показал, что
max
λ
для случая
3 3
×
при
1/
ij
ji
a
a
=
представляется в виде
(
)
(
)
1/ 3
1/ 3
max
13
12 23
12 23
13
/
/
1
a
a a
a a
a
λ
=
+
+
Заметим, что
max
λ
всегда
3
≥
(мы доказали, что в общем случае
max
n
λ
≥
).
Система уравнений, соответствующая этому случаю, представляется следующим
образом:
( )
( )
( )
( ) ( )
1
12
2
13
3
max
1
t
a
t
a
t
t
t
ω
ω
ω
λ
ω
+
+
=
,
( )
( )
( )
( ) ( )
1
12
2
23
3
max
2
/
t a
t
a
t
t
t
ω
ω
ω
λ
ω
+
+
=
,
( )
( )
( )
( ) ( )
1
13
2
23
3
max
3
/
/
t a
t a
t
t
t
ω
ω
ω
λ
ω
+
+
=
.
Положим
1
1
ω
=
. Первое уравнение будет
( )
( )
(
)
12
2
13
3
1
a
t
a
t
ω
ω
λ
+
= − −
,
а второе –
(
)
2
23
3
12
1
1/
a
a
λ ω
ω
−
+
= −
.
Решим их теперь относительно
2
ω
и
3
ω
. Получим
92
(
)
(
)
23
13
12
2
1
/
a
a
a
λ
ω
−
+
=
∆
,
(
)
2
3
1
1
λ
ω
− + −
=
∆
,
где
(
)
12 23
13
1
a a
a
λ
∆ =
+
−
.
Чтобы нормализовать компоненты, образуем
(
)
(
)
(
)
2
12 23
13
23
13
12
1
2
3
1
/
1
1
a a
a
a
a
a
D
λ
λ
ω ω ω
+
−
+
− + −
+
+
=
≡
∆
∆
.
Следовательно,
1
/ D
ω
= ∆
,
(
)
(
)
23
13
12
2
1
/
a
a
a
D
λ
ω
−
+
=
,
(
)
2
3
1
1
D
λ
ω
− + −
=
.
Для левого собственного вектора, который является поэлементно обратным,
имеем:
(
)
2
1
1
1
E
λ
υ
− + −
=
(
)
(
)
12
13
23
2
1
/
a
a
a
E
λ
υ
− +
=
,
3
/ E
υ
= ∆
,
где
(
)
(
)
(
)
(
)
2
12
13
23
12 23
13
1
1
1
/
1
E
a
a
a
a a
a
λ
λ
λ
= − + −
+
− +
+
+
−
.
Матрица 4×4
Рассмотрим обратносимметричную матрицу
4 4
×
с элементами, являющимися
функциями времени
1
1/
1
1/
1/
1
1/
1/
1/
1
a
b
c
a
d
e
A
b
d
f
c
e
f
=
.
Отметим, что все коэффициенты могут быть функциями параметра
t
. Характери-
стическое уравнение этой матрицы
(
)
(
)
4
3
4
8
5
0
B
B C
λ
λ
λ
−
−
−
+
+ − =
,
где
df
e
ae
c
ad
b
bf
c
B
e
df
c
ae
b
ad
c
bf
=
+
+
+
+
+
+
+
,
3
.
adf
c
ae bf
cd
cd
be
C
c
adf
bf
ae
ae
be
cd
= −
+
−
+
−
−
+
Рассмотрим редукцию уравнения четвертой степени следующим образом:
93
(
)
(
)
(
)
2
2
2
8
5
4
B
B C
λ
λ
λ
λ
−
=
−
−
+ − +
.
Добавляя
(
)
2
2
1
2
4
r
r
λ
λ
−
+
(
r
– параметр) к обеим частям уравнения, получаем
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1
1
2
4
8 2
5
2
4
r
r
B
r
r
B C
λ
λ
λ
λ
−
+
= +
+
− −
+
−
+ −
.
Правая часть является полным квадратом линейной функции по
λ
в том и толь-
ко в том случае, если ее детерминант равен нулю, т. е.
(
)
(
) (
)
2
2
1
8
2
4
5
4
4
B
r
r
B C
r
∆ =
− −
−
−
+ −
+
=
(
)
(
)
3
2
4
3
16
16
0
r
c
r
B
C
= − +
+
+ − +
+
=
,
и называется кубической резольвентой уравнения четвёртой степени. Если
r
– ко-
рень этого уравнения, то
0
∆ =
. Имеем
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
4
1
2
4
4
1
2
2
4
2
4
B
r
B
r
r
r
r
r
λ
λ
λ
λ
−
+
−
+
= +
+
= +
− +
+
+
,
откуда при использовании наибольшего значения
r
получим
max
2
4
8
2
4
2
4
r
r
B
r
λ
+
+
−
=
+
+
+
.
Теперь посмотрим, как решается кубическое уравнение.
Кубическую резольвенту можно представить в виде
3
0
r
pr q
+
+ =
,
где
(
)
4
3
p
C
= −
+
,
2
16
16
q
B
C
=
−
−
.
Используя преобразование
3
p
r z
z
= −
,
запишем резольвенту в виде
3
3
3
0
27
p
z
q
z
−
+ =
или
3
6
3
0
27
p
z
qz
+
−
=
,
а это – квадратное уравнение по
3
z
.
Таким образом, решения будут
3
2
q
z
R
= − ±
,
где
(
) (
)
3
2
/ 3
/ 2
R
p
q
=
+
. Пусть
3
1
2
q
T
R
= − +
,
3
2
2
q
T
R
= − −
.
Кубические корни из единицы будут
94
1
,
1
1 1
3
2 2
i
ω
= − +
,
2
1 1
3
2 2
i
ω
= − −
.
Получаем следующие шесть решений
1
T
,
1
1
T
ω
,
2
1
T
ω
,
2
T
,
1
2
T
ω
,
2
2
T
ω
уравнения
3
6
3
0
27
p
z
qz
+
−
=
.
Известно, что корни приведённого кубического уравнения
3
0
r
pr q
+
+ =
пред-
ставляются в виде
1
1
2
r
T
T
= +
,
1
2
2
1
2
r
T
T
ω
ω
=
+
,
2
1
3
1
2
r
T
T
ω
ω
=
+
.
Поэтому
(
)
1/ 3
2
3
2
2
1
4
8
8
3
8
8
2
3
2
B
B
r
C
C
C
= − +
+
+
−
+
+
−
−
+
(
)
1/ 3
2
3
2
2
4
8
8
3
8
8
2
3
2
B
B
C
C
C
+ − +
+
−
−
+
+
−
−
,
2
1
2
1 1
1 1
3
3
2 2
2 2
r
i T
i T
= − +
+ − −
=
(
)
(
)
2
1
2
1
2
1
3
2
2
r
T
T
T
T i
= −
+
+
−
,
3
1
2
1 1
1 1
3
3
2 2
2 2
r
i T
i T
= − −
+ − +
=
(
)
(
)
2
1
2
1
2
1
3
2
2
r
T
T
T
T i
= −
+
−
−
.
Если
1
2
T
T
=
,
0
R
=
и корни
(
)
1/ 3
2
3
/ 2
r
r
q
= = −
. действительны;
(
)
1/ 3
1
2
/ 2
r
q
= −
.
Кроме того, поскольку корни комплексно-сопряжённые,
1
r
всегда является действи-
тельным корнем кубической резольвенты. Это следует из того факта, что
0
p
≥
.
Чтобы понять это, отметим, что
C
имеет три члена вида
1/
x
x
+
. Минимальное зна-
чение такого члена равно 2, т. е.
3
C
≤ −
и
(
)
4
3
0
p
C
= −
+ ≥
. Поэтому
1
r r
=
всегда
действителен. К тому же
0
r
≥
, так как
0
q
≤
. Это следует из
2
16
16
B
C
+
≥
,
(
)
2
16 1
B
C
≥
−
.
Минимум
(
)
16 1 C
−
есть 64.
Аналогично минимальное значение
2
B
есть 64. Поэтому
0
q
≤
. Итак, первый
член из выражения для
1
r
положителен и, кроме того, всегда превосходит второй.
95
Поэтому
1
0
r r
= ≥
является корнем, который используется выше в выражении для
max
λ
.
Решение системы
max
A
ω λ ω
=
, которое в развернутой форме имеет вид
(
)
1
2
3
4
1
0
a
b
c
λ ω
ω
ω
ω
−
+
+
+
=
,
(
)
1
2
3
4
1
1
0
d
e
a
ω
λ ω
ω
ω
+ −
+
+
=
,
(
)
1
2
3
4
1
1
1
0
f
b
d
ω
ω
λ ω
ω
+
+ −
+
=
,
(
)
1
2
3
4
1
1
1
1
0
c
e
f
ω
ω
ω
λ ω
+
+
+ −
=
,
после нормализации будет:
0
1
1
/ Q
ω ω
=
,
0
2
2
/ Q
ω
ω
=
,
0
3
3
/ Q
ω
ω
=
,
0
4
4
/ Q
ω
ω
=
,
где
(
) (
)(
)
(
) (
)
(
)
3
2
1 1
1
1
3
1
e
Q
c
f
e
ae
b d f
c
a b
d
λ
λ
λ
=
−
+ + +
−
+
− +
+
+
+
+
− +
(
)
be bf
cd ae c b
adf
a e
f
d
ba
b
ad
+
−
− − −
+
+
+
,
(
) (
)(
)
2
0
1
1
1
be
c
ae bf
adf
c
d
ω
λ
λ
=
−
+
+
− +
+
−
,
(
)
(
)
2
0
2
1
1
c
bf
cd
e
df
e
a
a
b
ω
λ
λ
=
−
+
+
− +
+
−
,
(
)
(
)
2
0
3
1
1
e
c
c
ae
f
f
d
b
ad
b
ω
λ
λ
=
−
+
+
− +
+
−
,
(
)
(
)
2
0
4
1
3
1
ad
b
b
ad
ω
λ
λ
=
−
−
− −
+
.
Замечание. Из полученного решения видно, что если любой коэффициент уве-
личивается (уменьшается) в данной строке матрицы парных сравнений, то величина
компоненты собственного вектора, соответствующей этой строке, увеличивается
(уменьшается) относительно остальных компонент. Это свойство присуще и общему
случаю для обратносимметричной матрицы.
В завершении этого раздела рассмотрим простой случай семьи, состоящей из от-
ца (О), матери (М) и ребенка (Р). Очевидно, что время, которое ребенок проводит
дома, завись г от его возраста. Ребенок будет находиться дома то же время, что и
мать, а затем, взрослея, он будет проводить дома все меньше времени по сравнению
с тем временем, которое проводит дома мать. Предполагается, что мать не ходит на
работу.
Если сравнить время, проводимое дома матерью и ребенком, и составить диа-
грамму этого отношения как функцию времени, то получим кривую, показанную на
рис. 5.1.
Кривая начинается с одинакового времени, которое проводит дома мать и ребе-
нок, затем отношение времени матери к времени ребенка растет, пока кривая не
станет горизонтальной. Это произойдет ко времени, когда ребенок достигло 15–16
лет.