Файл: Саати Принятие решений Метод анализа иерархий.pdf

186 

Рис. 8.2 

Рис. 8.3 

Чтобы убедиться в этом, имеем 

(

)

4

1 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 1

I B

















+

= 



















. 

Это – матрица достижимости, так как 

(

) (

)

5

4

I B

I B

+

=

+

. 

187 

i

e

( )

i

R e

( )

i

A e

( )

( )

i

i

A e

R e

∩

1 

1, 3, 4, 5, 6 

1 

1 

2 

2, 3, 4, 5, 6 

2 

2 

3 

3, 4, 5, 6 

1, 2, 3 

3 

4 

4 

1, 2, 3, 4, 5 

4 

5 

4, 5, 6 

1, 2, 3, 5 

5 

6 

6 

1, 2, 3, 5, 6 

6 

 
Таким  образом,  первый  уровень  получается 

{

}

1

2

,

e e

,  так 

( )

( )

( )

i

i

i

A e

A e

R e

=

∩

, 

1, 2

i

=

. 

i

e

( )

i

R e

( )

i

A e

( )

( )

i

i

A e

R e

∩

3 

3, 4, 5, 6 

3 

3 

4 

3, 4 

3, 4, 5 

4 

5 

4, 5, 6 

3, 5 

5 

6 6 

3, 

5, 

6 

6 

 
На втором уровне будем иметь 

{ }

3

e

, на третьем – 

{ }

5

e

 и на четвертом – 

{

}

4

6

,

e e

. 

8.3. ИЗМЕРЕНИЕ ПРИОРИТЕТОВ В СИСТЕМАХ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ 

Теперь обобщим метод анализа иерархии для систем с обратной связью, которые 

могут быть представлены направленной сетью. 

Для описания вида сети, которая нам понадобится, стоит вспомнить, как проис-

ходит  измерение  приоритетов  элементов  одного  уровня  иерархии  по  отношению  к 
элементам последующего уровня в направленном двудольном графе. Иерархия, все 

двудольные графы которой полны, называется полной иерархией. Это частный слу-
чай общей неполной иерархии, которой мы тоже занимались. Двудольный граф опи-
сывает связи между всеми элементами одного (нижнего или текущего) уровня по от-
ношению  к  элементам  предыдущего  (высшего,  или  доминантного)  уровня.  Если  мы 
просто хотим обозначить, какой из уровней над каким доминирует, достаточно про-
вести (направленную) дугу от нижнего к доминантному уровню. Таким образом, ие-

рархия  может быть  представлена цепью или, точнее, путем, так как у дуг имеются 
направления. 

Теперь взаимодействие между двумя компонентами системы, так же как и в слу-

чае  с  уровнями  иерархии,  можно  охарактеризовать  двудольным  графом,  который 
может  быть  или  не  быть  полным.  Для  простоты  используется  направленная  дуга, 

чтобы  показать  порядок  доминирования  между  компонентами.  Можно  начертить 
противоположно  направленные  дуги  между  двумя  компонентами  и  даже,  в  случае 
взаимозависимости, петлю для компоненты. Это возможно и для иерархии. В любом 
случае результатом такого упрощенного представления компонент системы для оп-
ределения приоритетов будет направленная сеть. Иллюстрация подобной сети при-

ведена  на  рис. 8.4. Такое  представление  требуется  для  построения  суперматрицы, 
возведение которой в степени позволяет получить приоритеты по путям предписан-
ной длины в этом представлении. 

188 

Рис. 8.4 

Мы  вводим  суперматрицу,  которая  будет  служить  единой  основой  для  изучения 

приоритетов в иерархиях и в системах с обратной связью. Разработан общий прин-
цип  композиции  для  приоритетов  в  системах  и  показано,  что  изложенный  ранее 

принцип иерархической композиции является частным случаем. 

Для системы с обратной связью понятие композиции приоритетов между компо-

нентами требует особого внимания. В этом случае обычно нет внешнего уровня как 
каркаса, на который опирается проведение композиции последовательно от уровня 
к уровню. Компоненты системы могут взаимодействовать по более чем одному пути. 

Для того чтобы измерение приоритетов имело смысл, нужно единообразие при рас-
смотрении всех путей. Приоритеты любой компоненты системы по отношению к лю-
бой  другой  компоненте  могут  быть  измерены  неоднозначно  по  путям  и  контурам, 
связывающим  их.  Например,  вдоль  контура  приоритеты  могут  быть  измерены  по-
средством прохода по контуру только один, два или более раз. Для системы полезно 

знать множество первичных, т. е. предельных, приоритетов вершин, как единое це-
лое. Необходимость в последнем возникает, когда вершины четко не группируются в 
компоненты.  При  этом  мы  имеем  измерение  относительных  приоритетов  всех  вер-
шин в системе по отношению к каждой вершине системы, а в итоге получаем стохас-
тическую матрицу (матрицу, сумма элементов столбцов которой равна единице и все 

элементы  неотрицательны).  Столбцы  являются  собственными  векторами  матриц 
парных сравнений вершин по отношению к каждой вершине системы. 

К этому случаю применим метод суперматрицы, однако для ясности исследуется 

случай,  в  котором  система  является  разложимой.  Система  разложима,  если  ее  эле-
менты  могут  быть  агрегированы  в  независимые  компоненты,  взаимодействие  кото-
рых  представлено  дугами  направленной  сети [39]. При  этом  приоритеты  между 

смежными  компонентами  выводятся,  как  в  иерархии,  отдельно,  по  их  важности  в 
системе,  получаются  приоритеты  для  самих  компонент,  которые  используются  для 
взвешивания  собственных  векторов,  соответствующих  каждой  компоненте,  таким 
образом вновь получается стохастическая по столбцам матрица. 

Наше исследование систем с приоритетами уподобляется марковским цепям. Та-

кое соответствие принято, чтобы применить результаты по цепям Маркова для сис-
тем с обратной связью. Для экономии места изложение будет очень кратким. С по-
мощью ЭВМ сравнительно легко получить оценки предельных приоритетов, возводя 
суперматрицу  в  большие  степени.  Однако  это  дает  правильный  ответ  только  при 

189 

выполнении  определенных  условий.  В  общем  случае  теория  марковских  цепей 
предлагает элегантный теоретический аппарат. 

Терминологическое соответствие 

Системы с приоритетами 

Марковские цепи 

Система 

Система 

Компонента (с одним или более 
элементами) 

Состояние 

Влияние в момент 

k

Переход в момент 

k

Приоритет 

Вероятность 

Влияние компоненты 

Переход в состояние 

Относительный  приоритет  (от 

i

-й к 

j

-й компоненте) 

Условная  вероятность  пере-

хода 

Общий приоритет 

Абсолютная вероятность 

8.4. СУПЕРМАТРИЦА – ОБЩАЯ КОМПОЗИЦИЯ ПРИОРИТЕТОВ 

Рассмотрим  систему,  которая  разбита  на 

N

  кластеров  или  компонент 

1

2

,

,

,

N

C C

C

…

. Обозначим элементы компоненты 

k

C

 через 

1

2

,

,

,

k

k

k

kn

e e

e

…

, где 

k

n

 – их 

число.  Проведенное  ранее  обсуждение  влияния  соседних  уровней  иерархии  позво-
ляет построить следующий тип матрицы условных измерений между вершинами со-

ответствующих  компонент.  Предположим,  что  любая  пара  компонент  взаимодейст-
вует. Если это предположение где-либо не имеет места, то соответствующий элемент 
будет равен нулю. 

Суперматрица  играет  фундаментальную  роль  в  дальнейшем  развитии  теории 

приоритетов для систем. Но сначала покажем, как может быть получена иерархиче-

ская композиция посредством возведения суперматрицы в степени. 

Как указывалось ранее, можно построить матрицы попарных сравнений для из-

мерения приоритетов всех вершин в системе по отношению друг к другу так, как ес-
ли  бы  отсутствовало  группирование  вершин  в  компоненты.  Например,  можно  было 
бы  сравнивать  отрасли  промышленности  и  их  вклад  в  любую  другую  отрасль  про-

мышленности. Однако предпочтение отдается подходу, основанному на группирова-
нии  компонент  по  соображениям  согласованности,  так  как  легче  проводить  сужде-
ния о парных сравнениях на малом множестве элементов. Таким образом, предпола-
гается,  что  имеются  собственные  векторы  приоритетов  элементов  в  компоненте  по 
отношению  к  элементам  в  другой  компоненте  (которые  сами  могут  быть  компонен-
тами).  Когда  это  сравнение  не  имеет  смысла,  используются  нули  для  собственного 

вектора. 

Суперматрица,  соответствующая  взаимодействию  между  компонентами  системы, 

имеет следующий вид: 

190 

1

2

1

1

11

12

1

21

22

2

1

2

N

N

n

n

N

N

Nn

C

C

C

e

e

e

e

e

e

e

e

e

…

…

…

…

1

2

11

1

12

1

21

2

22

2

1

2

N

n

n

N

N

N

Nn

e

C

e

e

e

C

e

W

e

e

C

e

e

=

11

12

1

21

22

2

1

2

N

N

N

N

NN

W

W

W

W

W

W

W

W

W

























…
…

…

где 

i

, 

j

-й блок задан, как 

1

2

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

j

j

j

i

i

i

jn

j

j

i

i

i

jn

j

j

i

i

i

ij

jn

j

j

in

in

in

w

w

w

w

w

w

W

w

w

w













= 















…

…

…

каждый  из  столбцов  которого  есть  собственный  вектор,  представляющий  влия-

ние всех элементов в 

i

-й компоненте на каждый из элементов 

j

-й компоненты. 

Суперматрица 

W

  не  будет  стохастической  (хотя  каждый  из  ее  блоков  является 

таковым), если не предположить, что ее компоненты также были взвешены в соот-
ветствии с важностью их вклада в систему. Как это делается, показано в примерах в 

конце главы. Результирующие приоритеты компонент можно затем использовать для 
взвешивания  соответствующих  им  элементов  в 

W

,  что  превратит 

W

  в  стохастиче-

скую матрицу. В дальнейшем, всякий раз, когда мы будем иметь дело с 

W

, предпо-

лагается, что она приведена взвешиванием к стохастической матрице. 

Полезно упомянуть следующие факты. 
Теорема 8.1 [53]. Неотрицательная матрица 

A

 – стохастическая тогда и только 

тогда,  когда  вектор 

(

)

1,1,

,1

…

  является  решением 

xA x

=

,  где  единица – главное 

собственное значение 

A

. 

Теорема 8.2. 

(

)

n n

×

-матрица 

A

  неприводима  тогда  и  только  тогда,  когда  ее 

направленный граф сильно связан. 

Теорема 8.3.  Связный  граф  сильно  связан  тогда  и  только  тогда,  когда  каждая 

дуга принадлежит по крайней мере одному пути.