ВУЗ: Омский государственный технический университет
Категория: Книга
Дисциплина: Методы оптимальных решений
Добавлен: 12.02.2019
Просмотров: 13019
Скачиваний: 110
21
ностью, есть разделённая субъективность. Поэтому формируемые нами иерархии
объективны в соответствии с нашим собственным определением, так как они отра-
жают коллективный опыт.
Важным замечанием при иерархическом подходе к решению задач является то,
что функциональное воспроизведение системы может быть различным у разных лиц,
однако люди обычно приходят к согласию по нижнему уровню альтернативных дей-
ствий, которые нужно предпринимать, и по следующему за ним уровню характери-
стик этих действий. Например, нижний уровень может состоять из различных мар-
шрутов движения транспорта между двумя пунктами, а уровень характеристик мо-
жет включать время следования, сужения, выбоины, безопасность и т. д. В табл. 1.1
показаны уровни иерархий различных типов, однако лицо, формирующее иерархию,
должно быть уверенным в том, что уровни естественно связаны друг с другом. При
необходимости уровень может быть разбит на два уровня и более или совершенно
удален.
1.4. ПРИОРИТЕТЫ В ИЕРАРХИЯХ
Иерархия, в том виде, в каком она представлена в предыдущем разделе, являет-
ся более или менее заслуживающей доверия моделью реальной ситуации. Она от-
ражает проведенный нами анализ наиболее важных элементов и их взаимоотноше-
ний, однако она – не достаточно мощное средство в процессе принятия решений пли
планирования. Необходим метод определения силы, с которой различные элементы
одного уровня влияют на элементы предшествующего уровня, чтобы можно было
вычислять величину воздействий элементов самого низкого уровня на общую цель.
Таблица 1.1. Общее построение иерархий и декомпозиция
Общая иерархия
системы
Ограничения и силы
окружающей среды
Перспектива
(акторы)
Цели
акторов
Возможные
действия
Исходы
Результирующий
исход
Иерархия для
конфликта
Ограничения
Акторы
Цель
Возможные
действия
Исходы
Компромисс или
устойчивый исход
Прямое или проек-
тируемое планиро-
вание
Возможные органи-
зационные действия
в настоящее время
Другие
акторы
Цели
других
акторов
Возможные
действия
Сценарии
Логическое буду-
щее
Обратное или
идеализированное
планирование
Ответные возможные
организационные
действия
Другие
акторы
Цели
других
акторов
Возможные
действия
других
акторов
Сценарии
Желательное
будущее
Анализ стоимость –
эффективность
Критерии
Подкритерии Цели
Возможные
действия
Выборы
Лучший выбор
или смесь
Выбор капитало-
вложений
Уровень риска
Основные
силы
Крите-
рии
Сферы
задач
Характерные
проекты
Прогнозирование
Уровень риска
Основные
силы
Крите-
рии
Сферы
задач
Категории
Для большей ясности возвратимся к иерархии колледжа из предыдущего разде-
ла. Как уже было отмечено, нас интересует «сценарий, по которому с наибольшей
вероятностью будет обеспечено продолжительное существование колледжа». Для
определения этого сценария сначала находим важность сил относительно общей це-
ли. Затем для каждой силы определяем степень влияния акторов на эту силу. Отсю-
да несложным вычислением получаем степень влияния акторов на общую цель. За-
тем оцениваем важность целей для каждого актора и, наконец, определяем дейст-
венность различных сценариев в обеспечении достижения каждой цели. Повторив
несколько раз упомянутые выше вычисления, получим «наилучший» сценарий.
Определим «степень влияния», или приоритеты, элементов одного уровня отно-
сительно их важности для элемента следующего уровня. Здесь представим только
22
наиболее элементарные аспекты нашего метода. Психологическая мотивация и ма-
тематические основы метода будут изложены позже.
Введем некоторые понятия. Матрица – это массив чисел в виде прямоугольной
таблицы, например
1
0
2,9
6
3
3,5
7
1
2,1
2
0
1,1
Горизонтальная последовательность чисел в матрице называется строкой, а вер-
тикальная – столбцом. Матрица, состоящая только из одной строки или из одного
столбца называется вектором, а с одинаковым числом строк и столбцов – квадрат-
ной. Полезно отметить, что с квадратной матрицей ассоциируются ее собственные
векторы и соответствующие собственные значения. Пусть читателя не обескуражи-
вают эти понятия, поскольку подробное их объяснение будет дано в последующих
главах.
Наш метод можно описать следующим образом. Допустим, заданы элементы од-
ного, скажем, четвертого уровня иерархии и один элемент I следующего более вы-
сокого уровня. Нужно сравнить элементы четвертого уровня попарно по силе их
влияния на е, поместить числа, отражающие достигнутое при сравнении согласие во
мнениях, в матрицу и найти собственный вектор с наибольшим собственным значе-
нием. Собственный вектор обеспечивает упорядочение приоритетов, а собственное
значение является мерой согласованности суждений.
Определим шкалу приоритетов для следующего примера. Пусть A, B, С и D обо-
значают стулья, расставленные по прямой линии, ведущей от источника света. Соз-
дадим шкалу приоритетов относительной освещенности для стульев. Суждения про-
изводит человек, стоящий около источника света, у которого, например, спрашива-
ют: «Насколько сильнее освещенность стула B по сравнению с C?» Он отвечает од-
ним из чисел для сравнения, записанных в таблице, и это суждение заносится в по-
зицию (В, С) матрицы. По соглашению сравнение силы всегда производится для
действия или объекта, стоящего в левом столбце, по отношению к действию или
объекту, стоящему в верхней строке. Мы имеем матрицу попарных сравнений для
четырех строк и четырех столбцов (матрица 4х4).
Освещенность A B C D
A
B
C
D
Условимся, что это следующие числа. Пусть заданы элементы A и B; если:
• A и B одинаково важны, заносим 1;
• A незначительно важнее, чем B, заносим 3;
• A значительно важнее B, заносим 5;
• A явно важнее B, заносим 7;
• A по своей значительности абсолютно превосходит B, заносим 9 в позицию
(А, В), где пересекаются строка A и столбец В.
При сравнении элемента с самим собой имеем равную значительность, так что на
пересечении строки A со столбцом A в позиции (А, А) заносим 1. Поэтому главная
диагональ матрицы должна состоять из единиц. Заносим соответствующие обратные
величины: 1, 1/3, ..., или 1/9 на пересечениях столбца A и строки B, т. е. в позицию
(В, A) для обратного сравнения B с A. Числа 2, 4, 6, 8 и их обратные величины ис-
пользуются для облегчения компромиссов между слегка отличающимися от основ-
ных чисел суждениями. Используем также рациональные числа для получения от-
23
ношений из описанных выше значений шкалы, когда желательно увеличить согла-
сованность всей матрицы при малом числе суждений (не менее
1
−
n
).
В общем случае, под согласованностью подразумевается то, что при наличии основного
массива необработанных данных все другие данные логически могут быть получены из них.
Для проведения парных сравнений n объектов или действий при условии, что каждый объект
или действие представлены в данных по крайней мере один раз, требуется
(
)
1
−
n
суждений
о парных сравнениях. Из них можно просто вывести все остальные суждения, используя сле-
дующее отношение: если объект А
1
в 3 раза превосходит объект A
2
и в 6 раз превосходит A
3
,
то A
1
=3A
2
и A
1
=6A
3
. Следовательно, 3A
2
=6A
3
, или A
2
=2А
3
и A
3
=1/2A
2
. Если численное значе-
ние суждения в позиции (2, 3) отличается от 2, то матрица будет несогласованной. Это слу-
чается часто и не является бедствием. Даже при использовании для суждений всех действи-
тельных чисел до тех пор, пока не будет суждений по основным
(
)
1
−
n
объектам, получить
согласованные числа невозможно. Добавим, что для большинства задач очень трудно опре-
делить
(
)
1
−
n
суждений, связывающих все объекты или виды действия, одно из которых яв-
ляется абсолютно верным.
Известно, что согласованность положительной обратно-симметричной матрицы эквива-
лентна требованию равенства ее максимального собственного значения
max
λ
с
n
. Можно
также оценить отклонение от согласованности разностью
max
λ
− n
, разделенной на
(
)
1
−
n
.
Заметим, что неравенство
max
λ
≥ n
всегда верно. Насколько плоха согласованность для оп-
ределенной задачи, можно оценить путем сравнения полученного нами значения величины
(
) (
)
max
1
λ
−
−
n
n
с ее значением из случайно выбранных суждений и соответствующих об-
ратных величин матрицы того же размера. На странице даны соответствующие цифры для
таких элементов. Более подробно согласованность обсуждается в следующих главах.
Вернемся теперь к нашему примеру освещенности стульев. В матрице для наших
чисел имеется 16 полей. Четыре из них уже определены, а именно те, что находятся
на диагонали, (А, А), (В, В), (C, C), (D, D) и равны единице, так как, например, стул
A имеет одинаковую освещенность по отношению к самому себе. Для оставшихся
после заполнения диагонали 12 чисел нужно провести шесть сравнений, поскольку
остальные шесть являются обратными сравнениями и их оценки должны быть об-
ратными величинами к оценкам первых шести. Допустим, что человек, используя
рекомендованную шкалу, вносит число 4 в позицию (В, С), так как полагает, что ин-
тенсивность освещенности стула B по сравнению со стулом C находится между сла-
бой и сильной. Тогда в позицию (С, В) автоматически заносится обратная величина,
т. е. 1/4, что не обязательно, но в общем случае рационально. После проведения
оставшихся пяти суждений, а также занесения их обратных величин, для всей мат-
рицы получим
Освещенность A B C D
A 1 5 6 7
B 1/4 1 4 6
C 1/6 1/4 1 4
D 1/7 1/6 1/4 1
Следующий шаг состоит в вычислении вектора приоритетов по данной матрице.
В математических терминах это – вычисление главного собственного вектора, кото-
рый после нормализации становится вектором приоритетов. В следующей главе бу-
дет показано, что относительная освещенность стульев, выраженная этим вектором,
удовлетворяет закону обратного квадрата в оптике. В отсутствие ЭВМ, позволяющей
точно решить эту задачу, можно получить грубые оценки этого вектора следующими
четырьмя способами, которые представлены ниже в порядке увеличения точности
оценок.
24
1. Суммировать элементы каждой строки и нормализовать делением каждой сум-
мы на сумму всех элементов; сумма полученных результатов будет равна единице.
Первый элемент результирующего вектора будет приоритетом первого объекта, вто-
рой – второго объекта и т. д.
2. Суммировать элементы каждого столбца и получить обратные величины этих
сумм. Нормализовать их так, чтобы их сумма равнялась единице, разделить каждую
обратную величину на сумму всех обратных величин.
3. Разделить элементы каждого столбца на сумму элементов этого столбца (т. е.
нормализовать столбец), затем сложить элементы каждой полученной строки и раз-
делить эту сумму на число элементов строки. Это – процесс усреднения по нормали-
зованным столбцам.
4. Умножить n элементов каждой строки и извлечь корень n-й степени. Нормали-
зовать полученные числа.
Для простой иллюстрации того, что методами 1, 2 и 3 получаем предполагаемые
ответы, используется урна с тремя белыми (Б), двумя черными (Ч) и одним красным
(К) шарами. Вероятность извлечения Б, Ч или К шара, соответственно: 1/2, 1/3, 1/6.
Легко убедиться, что любым из первых трех методов эти вероятности получатся при
использовании следующей согласованной матрицы попарных сравнений. Метод 4
дает такой же результат.
Б
Ч
К
Б 1 3/2 3
Ч 2/3 1 2
К 1/3 1/2 1
Отметим, что в общем случае, когда матрица не согласована, эти методы дают
различные результаты. Применим различные методы оценки решения в примере со
стульями. Метод 1 дает сумму строк этой матрицы в виде вектора-столбца, который
для экономии места напишем в виде строки (19,00; 11,20; 5,42; 1,56). Сумма всех
элементов матрицы получается путем сложения компонент этого вектора и равна
37,18. Разделив каждую компоненту вектора на это число, получим записанный в
виде строки (0,51; 0,30; 0,15; 0,04) вектор-столбец приоритетов относительной ос-
вещенности стульев A, В, С и D соответственно.
Метод 2 дает сумму столбцов этой матрицы в виде вектора-строки (1,51; 6,43;
11,25; 18,00). Обратными величинами этих сумм являются (0,66; 0,16; 0,09; 0,06),
а после нормализации становятся (0,68; 0,16; 0,09; 0,06).
Методом 3 нормализуем каждый столбец (складываем компоненты и делим каж-
дую компоненту на эту сумму) и получаем матрицу
0,66 0,78 0,53 0,39
0,13 0,16 0,36 0,33
0,11 0,04 0,09 0,22
0,09 0,03 0,02 0,06
Сумма строк является вектором-столбцом (2,36; 0,98; 0,46; 0,20), который после
деления на размерность столбцов 4 позволяет получить вектор-столбец приоритетов
(0,590; 0,245; 0,115; 0,050).
Метод 4 дает (0,61; 0,24; 0,10; 0,04).
Точное решение задачи, которое изложено далее, получается путем возведения
матрицы в произвольно большие степени и деления суммы каждой строки на общую
сумму элементов матрицы. С точностью до одной сотой это решение будет (0,61;
0,24; 0,10; 0,05).
Сравнивая полученные результаты, отметим, что точность повышается от 1 к 2 и
далее к 3, однако одновременно усложняются вычисления. Если матрица согласова-
25
на, то во всех четырех случаях векторы приоритетов будут одинаковыми. В случае
несогласованности очень хорошее приближение можно получить только с помощью
метода 4.
Полагая, что читателю известен способ умножения матрицы на вектор, приведём
метод получения грубой оценки согласованности.
Умножив матрицу сравнений справа на полученную оценку вектора решения,
получим новый вектор. Разделив первую компоненту этого вектора на первую ком-
поненту оценки вектора решения, вторую компоненту нового вектора на вторую
компоненту оценки вектора решения и т. д., определим еще один вектор. Разделив
сумму компонент этого вектора на число компонент, найдем приближение к числу
max
λ
(называемому максимальным или главным собственным значением), исполь-
зуемому для оценки согласованности, отражающей пропорциональность предпочте-
ний. Чем ближе
max
λ
к n (числу объектов или видов действия в матрице), тем более
согласован результат.
Как будет ясно из теоретического обсуждения в последующих главах, отклоне-
ние от согласованности может быть выражено величиной
(
) (
)
max
1
λ
−
−
n
n
, которую
назовем индексом согласованности (ИС).
Индекс согласованности сгенерированной случайным образом по шкале от 1 до 9
обратно-симметричной матрицы с соответствующими обратными величинами эле-
ментов, назовем случайным индексом (СИ). В Национальной лаборатории Окриджа
коллеги (см. гл. 3) сгенерировали средние СИ для матриц порядка от 1 до 15 на ба-
зе 100 случайных выборок. Как и ожидалось, СИ увеличивались с увеличением по-
рядка матрицы. Так как величина выборки была только 100, наблюдались статисти-
ческие флуктуации в индексе при переходе от матрицы одного порядка к другому.
Поэтому вычисления были повторены в школе Уортона для величины случайной вы-
борки 500 в матрицах порядка до 11х11, а далее использовались предыдущие ре-
зультаты для n=12, 13, 14, 15. Ниже представлены порядок матрицы (первая стро-
ка) и средние СИ (вторая строка), определенные так, как описано выше:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
13
14
15
0,00 0,00 0,58 0,90 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49 1,51 1,48 1,56 1,57 1,59
Отношение ИС к среднему СИ для матрицы того же порядка называется отноше-
нием согласованности (ОС). Значение ОС, меньшее или равное 0,10, будем считать
приемлемым.
Чтобы проиллюстрировать на примере наши приближенные вычисления ИС, для
нахождения
max
λ
используем приведенную выше матрицу и третий вектор-столбец,
полученный методом 3. После умножения матрицы справа на вектор приоритетов
(0,59; 0,25; 0,11; 0,05) имеем вектор-столбец (2,85; 11,11; 0,47; 0,20). Разделив
компоненты этого вектора на соответствующие компоненты первого вектора, полу-
чим (4,83; 4,44; 4,28; 4,00), а в результате усреднения последних – 4,39. Отсюда
ИС=(4,39—4)/3=0,13. Для определения того, насколько хорош этот результат, раз-
делим
его
на
соответствующий
СИ=0,90.
Отношение
согласованности
0,13/0,90=0,14, что, пожалуй, не так уж близко к 0,10.
Эти сравнения и вычисления устанавливают приоритеты элементов некоторого
уровня иерархии относительно одного элемента следующего уровня. Если уровней
больше, чем два, то различные векторы приоритетов могут быть объединены в мат-
рицы приоритетов, из которых определяется один окончательный вектор приорите-
тов для нижнего уровня.