Файл: Mikro_ch6.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 08.04.2024

Просмотров: 99

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Общее равновесие и общественное благосостояние.

139

 

 

Решение задачи № 13

13.1.См. ответ на вопрос 13.6.

13.2.UA = 200, UB = 0.

13.3.Оптимальные значения UA и UB находятся в точке пересечения луча, выходящего под углом 45о из начала

координат (его уравнение UA = UB), с границей возможных полезностей (UA + 2UB = 200). Совместное решение этих двух уравнений дает нам UA = 662/3, UB = 662/3.

13.4.Заметим, что UA + UB достигает максимума в пределах области достижимых полезностей тогда, когда она соединяется с границей возможных полезностей в точке ницшеанского оптимума. Следовательно, UA = 200, UB = 0.

13.5.«Творец политики» находит следующее решение:

L = UА0.5 UB0.5 + λ(200 −UA − 2UB);

 

 

∂L

= 0.5

 

U0.5

 

− λ = 0 λ = 0.5

U0.5

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

B

;

 

 

 

 

∂U

 

 

U0.5

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

∂L

= 0.5

U0.5

 

− 2λ = 0 2λ = 0.5

U0.5

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

B

;

 

 

 

∂U

B

U0.5

 

U0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

∂L

= 200 −U

 

 

− 2U

 

= 0 U

 

= 200 − 2U

.

 

 

 

A

B

A

 

 

∂λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда:

 

U0.5

 

 

 

 

 

 

U0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

= 0.5

 

 

A

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U0.5

 

 

 

 

 

= 0.5

(200 −U

)0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

(200 − 2U

 

 

)0.5

 

 

U0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 200 − 2UB

 

 

B

 

 

= 200

 

B

 

 

 

 

 

 

 

2UB

 

 

4UB

 

UB = 50, UA = 100.

13.6. См. ниже рис. 13.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение задачи № 14

14.1. «Творец политики» находит следующее решение

L = YA0.5 + YB0.5 + λ(100 − YA − YB);

140

Часть VI.

 

 

Рис. 13.1. Социальные оптимумы:

() 1 — ницшеанский и утилитаристский оптимумы, () 2 — роулсианский оптимум, () 3 — оптимум Бернулли–Нэша.

∂L

=

 

0.5

− λ = 0

0.5

= λ;

∂Y

Y0.5

Y0.5

 

 

 

 

 

A

 

 

A

 

 

A

 

∂L

=

 

0.5

− λ = 0

 

0.5

= λ.

∂Y

 

Y0.5

 

Y0.5

 

 

 

 

 

B

 

 

B

 

 

B

 

Отсюда YA = YB = 50.

14.2. Теперь «творец политики» находит следующее решение

 

 

L = Y0.5

+ Y0.5 + λ(100 − 2Y − Y );

 

 

∂L

 

 

 

A

B

 

 

 

 

A

 

 

B

 

 

=

 

0.5

− 2λ = 0

0.5

= 2λ

 

1

 

= 4λ2

;

∂Y

 

Y0.5

Y0.5

4Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

A

 

 

 

A

 

 

 

 

 

A

 

 

∂L

=

0.5

− λ = 0

0.5

= λ

1

 

= λ2.

 

∂Y

 

Y0.5

 

 

4Y

 

 

 

 

 

 

Y0.5

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

B

 

 

 

B

 

 

 

B

 

 

 

 

 

Общее равновесие и общественное благосостояние.

141

 

 

Отсюда YB = 4YA YB = 80, YA = 20.

Решение задачи № 15

 

15.1. Представим функцию общественного благосостоя-

ния как W =

 

1

 

y1−e +

 

 

1

y1−e. Тогда dW =y−edy +y−edy =0.

 

 

 

 

1

−e

 

 

 

 

 

 

1−e 1

 

 

2

1 1 2 2

Отсюда наклон кривой равного общественного благосостоя-

 

 

 

 

 

 

y

e

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

= −

 

 

 

 

 

ния

 

2

 

 

 

 

 

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy1

 

dW=0

 

 

 

y1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

e

 

 

 

 

 

 

 

 

15.2. −

2

 

 

= −1 при e = 0, что отвечает утилитарист-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

скому критерию.

 

 

 

 

 

 

 

 

15.3. Функция Лагранжа для «творца политики»:

 

 

 

 

 

 

 

L =

1

 

y1−e

+ y1−e

− λ[y + y −1],

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 − e

1

2

1 2

и тогда условия первого порядка (кроме ресурсного ограничения):

∂∂L = yi−e − λ = 0, i = 1.2. yi

Следовательно, y−e

 

= y−e , что предполагает y = y . Значе-

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

ние e в данном случае не влияет на оптимальное решение.

15.4. Теперь функция Лагранжа для «творца политики»

L =

 

 

1

 

y1−e + y1−e

− λ[αy + y −1],

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

− e

1

2

 

1

2

 

 

 

 

и условия первого порядка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂L

 

= y−e

− λa = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂y1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂L

= y−e

− λ = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂y2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂L

= 1 − αy − αy = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂λ

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Избавляясь от λ, получаем ye

= αye

и y = 1 − αy . Решая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

2

1

 

 

 

эти уравнения, получаем y

=

1

 

1

 

 

и y =1−

1

 

 

.

 

 

e

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

α

1+α

2

1+α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1−e

 

 

1−e

 

 

142

Часть VI.

 

 

Отсюда можно заключить, что рост α снижает y1 и увеличивает y2, тогда как рост e, напротив, увеличивает y1 и снижает y2. Это можно интерпретировать следующим образом: α измеряет, во что обходится (сколько стоит) перераспределение в пользу индивида 1 (чем выше затраты на него, тем меньше доход индивида). С другой стороны, e измеряет неприятие неравенства «творцом политики»; при α > 1 перераспределение в пользу индивида 1 становится дороже, но неприятие неравенства «творцом политики», напротив, направляет перераспределение в пользу индивида 1. Следовательно, при выработке оптимального решения «творец политики» будет взвешивать затраты на перераспределение, с одной стороны, и «ценность» перераспределения с точки зрения его этических установок — с другой.

Решение задачи № 16

16.1.Набор достижимых аллокаций {(x, y): x + y ≤ 100}.

16.2.Если (x, y) такие, что x + y < 100, то от «пирога» после раздела остается 100 − x − y и это может быть передано Адаму, Еве или же им обоим для увеличения их полезности.

Однако в таком случае раздел пирога не является паретоэффективным. В результаты можно заключить, что {(x, y): x + y = 100} — набор парето-эффективных аллокаций.

16.3.Так как x — это полезность и доход Адама, а y —

полезность и доход Евы, то свобода от зависти предполагает, что x ≥ y и что y ≥ x, а это соблюдается только тогда, когда

x = y. В таком случае набор всех достижимых свободных от зависти аллокаций {(x, y): x = y и x + y ≤ 100}. Следовательно, некоторые свободные от зависти аллокации достижимы, но не являются парето-эффективными.

16.4.Учитывая особые функции полезности, которые линейны по отношению к доходу, предельные полезности дохода обеих индивидов постоянны и равны 1 независимо

Смотрите также файлы