Файл: 17.06.вкр.docx

Также можно использовать и неявные разностные схемы. В этом случае частные производные заменяются конечно-разностными аппроксимациями, но не выражаются в явном виде через значения на предыдущих слоях. Для определенияна каждом временном шаге необходимо решать систему уравнений. При использовании неявных схем можно вести вычисления с достаточно большим шагом.

Преимущество неявных схем перед явными в том, что в неявных схемах шаг сетки можно сделать достаточно большим, не опасаясь, что ошибки округления «разрушат» решение.

Выполним реализацию конечно-разностного метода в системе компьютерной математики Maxima

Вводим сетку: . Создаем нулевой массив

Значений размера m.

Задаем значения

Заполняем первую и вторую строки массива U начальными условиями

( нулевой начальной скорости соответствует совпадение значений (смещений) в первом и втором столбцах).

Заполняем первый и последний столбец массива граничными усло-

виями (на концах струны смещение равно нулю в любой момент времени).

Находим решение, используя разностную схему

Для вывода полученного решения в виде поверхности преобразуем

наш массив в функцию двух переменных:

Теперь выполняем построение:

Заключение

В ходе исследовательской работы было изучено линейное дифференциальное уравнение с постоянным оператором в банаховом пространстве средствами функционального анализа, а также подробно рассмотрено решение задачи Коши.

Для достижения поставленной цели в данной работе была должным образом рассмотрена история возникновения и развития дифференциальных уравнений, подробно представлено решение однородного и неоднородного уравнения через операторную экспоненту, рассмотрены условия ограниченности однородного уравнения. Подробно изучено поведение решений на бесконечности в связи с характером расположения спектра оператора А.

Кроме того, в работе были рассмотрены практические методы решения задачи Коши для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Очень подробно рассмотрены методы Эйлера, Эйлера-Коши и Рунге-Кутта. Выяснили, например, что отличительная особенность метода Эйлера-Коши от метода Эйлера заключается в том, что значение в правой части уравнения вычисляется не только в точках сетки, но и также в середине отрезков (промежуточных точках), а также решения задачи Коши, полученные методом Эйлера и методом Эйлера-Коши очень близки.

Кроме того, было подробно описано решение краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка методом конечных разностей. Рассмотрен метод сеток для решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Разработан вычислительный алгоритм реализаций решений дифференциальных уравнений и приведены примеры, что значительно облегчает понимание темы.

Список литературы

1. Васильева, А.Б. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. [Текст]/ А.Б. Васильева, Г.Н. Медведев, Н.А. Тихонов, Т.А. Уразгильдина, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 432 с.

2. Губина, Т.Н. Решение дифференциальных уравнений в системе компьютерной математики Maxima: учебное пособие. [Текст]/ Т.Н. Губина, Е. В. Андропова, — Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина,2009. — 99 с.

3. Демидович, Б. П. Дифференциальные уравнения. [Текст]/ Б. П. Демидович, В. П . Моденов, — М.: Лань, 2008. — 288 с

4. Егоров, А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. [Текст]/ А.И. Егоров. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 384 с.

5. Елецких, И. А. Дифференциальные уравнения. [Текст]/ И. А. Елецких, Р.А. Мельников, О.А. Саввина — Елец, 2006. -253 с.

6. Ильина, В.А. Система аналитических вычислений Maxima для физиков- теоретиков. [Текст]/ В.А. Ильина, П.К. Силаев. — М.:МГУ им. М.В. Ломоносова, 2007. — 113с.

7. Калинин, В.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. [Текст]/ В.В. Калинин. — М.: МГУНГ им. И.М. Губкина, 2005

8. Корниенко, В.В. Функциональный анализ: учебное пособие [Текст]/ В.В. Корниенко, Д.В. Корниенко. — Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина,2010. —110с.

9. Незбайло, Т.Г. Теория интегрирования линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. [Текст]/ Т.Г. Незбайло. — М.:Физматлит, 2007. — 178с.

10. Оболенский, А.Ю. Лекции по качественной теории дифференциальных уравнений: Учебно-методическое пособие. [Текст]/ А.Ю. Оболенский — М.:Физматлит, 2005. —186c.

11. Пушкарь, Е.А. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах: учебное пособие. [Текст]/ Е.А. Пушкарь. — М.:ФИЗМАТЛИТ,2007. —160 с.

12. Пушкарь, Е.А. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. [Текст]/ Е.А. Пушкарь. — М.: МГИУ, 2007. – 254 с. 

13. Стахин, Н.А. Основы работы с системой аналитических вычислений Maxima. [Текст]/ Н.А. Стахин — М.: Лань, 2008. — 288 с

14. Тихонов, А. Н. Дифференциальные уравнения. [Текст]/ А. Н.Тихонов, А. Б. Васильева, А. Г. Свешников. — М.:ФИЗМАТЛИТ, 2005- 273 с.

15. .Тихонов, А.Н. Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения. [Текст]/ А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г . Свешников . — М.:Физматлит, 2005. —175с.

16. Фомин, В.И. Векторное уравнение Эйлера второго порядка в Банаховом пространстве. [Текст]/ В.И. Фомин. — М.: Издательский дом «Спектр», 2012. — 136 с.

72