Файл: 17.06.вкр.docx

В дальнейшем, как правило, будем рассматривать случай, когда спектр не пересекается с мнимой осью (в частности, когда оператордихотомичен):.

Определение 4.2 Функцию Грина, определяемую формулой

назовем главной функцией Грина уравнения .

В формуле принимается,прии,при.

Поскольку спектр не пересекается с мнимой осью, существуют числаи, при которых справедлива оценка [8]

Главная функция Грина играет важную роль при выяснении условий существования ограниченного на всей оси решения уравнения. В частности справедлива теорема [8]

Теорема 4.1. Для того чтобы любой ограниченный на всей оси непрерывной вектор – функции соответствовало одно и только одно ограниченное на всей оси решение уравнения необходимо и достаточно, чтобы спектрне пересекался с мнимой осью. Это решение дается формулой

где главная функция Грина уравнения.

Доказательство. Пусть любому ограниченному непрерывному соответствует ограниченное решение. Положимгдепостоянный вектор, и пустьединственное ограниченное решение уравнения

Вектор при любомтакже является решением этого уравнения, и в силу единственности, т.е., откуда.

Из произвольности следует, что линейный непрерывный операторотображает пространствоПо теореме Банаха (I.1.1)[1]такой оператор обладает непрерывным обратным оператором , т.е. точкаявляется регулярной точкой оператора.

Пусть теперь произвольное чисто мнимое число. Рассмотрим уравнение

Подстановка дает

Повторяя проведенные выше рассуждения, получим, что оператор имеет непрерывный обратный оператор, т.е. регулярная точка.

Тем самым необходимость условия теоремы доказана. Для доказательства достаточности воспользуемся оценкой . Из этой оценки следует, что вектор – функция ограничена:

Тот факт, что эта функция удовлетворяет уравнению при

был установлен ранее [1].

Остается показать единственность ограниченного решения. Для этого достаточно проверить, что однородное уравнение не имеет ограниченных на всей оси решений, отличных от тривиального.

Допустим, что такое решение существует. Полагая,, его можно записать в виде

Поскольку спектром оператора в пространствеявляется множество, лежащее внутри левой полуплоскости, то первое слагаемое ограничено при, а значит, этим свойством обладает и второе слагаемое

Но тогда, учитывая тот факт, что спектр операторав пространстве(если он не пуст) лежит внутри правой полуплоскости, мы получим

Это неравенство при показывает, что. Аналогично показывается, что и при. Теорема доказана.

Глава 2. Численные методы приближенного решения задачи Коши для однородных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве

§5. Общие сведения о дифференциальных уравнениях

При изучении физических явлений часто не удается непосредственно найти закон, связывающий независимые переменные и искомую функцию, но можно установить связь между этой функцией и ее производными, выражаемую дифференциальным уравнением. Приведём основные понятия теории дифференциальных уравнений [15].

ОпределениеУравнение, связывающее независимую переменную , искомую функциюи её производные, т.е уравнение вида

называется дифференциальным уравнением.

Здесьизвестная функция,- независимое переменное,неизвестная функция.

ОпределениеЕсли искомая функцияесть функция одной переменной, то дифференциальное уравнение называетсяобыкновенным.

ОпределениеПорядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок входящих в него производных.

Определение 5.4. Решением дифференциального уравнения го порядка на интерваленазывается функция, определенная на отрезкевместе со своими производными дого порядка включительно, и такая, что подстановка функциив дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество пона

Дифференциальное уравнение имеет бесконечно многорешений.

ОпределениеМножество всех решений уравнения называетсяобщим решением уравнения Всякое отдельно взятое решение называется егочастным решением.

Определение Задача для нахождения уравненияудовлетворяющего начальным условиям,,…,, называетсязадачей Коши для уравнения

Известна теорема существования и единственности решения задачи Коши[12].

Теорема .Если в уравнении функция

1. непрерывна по всем своим аргументам в некоторой областиих изменения;

2. имеет ограниченные в области частные производные

, ,,…,по аргументам

то найдется интервал на котором существует единственное решение, удовлетворяющее условиям

,…,где значенияy =,