ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.04.2024
Просмотров: 120
Скачиваний: 0
СОДЕРЖАНИЕ
Федеральное государственное бюджетное
§2. Исследование поведения решений однородного уравнения на бесконечности
§3. Ограниченность решений однородного уравнения
§4.Условия существования ограниченного решения у неоднородного уравнения
§5. Общие сведения о дифференциальных уравнениях
Реализация метода Рунге-Кутта с помощью системы Maxima
Реализация конечно-разностного метода
§ 11. Метод сеток для решения дифференциальных уравнений в частных производных
Выполним реализацию конечно-разностного метода в системе компьютерной математики Maxima
В
дальнейшем, как правило, будем рассматривать
случай, когда спектр
не
пересекается с мнимой осью (в частности,
когда оператор
дихотомичен):
.
Определение 4.2 Функцию Грина, определяемую формулой
назовем
главной
функцией Грина
уравнения
.
В
формуле
принимается
,
при
и
,
при
.
Поскольку
спектр
не пересекается с мнимой осью, существуют
числа
и
,
при которых справедлива оценка [8]
Главная
функция Грина
играет важную роль при выяснении условий
существования ограниченного на всей
оси решения уравнения
.
В
частности справедлива теорема [8]
Теорема
4.1. Для
того чтобы любой ограниченный на всей
оси непрерывной вектор – функции
соответствовало
одно и только одно ограниченное на всей
оси решение уравнения
необходимо
и достаточно, чтобы спектр
не пересекался с мнимой осью. Это решение
дается формулой
где
главная функция Грина уравнения
.
Доказательство.
Пусть
любому ограниченному непрерывному
соответствует
ограниченное решение. Положим
где
постоянный
вектор, и пусть
единственное ограниченное решение
уравнения
Вектор
при любом
также является решением этого уравнения,
и в силу единственности
,
т.е.
,
откуда
.
Из
произвольности
следует, что линейный непрерывный
оператор
отображает пространство
По теореме Банаха (I.1.1)[1]такой
оператор обладает непрерывным обратным
оператором
,
т.е. точка
является регулярной точкой оператора
.
Пусть
теперь
произвольное
чисто мнимое число. Рассмотрим уравнение
Подстановка
дает
Повторяя
проведенные выше рассуждения, получим,
что оператор
имеет непрерывный обратный оператор,
т.е.
регулярная точка.
Тем
самым необходимость условия теоремы
доказана. Для доказательства достаточности
воспользуемся оценкой
.
Из этой оценки следует, что вектор –
функция
ограничена:
Тот
факт, что эта функция удовлетворяет
уравнению
при
был
установлен ранее [1].
Остается
показать единственность ограниченного
решения. Для этого достаточно проверить,
что однородное уравнение
не имеет ограниченных на всей оси
решений, отличных от тривиального.
Допустим,
что такое решение
существует. Полагая
,
,
его можно записать в виде
Поскольку
спектром оператора
в пространстве
является
множество
,
лежащее внутри левой полуплоскости, то
первое слагаемое ограничено при
,
а значит, этим свойством обладает и
второе слагаемое
Но
тогда, учитывая тот факт, что спектр
оператора
в пространстве
(если он не пуст) лежит внутри правой
полуплоскости, мы получим
Это
неравенство при
показывает, что
.
Аналогично показывается, что и при
.
Теорема доказана.
Глава 2. Численные методы приближенного решения задачи Коши для однородных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве
§5. Общие сведения о дифференциальных уравнениях
При изучении физических явлений часто не удается непосредственно найти закон, связывающий независимые переменные и искомую функцию, но можно установить связь между этой функцией и ее производными, выражаемую дифференциальным уравнением. Приведём основные понятия теории дифференциальных уравнений [15].
ОпределениеУравнение,
связывающее независимую переменную
,
искомую функцию
и её производные
,
т.е уравнение вида
называется дифференциальным уравнением.
Здесьизвестная функция,
-
независимое переменное,
неизвестная функция.
ОпределениеЕсли
искомая функция
есть функция одной переменной, то
дифференциальное уравнение называетсяобыкновенным.
ОпределениеПорядком
дифференциального уравнения называется
наивысший порядок входящих в него
производных.
Определение
5.4. Решением
дифференциального
уравнения
го
порядка на интервале
называется функция
,
определенная на отрезке
вместе со своими производными до
го
порядка включительно, и такая, что
подстановка функции
в дифференциальное уравнение превращает
последнее в тождество по
на
Дифференциальное
уравнение
имеет бесконечно многорешений.
ОпределениеМножество
всех решений уравнения
называетсяобщим
решением
уравнения
Всякое
отдельно взятое решение называется егочастным
решением.
Определение
Задача
для нахождения
уравнения
удовлетворяющего начальным условиям
,
,…,
,
называетсязадачей
Коши
для уравнения
Известна теорема существования и единственности решения задачи Коши[12].
Теорема
.Если
в уравнении
функция
непрерывна по всем своим аргументам
в некоторой области
их изменения;
имеет ограниченные в области
частные производные
,
,
,…,
по аргументам
то
найдется интервал
на котором существует единственное
решение
,
удовлетворяющее условиям
,…,
где значения
y
=
,