Файл: 17.06.вкр.docx

r=4,,,,=,, l=5;

r=4,,=,,,,,=,, l=5;

r=6,,=,,,,=,,,,=,=,=,=,,,,,,,, ,,,,

Наиболее употребительной является система чисел .Соответствующий прием будем называетсяосновным приемом Рунге-Кутта. Приведем порядок вычислений в этом случае.

Вычисляется .

Вычисляется .

Вычисляется .

Вычисляется .

Вычисляется =(.

Вычисляется .

Отметим также случай,который называют иногда усовершенствованным методом Эйлера; здесь вычисления ведутся так:

;

=.

3)

В заключении укажем на схему вычислений по методу Эйлера и Рунге-Кутта при решении задачи Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка. Для простоты записи ограничимся случаем системы двух уравнений.

Пусть

Система, для которой требуется найти решение удовлетворяющую условию

y=,z=

Метод Эйлера. Вычисления проводятся по формулам:

Основной прием Рунге-Кутта. Вычисления проводятся по формулам:

, ;

;

;

= (,

= (

Пример 9.1. Применяя метод Рунге-Кутта найти решение задачи Коши в трех последовательных точках,,.

Решение.

Возьмем шаг=0.2. Используя расчетные формулы Рунге-Кутта (9.3), найдем приближенное решение задачи Коши:

++)/6=2.14590898

Аналогично получаем 053228172

Таким образом, получили численное решение задачи Коши:

Графиком приближенного решения является ломанная, последовательно соединяющая точки ().

Реализация метода Рунге-Кутта с помощью системы Maxima

В системе Maxima для нахождения численного решения задачи Коши

методом Рунге - Кутта (четвертого порядка точности) есть встроенная функция . Для того, чтобы она стала активной, требуется подключить пакет dynamics с помощью команды:

Теперь задаем команду для нахождения решения:

Выполним построение найденного решения задачи средствами

пакета draw:

Точное решение поставленной задачи ищется в виде:

§10. Решение краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка методом конечных разностей

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

где ) – некоторые, непрерывные на [a,b] функции. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения состоит в нахождении его решения удовлетворяющего двухточечным линейным краевым условиям

где постоянные и+,+

При решении этой задачи методом конечных разностей отрезок разбивают на равные части с шагом , где. Точки разбиения имеют абсциссы

,

Значения в точках деленияискомой функции и ее производныхобозначим соответственно через,,.Заменяя производные правыми односторонними конечно-разностными отношениями для внутренних точек отрезкаприближенно будем иметь