ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.04.2024
Просмотров: 127
Скачиваний: 0
СОДЕРЖАНИЕ
Федеральное государственное бюджетное
§2. Исследование поведения решений однородного уравнения на бесконечности
§3. Ограниченность решений однородного уравнения
§4.Условия существования ограниченного решения у неоднородного уравнения
§5. Общие сведения о дифференциальных уравнениях
Реализация метода Рунге-Кутта с помощью системы Maxima
Реализация конечно-разностного метода
§ 11. Метод сеток для решения дифференциальных уравнений в частных производных
Выполним реализацию конечно-разностного метода в системе компьютерной математики Maxima
,…,
=
содержатся в области
.
§6. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
Рассмотрим постановку задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида
=
где
искомая вектор-функция;
независимая переменная;
;
,
порядок
системы;
–координаты;
.
Систему
можно переписать в развернутом виде
где.
Если
,
то мы получаем обыкновенное дифференциальное
уравнение первого порядка:
=
При
этом решение задачи Коши для уравнения
заключается в нахождении интегральной
кривой, проходящей через заданную точку
и удовлетворяющую заданному начальному
условию
Задача состоит в том, чтобы найти искомую
функцию
,
удовлетворяющую
и заданным начальным условиям.
Построение
численных алгоритмов решения уравнения
опирается на дескритизацию задачи.
Введем в области расчета
дискретный набор точек
,
,
в которых будем вычислять приближенное
решение. Точки
называются узлами интегрирования или
узлами сетки, расстояние
- шагом интегрирования или шагом сетки.
Сеточной обастью (сеткой) называется
савокупность всех узлов.
Для
характеристики точности численного
метода определяется погрешность
приближенного решения по формуле:
где
значение точного решения в узле сетки.
Существует
два класса методов для решения задачи
семейство одношаговых методов[15];
семейство многошаговых (m-шаговых) методов[15].
ОпределениеЧисленный
метод называется явным,
если вычисление решения в следующей
точке
осуществляется по явной формуле.
Метод
называется одношаговым,
если вычисление решения в следующей
точке
производится с использованием только
одного предыдущего значения
.
В дальнейшем будем рассматривать численные методы решения задачи Коши на примере уравнения первого порядка:
§ 7.Метод Эйлера
Простейшим
численным методом решения задачи Коши
для обыкновенного дифференциального
уравнения является метод Эйлера, который
еще называют методом ломанных Эйлера.
По
оси
введем равномерную сетку с шагом
,
т.е рассмотрим систему точек
.
Обозначим через
точное решение задачи
а через
- приближенные значения функций
в заданной системе точек.
Заменяя
в уравнении
производную в окрестности каждого
го
узла сетки разностным отношением
приходим к уравнению:
Определение
.Алгебраические
соотношения между компонентами сеточной
функции заменяемые исходными
дифференциальными уравнениями в
окрестности каждого узла сетки, называются
разностными
уравнениями.
Поэтому
уравнение
– разностное уравнение.
В
окончательной форме
можно определить по явной формуле
Геометрическая интерпретация метода Эйлера: интегральная кривая
на
отрезке
приближается
к ломанной, наклон которой определяется
наклоном интегральной кривой уравнения
в точке [
].
Рис.
Метод Эйлера относится к явным одношаговым методам. Вследствие систематического накопления ошибок метод используется редко или используется только для оценки вида интегральной кривой. Метод Эйлера называют методом Рунге-Кутта первого порядка точности.
Пример
7.1. Применяя
метод Эйлера, найти решение задачи Коши
в трех последовательных точках
,
,
.
Найти точное решение задачи и найти
величину абсолютной погрешности в
указанных точках.
Решение.
Возьмем
шаг
Используя расчетную формулу Эйлера,
найдем приближенное решение задачи
Коши:
Таким образом, получили численное решение задачи:
|
0 |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
|
1.5 |
1.8 |
2.12 |
2.464 |
Графиком
приближенного решения является ломанная,
последовательно соединяющая точки
В
этой задаче легко находится точное
решение, например, методом вариации
постоянной:
0.5
.
Вычислим значения точного решения в
указанных точках.
|
0 |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
|
1.5 |
1.811 |
2.146 |
2.511 |
Абсолютную
погрешность вычислим так:
.
Тогда
,
,
.
Таким образом, максимальная величина
погрешности равна
Реализация метода Эйлера с помощью системы Maxima
Зададим концы отрезка, на котором будем искать решение, и шаг:
Найдем
количество точек разбиения отрезка с
шагом
Сформируем
два пустых одномерных массива размера
для хра-
нения
значения координат точек
искомого решения:
Зададим начальное условие:
Заполним
массив
значениями, начиная с
до
с шагом
.
Для этого используем цикл с параметром.
Используя
расчетную формулу Эйлера, заполним
массив
Выведем полученное решение на экран:
Выполним
построение ломаной Эйлера средствами
пакета