Файл: 17.06.вкр.docx

В работе принята единая нумерация параграфов. Нумерация формул своя в пределах каждого параграфа. Формулы имеют двойную нумерацию: например, (2.1) означает, что речь идет о формуле 1 из §2.

Основные результаты ВКР докладывались на заседаниях кафедры математического анализа и элементарной математики, на заседаниях НСО, на научно-практической конференции преподавателей и студентов физико-математического факультета 9 апреля 2014 года.

ГЛАВА 1. Линейные дифференциальные уравнения первого и второго порядка с постоянным оператором в банаховом пространстве.

§1. Решение однородного и неоднородного уравнений в векторной и операторной формах.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

в банаховом пространстве с постоянным оператороми непрерывной вектор-функцией.

Определение 1.1 Банаховым пространством называется полное нормированное векторное пространство.

Пространство будем называтьфазовым пространством уравнения.

Обратимся к однородному уравнению

Решение задачи Коши для уравнения с условием

получено в [12] с использованием оператор - функции .

Вектор-функция

имеет непрерывную производную и является решением задачи . Это решение является единственным в классе дифференцируемых функций. Достаточно показать, что если непрерывная функция, удовлетворяющая уравнению, обращается в нуль в точке, то она обращается в нуль и в некоторой её окрестности[12].

Такая функция должна удовлетворять уравнению

Откуда следует при оценка

приводящая при к противоречию, если

Применяя метод вариации постоянной, можем найти решение задачи Коши для неоднородного уравнения в виде

После такой замены уравнение примет вид

Откуда

и наконец

Очевидно, что выражение представляет собой дифференцируемую функцию. Кроме того, решениезадачи Кошиединственно, поскольку единственно решение задачи Коши для однородного уравнения.

Приведём решение этой задачи в операторной форме. Предположим, дан оператор , где, удовлетворяет уравнению

и условию .

Рассмотрим более общее операторное уравнение

в фазовом пространстве . Перепишем уравнениев виде [6]

Поскольку операторыикоммутируют, решение уравнения, удовлетворяющее условию имеет вид

Точно так же можно получить для решения уравнения

где - непрерывная функция со значениями из формулу

§2. Исследование поведения решений однородного уравнения на бесконечности

Поведение решений задачи на бесконечности существенно зависит от расположения спектра оператора.

Предположим, что спектрлежит внутри левой полуплоскости. Тогда изследует на основании теоремыI.1.4 [1] оценка

при любых и некоторых положительных постоянных.

Верно и обратное: если оценка выполняется для всякого решения уравнения, то спектрлежит внутри левой полуплоскости. Действительно, из следует, что

и остается применить теорему I.1.4 [1]:

Поведение решения уравнения в предположении, что спектр лежит в левой полуплоскости, можно охарактеризовать более точно, если ввести новую эквивалентную норму в пространстве, пользуясь формулой

Оказывается, в этой норме решения уравнения стремятся прик нулю монотонно. Действительно,

И, таким образом,

Рассмотрим теперь случай, когдапричем спектральное множествонепусто.

Пусть - спектральные проекторы, соответствующие этому разложению спектра, и- соответствующее прямое разложениена инвариантные подпространства оператора. Так какинвариантны относительно операторов, то решениеуравнения, начинающееся в каком - нибудь из них, уже не выходит из соответствующего подпространства.