ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.04.2024
Просмотров: 130
Скачиваний: 0
СОДЕРЖАНИЕ
Федеральное государственное бюджетное
§2. Исследование поведения решений однородного уравнения на бесконечности
§3. Ограниченность решений однородного уравнения
§4.Условия существования ограниченного решения у неоднородного уравнения
§5. Общие сведения о дифференциальных уравнениях
Реализация метода Рунге-Кутта с помощью системы Maxima
Реализация конечно-разностного метода
§ 11. Метод сеток для решения дифференциальных уравнений в частных производных
Выполним реализацию конечно-разностного метода в системе компьютерной математики Maxima
Для
нахождения точного решения задачи Коши
воспользуемся встроенной командой
Дифференциальное уравнение запомним
под именем
Зададим начальное условие
Находим
точное решение задачи Коши
:
Вычислим
значения функции в точках отрезка
с шагом
.
Найдем величину абсолютной погрешности:
§8.Метод Эйлера-Коши
Отличительная
особенность метода Эйлера-Коши от метода
Эйлера заключается в том, что значение
в правой части уравнения вычисляется
не только в точках сетки (шаг
),
но и также в середине отрезков (шаг
)
(промежуточных точках).
Предположим,
что промежуточное значениерешения задачи в точке
=
,
уже известно,
вычисляются по следующим формулам:
,
=
,
Отсюда вычисляют
=
Геометрическая
интерпретация метода Эйлера-Коши:
определяется направление интегральной
кривой в исходной точке
и во вспомогательной точке
,
,
а в качестве окончательного выбирается
среднее из этих направлений. Метод
Эйлера-Коши называют методом Рунге-Кутта
второй точности.
Пример
8.1. Применяя
метод Эйлера-Коши, найти решение задачи
Коши
в
трех последовательных точках
,
,
.
Решение.
Возьмем
шаг
Используя расчетную формулу Эйлера-Коши
найдем приближенное решение задачи
Коши:
=1.5+0.31=1.81
1.81+0.2
=1.81+0.3342=2.1442
=2.1442+0.363724=2.507924
Таким образом, получили численное решение задачи Коши:
|
0 |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
|
1.5 |
1.81 |
2.1442 |
2.507924 |
Графиком
приближенного решения является ломанная,
последовательно соединяющая точки
Как видим, решения задачи Коши, полученные методом Эйлера и методом Эйлера-Коши очень близки.
Реализация метода Эйлера-Коши с помощью системы Maxima.
Для решения задачи методом Эйлера сформируем еще три пустых
массива
и вспомогательный массив
Зададим начальное условие:
Заполним массив x 2 значениями, начиная с 0.2 до 1 с шагом h .
Для этого используем цикл с параметром.
Теперь воспользуемся расчетной формулой Эйлера-Коши и найдем решение:
Выведем найденное решение на экран:
Выполним построение найденного решения задачи (4.1) средствами
пакета draw:
Найдем величину абсолютной погрешности:
Как видим, метод Эйлера-Коши дает более точный результат, чем метод Эйлера. Максимальная погрешность вычислений составляет 0.7%.
§ 9. Метод Рунге-Кутта
Для
простоты записи вместо
,
будем писать
,
h.
Пусть r≥2 – целое положительно число и
- положительные числа.
Пусть
числа
(s
= 1, 2, . . . ,r-1; m=1, 2, . . . ,s),
удовлетворяют условиям
s
= 1, 2, . . . ,r
Один
этап метода Рунге-Кутта (переход от
к
)
таков.
1).Вычисляются
одно за другим следующие
чисел:
,
,
,
,
,
…
,
,…
,
.
2). Вычисляется сумма произведений
3).
Вычисляется
по формуле
Числа
,
,
при заданномr выбираются так, чтобы
разность
рассматриваемая
как функция переменного
была бесконечно малой возможно более
высокого порядкаl
относительно
при
0.
Вообще говоря, этим требованиям числа
,
,
не определяются однозначно и при выборе
этих чисел принимаются во внимание
также соображения о простоте формул
Приведем примеры некоторых систем таких чисел и отвечающих им значений l:
r=2,
,
=
,
l=3;
r=2,
,
=1,
l=3;
r=3,
,
,
,
=
,
l=4;
r=3,
,
,
,
=0,
,l=4