ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.04.2024
Просмотров: 124
Скачиваний: 0
СОДЕРЖАНИЕ
Федеральное государственное бюджетное
§2. Исследование поведения решений однородного уравнения на бесконечности
§3. Ограниченность решений однородного уравнения
§4.Условия существования ограниченного решения у неоднородного уравнения
§5. Общие сведения о дифференциальных уравнениях
Реализация метода Рунге-Кутта с помощью системы Maxima
Реализация конечно-разностного метода
§ 11. Метод сеток для решения дифференциальных уравнений в частных производных
Выполним реализацию конечно-разностного метода в системе компьютерной математики Maxima
§11посвящен методу сеток для решения дифференциальных уравнений в частных производных, рассматриваются важные определения, приведены примеры.
В работе принята единая нумерация параграфов. Нумерация формул своя в пределах каждого параграфа. Формулы имеют двойную нумерацию: например, (2.1) означает, что речь идет о формуле 1 из §2.
Основные результаты ВКР докладывались на заседаниях кафедры математического анализа и элементарной математики, на заседаниях НСО, на научно-практической конференции преподавателей и студентов физико-математического факультета 9 апреля 2014 года.
ГЛАВА 1. Линейные дифференциальные уравнения первого и второго порядка с постоянным оператором в банаховом пространстве.
§1. Решение однородного и неоднородного уравнений в векторной и операторной формах.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
в
банаховом пространстве
с постоянным оператором
и непрерывной вектор-функцией
.
Определение 1.1 Банаховым пространством называется полное нормированное векторное пространство.
Пространство
будем называтьфазовым
пространством
уравнения.
Обратимся к однородному уравнению
Решение
задачи Коши для уравнения
с условием
получено
в [12]
с
использованием оператор - функции
.
Вектор-функция
имеет
непрерывную производную и является
решением задачи
.
Это решение является единственным в
классе дифференцируемых функций.
Достаточно показать, что если непрерывная
функция
,
удовлетворяющая уравнению
,
обращается в нуль в точке
,
то она обращается в нуль и в некоторой
её окрестности[12].
Такая функция должна удовлетворять уравнению
Откуда
следует при
оценка
приводящая
при
к противоречию, если
Применяя
метод вариации постоянной, можем найти
решение задачи Коши для неоднородного
уравнения
в виде
После
такой замены уравнение
примет вид
Откуда
и наконец
Очевидно,
что выражение
представляет собой дифференцируемую
функцию. Кроме того, решение
задачи Коши
единственно, поскольку единственно
решение задачи Коши для однородного
уравнения.
Приведём
решение этой задачи в операторной форме.
Предположим, дан оператор
,
где
,
удовлетворяет уравнению
и
условию
.
Рассмотрим более общее операторное уравнение
в
фазовом пространстве
.
Перепишем уравнение
в виде [6]
Поскольку
операторыи
коммутируют,
решение уравнения
,
удовлетворяющее
условию
имеет вид
Точно так же можно получить для решения уравнения
где
-
непрерывная
функция со значениями из
формулу
§2. Исследование поведения решений однородного уравнения на бесконечности
Поведение
решений задачи
на бесконечности существенно зависит
от расположения спектра оператора
.
Предположим,
что спектрлежит
внутри левой полуплоскости. Тогда из
следует на основании теоремыI.1.4
[1] оценка
при
любых
и
некоторых положительных постоянных
.
Верно
и обратное: если оценка
выполняется
для всякого решения
уравнения
,
то спектр
лежит
внутри левой полуплоскости. Действительно,
из
следует,
что
и остается применить теорему I.1.4 [1]:
Поведение
решения уравнения
в предположении, что спектр
лежит в левой полуплоскости, можно
охарактеризовать более точно, если
ввести новую эквивалентную норму в
пространстве
,
пользуясь формулой
Оказывается,
в этой норме решения уравнения
стремятся при
к нулю монотонно. Действительно,
И, таким образом,
Рассмотрим
теперь случай, когдапричем спектральное множество
непусто.
Пусть
-
спектральные проекторы, соответствующие
этому разложению спектра, и
- соответствующее прямое разложение
на инвариантные подпространства
оператора
.
Так как
инвариантны относительно операторов
,
то решение
уравнения
,
начинающееся в каком - нибудь из них,
уже не выходит из соответствующего
подпространства.
Введем
в
индефинитную норму[8]
Произведя
вычисления, аналогичные проведенным
выше, получим
Поэтому
и,
следовательно, индефинитная норма
любого решения уравнения
убывает.
Рассмотрим два частных случая.
Пусть
, т.е.
. В этом подпространстве
и нормы
и
эквивалентны. Из
следует, что
монотонно стремится к нулю.
Таким
образом, решения
уравнения
с начальным вектором
из подпространства
стремятся к нулю.
Пусть
, т.е.
.В этом подпространстве
является обычной нормой, эквивалентной
. Из
следует, что