Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

Глава 12. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА 

416 

y 

Y 

Блок оценки 

градиента 

u 

G 

k 

b 

1

p

1

1

Tp

Рис. 12.15. Структурная схема системы с дополнительной  

инерционностью 

Запишем  операторное  уравнение  замкнутой  системы,  предполагая, 

что  с  помощью  соответствующего  блока  градиент  можно  оценить  

точно, т. е. 

(

1)

bk

y

G

p Tp

, 

(12.38) 

где 

2 ,

G

Y

y

y  так как экстремальная характеристика описывает-

ся уравнением 

2

Y

y . 

Преобразуем уравнение (12.38) : 

(

1)

2

p Tp

y

bky

, 

которое затем представим в стандартной форме: 

2

(

2

)

0

Tp

p

bky

. 

(12.39) 

Отсюда  следует,  что,  выбирая  (

)

0,

bk

  можно  обеспечить  устойчи-

вость системы (12.39), уравнение статики которой имеет вид 

0

2

0

bky

. 

(12.40) 

Таким  образом,  точка  равновесия 

0

0

y

  эквивалентна  точке  экс-

тремума, так как при этом 

0

G

. 

Характер  движения  системы  к  точке  экстремума  определяется  ха-

рактеристическим уравнением  

2

2

0

Tp

p

bk

. 

(12.41) 

12.7. Организация движения к экстремуму 

417 

Выбирая распределение корней из условия обеспечения требуемых 

показателей качества процесса выхода на экстремум (

*
n

t   и 

*

), сфор-

мируем  желаемое  характеристическое  уравнение  второго  порядка. 
Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях оператора 
p  этих  двух  уравнений  (согласно  методике  модального  метода  синте-
за), можно определить требуемые численные значения k и T. 

12.7.3. ОДНОКАНАЛЬНЫЕ  СИСТЕМЫ  ОБЩЕГО  ВИДА 

Обсудим  теперь  задачу  синтеза  для  объектов  управления  произ-

вольного  порядка,  которые  описываются  нелинейным  нестационар-
ным дифференциальным уравнением 

1

1

, ,

,

, ,

,

;

( , ).

n

n

n

y

f t y

y

b t y

y

u Y

Y t y





  (12.42) 

Предполагается,  что  дрейф  экстремума  медленный,  т.  е. 

0

dY dt

.  

В этом случае градиент определяется соотношением 

( )

Y

G

G y

y

. 

Сформируем снова пропорциональный градиенту закон управления 

( )

u

kG y

 (12.43) 

и исследуем поведение замкнутой системы 

1

( )

(

1)

, ,

,

, ,

,

( )

n

n

n

y

f t y

y

b t y

y

kG y





.   (12.44) 

Обеспечить  устойчивость  замкнутой  системы  можно  соответст-

вующим  выбором  коэффициента  усиления  k .  Так  как  система  (12.44) 
нелинейная,  то  для  анализа  устойчивости  можно  использовать  второй 
метод Ляпунова, на основе которого определяется коэффициент  k . По-
скольку второй метод Ляпунова дает лишь достаточное условие устой-
чивости,  выбранная  функция  Ляпунова  может  оказаться  неудачной, 
поэтому  регулярную  процедуру  расчета  регулятора  здесь  предложить 
нельзя. 

Глава 12. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА 

418 

12.7.4. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ,  

ОСНОВАННЫЕ НА МЕТОДЕ ЛОКАЛИЗАЦИИ  

Данный  способ  синтеза  экстремальной  системы  предполагает  ис-

пользование в законе управления действительной и желаемой старшей 

производных выходной переменной динамической части системы ана-

логично  способу  управления  нелинейными  нестационарными  объек-

тами (см. главу 10). 

Рассмотрим  возможности  метода  применительно  к  объекту  управ-

ления (12.42), описание которого представим в переменных состояния: 

1

1

1

,

,

,

,

,

( ),

,

,

( , ).

n

x

f x t

B x t u

x

R

u

R

y

g x

y

R

Y

R

Y

Y y t



 (12.45) 

Здесь  предполагаем,  что функция  ( )

g x

  допускает  многократное  диф-

ференцирование, а дрейф экстремума достаточно медленный. 

Цель  управления  заключается  в  определении  такого  управляю-

щего воздействия  u = u( ), которое обеспечивает выполнение усло-

вия (12.10) 
 

0

lim ( )

t

y t

y  

с заданной точностью 

0

0

*

|

|

. 

Наряду с условием статики предъявляются требования и к динами-

ке, т. е. к характеру переходных процессов, в виде оценок 

*

n

n

t

t  и 

*

. 

Для  формирования  алгоритма  управления  необходимо  предвари-

тельно определить производную выходных переменных динамической 

части  объекта,  которая  непосредственно  зависит  от  управления.  При 
этом обозначим через C вектор-строку производных 

T

C

g

x . 

Исследуем ситуацию, когда 

( )

0

CB

. 

(12.46) 

В этом случае от управляющего воздействия будет явно зависеть пер-

вая производная выходных переменных динамической части объекта 

12.7. Организация движения к экстремуму 

419 

( , )

( , )

y

Cx

Cf t x

CB t x u





, 

 (12.47) 

поэтому  требования  к  поведению  замкнутой  системы следует форми-

ровать  относительно  нее  в  виде  желаемого  дифференциального  урав-

нения [8] 
 

( )

( )

y

F G

G y



, 

(12.48) 

где   – коэффициент, который выбирается из условия требуемого вре-

мени выхода на экстремум. Причем для большого класса объектов ти-

па (12.45) желаемое дифференциальное уравнение можно конструиро-

вать  в  классе  линейных  уравнений,  формируя  распределение  корней 

аналогично модальному методу синтеза. 

В статике желаемое уравнение (12.48) вырождается в условие 

( )

0

G y

, 

что соответствует точке экстремума. 

Зададим закон управления на основе метода локализации в виде 

(

)

u

k F

y

, 

(12.49) 

где k – коэффициент усиления регулятора. 

Использование  y   в  алгоритме  управления  (12.49)  позволяет  пода-

вать  влияние  динамической  части  объекта  и  действующих  на  него 

возмущений,  а  наличие  градиента  –  организовать  движение  к  точке 

экстремума, соответствующей точке равновесия замкнутой системы. 

Подставив  (12.49)  в  (12.47),  получим  уравнение  динамики  для  вы-

ходной переменной ДЧ 
 

( , )

( , ) (

)

y

Cf t x

CB t x k F

y



 , 

(12.50) 

которое преобразуется к виду 
 

(1

)

CBk y

Cf

CBkF



. 

При условии, что  (1

)

0

CBk

, получим уравнение замкнутой системы 

1

1

(1

)

(1

)

y

CBk

Cf

CBk

CBkF



. 

(12.51) 

Начиная  с  некоторых  значений  коэффициента  k выполняется условие 

1

CBk

, и уравнение (12.51) при условии, что  (

)

0

CBk

, вырождает-

ся в следующее: 

1

1

(

)

(

)

y

CBk

Cf

CBk

CBkF



. 

(12.52) 

Глава 12. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА 

420 

Пренебрегая  первым  слагаемым  в  уравнении  (12.52)  при  k

,  за-

пишем его в виде 

( )

( )

y

F G

G y



. 

Таким  образом,  соответствующий  выбор  коэффициента  усиления 

регулятора  позволяет  с  заданной  точностью  обеспечить  в  замкнутой 

системе желаемую динамику выхода на экстремум. Параметры регуля-

тора выбираются из соотношения 

20...100

CBk

. 

(12.53) 

В этом случае ошибка поддержания в системе желаемого уравнения 

не будет превышать (1…5) %. Структурная схема системы приведена 

на рис. 12.16. 

БОГ

ЭХ

К

d

dt

x = f + Bu
y = g(x)

y

y

Y

u

G

 Блок  

 оценки 

 гради- 

 ента 

, 

(x)
_ 

K 

–α 

Рис. 12.16. Расчетная схема системы со старшей производной  

в управлении 

В  реальной  системе  для  оценки  полной  производной  по  времени 

используется  дифференцирующий  фильтр,  поэтому  оценивать  гради-
ент  удобно  с  помощью  специального  фильтра,  который  будем  назы-
вать фильтром оценки частной производной. 

Следует отметить, что использование в системе фильтров с малыми 

инерционностями может приводить к возникновению в ней разнотем-
повых  процессов,  для  исследования  свойств  которых  необходимо 
применять метод разделения движений (см. разд. 10.5).  

ПРИМЕР  12.2 

Рассчитать  систему  поиска  экстремума  для  объекта  управления,  пове-

дение которого описывают уравнения 

0

0

2

( ) ,

,

T y

y

k t u

Y

ay

