Файл: деп_тукс_10_11.doc

Система Х называется квантовым каналом связи и поддерживает перенос состояний из системы М в систему М*. В общем случае для совершенной передачи (переноса) квантовый канал должен быть достаточно емким: необходимо, чтобы dim_X  dim_M. Впрочем, иногда совершенная передача (перенос) не является необходимой; требуется лишь приближенный перенос информации из системы М в систему М*. В зависимости от характеристик сигнала можно требовать от канала связи меньшей емкости - смотря насколько качественно нам нужно его воспроизвести.

Под сигналом далее будем понимать передаваемое квантовое состояние вида:

,

где - оператор плотности (для чистого состояния - это оператор проецирования), отвечающий векторам-состояниямквантовой системыМ, передаваемым с вероятностью p(a).

Для того, чтобы определить эффективность канала нужно ввести меру качества передачи. Пусть начальный передаваемый сигнал системы М есть . Он представляется оператором плотности. Конечное состояниеМ* будет состоянием, представленным оператором плотности w_a. В общем случае это состояние не является чистым, поэтому w_a - необязательно оператор проецирования. Для того, чтобы проверить насколько близко состояние w_a находится к состоянию можно произвести контрольное измерение наблюдаемой. Это измерение имеет два возможных исхода: “1” - показывающее, что конечное состояние совпадает с начальным и “0” - показывающее, что конечное состояние отлично от начального. Тогда вероятность того, что конечное состояниеw_a прошло испытание есть . Определим точность воспроизведения информации -качество как общую вероятность того, что набор сигналов (или ансамбль сигналов), приготовленный в М и переданный в М*, прошел контрольный тест, сравнивающий его с начальным состоянием:

.

Ясно, что качество лежит в интервале между 0 и 1. Оно равна единице только в случае, когда передача всех возможных сигналов является совершенной (идеальной). F будет близко к единице если:

1. сигналы с большой вероятностью р(а) искажены несильно при передаче, поэтому w_a приблизительно совпадает с ;

2. набор сигналов, который сильно возмущен, т.е. имеющий w_a сильно отличную от имеет малую вероятность появленияр(а).

Информация сама по себе является объективной физической величиной в ряду других — таких как масса, энергия, импульс и т. д. В квантовой теории информация — это количественная величина, характеризующая систему. В этом случае об информации говорят как об обычной физической величине, которая может принимать различные значения при изменении состояния системы. Подобно тому, как масса тела увеличивается (уменьшается) при наличии массообмена со средой, так и количество информации изменяется, если система взаимодействует с окружением — и все это объективные процессы, которые не зависят от нашего субъективного мнения. Информационные процессы — это часть физики, точно так же, как и другие процессы, приводящие к изменению той или иной физической величины. Информационным процессам отводится особая роль в силу специфических особенностей понятия «информация» в квантовой физике. Мера информации (ее количественная характеристика) вводится на основе фундаментальных принципов квантовой теории в терминах матрицы плотности. Суть квантовой информации и одновременно ее исключительная особенность — в том, что эта физическая величина как нельзя лучше подходит на роль «первичной субстанции всего сущего».

О фундаментальном значении информации пишет Б. Киви в статье «Инфо-космо-логия» (http://offline.computerra.ru/2004/544/33769/index.html): «Все больше теоретиков считают, что ключевой идеей, ведущей к „великому объединению“ гравитации и квантовой теории, может стать переформулирование взглядов на природу не в терминах материи и энергии, а в терминах информации».

Одним из первых об этом заговорил Дж. А. Уиллер: «Моя жизнь в физике представляется мне разделенной на три периода. В первый из них, растянувшийся с начала моей карьеры и до начала 1950-х годов, я был захвачен идеей, что „всё — это частицы“. Я искал способы выстроить все базовые элементы материи (нейтроны, протоны, мезоны и т. д.) из самых легких, наиболее фундаментальных частиц — электронов и фотонов. Второй период я называю „всё — это поля“. С тех пор, как я влюбился в общую теорию относительности и гравитацию в 1952 году, и вплоть до недавнего времени, я придерживался взгляда на мир, как на состоящий из полей. Мир, в котором то, что представляется нам частицами — это в действительности проявления электрических и магнитных полей, гравитационных полей и самого пространства-времени. Теперь же я захвачен новой идеей: „Всё — это информация“. Чем больше я размышляю о квантовых тайнах и о нашей странной способности постигать тот мир, в котором мы живем, тем больше вижу, вероятно, фундаментальное значение логики и информации как основы физической теории».

Возможно, в результате декогеренции появляется материя как «форма организованной информации».

Когда речь идет о квантовой теории, о количественном описании в терминах состояний, то информация — это одна из количественных характеристик системы. Можно попытаться провести аналогию со знакомыми нам мерами классической информации, которыми мы пользуемся, когда работаем на обычном компьютере. Тогда мы говорим о мегабайтах и гигабайтах информации, содержащейся в том или ином файле или на диске. Работа компьютера основана, прежде всего, на количественной теории информации, на битах, на определенном количестве ячеек памяти. Нашему компьютеру все равно, какая информация содержится в том или ином файле, когда он создается, копируется или удаляется. Для компьютера важно лишь общее количество битов, которыми мы манипулируем, и состояние каждого бита, когда файл сохраняется на диске. Способы обработки файлов и ячеек памяти, своеобразные «фундаментальные законы», согласно которым наш компьютер манипулирует информацией, не зависят от того, какие именно данные там содержатся. Например, любой файл копируется по одному и тому же «закону», независимо от того, какая в нем есть информация.

Так же и в квантовой теории — только здесь на первый план выходят не биты, а кубиты. В более широком смысле речь идет о любой системе, описываемой в терминах состояний. Такое обобщение возможно потому, что кубит — это вектор состояния произвольной двухуровневой системы, и любую более сложную систему можно рассматривать как совокупность кубитов. Обычно в квантовой теории, описывая какую-либо систему в терминах состояний, мы рассматриваем ее, как состоящую из элементарных «кирпичиков», кубитов — элементарных двухуровневых состояний.

Таким образом, любые системы в окружающей реальности можно рассматривать в терминах кубитов, как совокупность ячеек памяти квантового компьютера. (Тогда и весь Универсум, вероятно, можно представть в виде глобального и единого для всей реальности Квантового Компьютера, своеобразной всеобъемлющей Матрицы Плотности). Поэтому Р. Фейнман и говорил об исключительно важной роли квантовых компьютеров в постижении законов природы. Понимание фундаментальных принципов работы квантового компьютера, в отличие от обычного, уже не ограничивается конкретными техническими устройствами. (Это и будет означать более глубокое понимание фундаментальных законов окружающей реальности, согласно которым «функционирует» весь наш Универсум). Процессы декогеренции/рекогеренции, то есть перехода нелокального (чисто информационного) состояния в локальное и обратно, манипулирование квантовой запутанностью кубитов и т. д. — все это физические процессы, которые происходят в окружающей нас реальности, причем на самом фундаментальном ее уровне.

Имея дело с классической информацией, мы разделяем саму информацию и физический носитель. В результате чего можем лишь приспособить какой-либо материальный объект для хранения (передачи) определенного количества «классической» информации. Получается, что без материального носителя информация не может существовать. Поэтому и возникают иногда вопросы, где содержится квантовая информация, и что является ее носителем? В квантовой теории информация - это физическая величина, характеризующая систему, т. е. сама система и является носителем квантовой информации.

Квантовое описание на сегодняшний день — это самое полное теоретическое описание из всех известных. И в случае чистого состояния, когда мы описываем замкнутую систему, то на вопрос, где содержится информация об этой системе, следует очевидный ответ: информация содержится в самой системе, это одна из ее количественных характеристик.

Основывается эта мера на понятии частичной матрицы плотности и выражается в терминах энтропии фон Неймана:

S(ρ_A) = – Sp[ρ_A log₂(ρ_A)].

Здесь ρ_A — частичная (редуцированная) матрица плотности подсистемы А. Получается она взятием частичного следа по B. С физической точки зрения, взятие частичного следа и получение редуцированной матрицы плотности — это усреднение по всем внешним степеням свободы выделенной подсистемы (по ее внешнему окружению). В некотором отношении это проведение границы между подсистемой и ее окружением, когда подсистема может рассматриваться независимо от него. Мы как бы «вырезаем» нашу подсистему из более сложной структуры и рассматриваем ее в качестве самостоятельного объекта. В результате этой операции пространство допустимых состояний подсистемы уменьшается, частичная матрица плотности имеет меньшую размерность, чем исходная система, например, из матрицы 4 × 4 получается матрица 2 × 2.

Мера информации в квантовой теории определяется на основе понятия матрицы плотности. Мера информации вводится так: количество информации I в системе численно равна следу квадрата матрицы плотности, то есть

I = Sp(ρ²). (2.24)

Это определение легко объясняется с физической точки зрения. Согласно обычным правилам квантовой механики, любой физической величине, которую мы хотим использовать в качестве количественной характеристики системы, ставится в соответствие линейный самосопряженный оператор Q. И численное значение этой физической величины получается из выражения:

<Q> = Sp(ρ Q). (2.25)

Сравнивая с предыдущим выражением, мы видим, что меру информации можно рассматривать как количественную характеристику системы, когда физической величиной является сама система, точнее, матрица плотности, выступающая в данном случае в качестве оператора физической величины, то есть

I = <ρ> = Sp(ρ ρ).

Из этого следует, что квантовая информация является самой фундаментальной количественной характеристикой системы, поскольку для ее определения нет необходимости вводить дополнительные соображения о том, какие еще физические величины (операторы) характерны для данной системы. Квантовая информация, как мера, существует всегда, если есть система, независимо от того, в каком состоянии она находится. Информация сама по себе является физической сущностью и существует даже тогда, когда система находится в нелокальном состоянии, поэтому ее можно считать «первичной субстанцией», из которой в процессе декогеренции могут «проявляться» локальные объекты. «Информация физична» в прямом смысле — она является источником всех других физических процессов и материальных проявлений, которые могут иметь место в системе.

Отсюда и более высокий статус квантовой информации относительно других физических величин, которые мы могли бы дополнительно привлечь для описания системы. А поэтому выше и значимость закона сохранения квантовой информации по сравнению с другими законами сохранения

Мы рассмотрели, каким образом вводится мера информации, исходя из основополагающих принципов квантовой теории. При таком определении для любого чистого состояния (замкнутой системы) мера информации равна 1 (следствие нормировки амплитуд вектора состояния). Это максимальное значение — то есть для любой изолированной системы информация максимальна и равна единице. Для смешанных состояний (открытых систем) информация меньше единицы, и минимальное ее значение достигается для максимально смешанных состояний и равно 1/d, где d = 2^N — размерность гильбертова пространства (N — число двухуровневых подсистем). Таким образом, количество информации, содержащейся в системе, изменяется от 1/2^N для максимально смешанных состояний до 1 для чистых состояний (изолированных систем). С физической точки зрения это легко объяснить. В замкнутой системе вся информация содержится в ней самой, и нормированная ее величина равна 1. Для смешанных состояний, то есть для систем, взаимодействующих со своим окружением, часть информации о системе теряется в ее окружении. И минимум информации, который может остаться в самой системе (случай максимально смешанного состояния), определяется числом локализованных структур в системе в процессе декогеренции (при этом взаимодействие с окружением сопровождается декогеренцией, то есть локализацией системы и ее составных частей из изначально нелокального информационного состояния).