Файл: деп_тукс_10_11.doc

Элементарная единица в квантовой теории информации - это квантовый бит или кубит (quantum bits, qubits), введённый Б.Шумахером в 1995 г. Кубит – это квантовая частица, имеющая два базовых состояния, которые обозначаются |0и |1. Двум значениям кубита могут, например, соответствовать основное и возбуждённое состояние двухуровневой системы, направление вверх и вниз спина электрона или атомного ядра, направление тока в сверхпроводящем кольце и т.п. Иначе, кубит – это вектор состояния двухуровневой системы.

Рис. 2.1. Иллюстрация кубита: состояниям |0и |1отвечают, например, направления спина атомного ядра вверх или вниз

Группы кубитов могут быть сцеплены, т.е. квантовым образом коррелированны. Квантовая система состоит из n кубитов, если ее гильбертово пространство имеет размерность 2ⁿ , и при этом имеется 2ⁿ взаимно ортогональных квантовых состояний. Для двух ортогональных состояниий единичного кубита будем пользоваться обозначениями: . В общем случае2ⁿ взаимно ортогональных состояний n кубитов можно представить в виде , где i - этоn-ое двоичное число. Например, для трех кубитов, n = 3, это - всего 2³, т.е. 8 состояний. Состояние двухуровневой системы - кубита представляется в виде

где комплексные коэффициенты - амплитуды состояний, удовлетворяющие условию нормировки Заметим, что такая запись не означает, что значение кубита “распределено” между состояниями “0” и “1”. Оно означает, что кубит - это когерентная суперпозиция двух ортогональных состояний. Измерение кубита в базисе двух собственных состояний “0” и “1” будет давать значение “0” с вероятностьюи значение “1” - с вероятностью= 1 -. Кубит – это обобщение классического бита, который является предельным случаем кубита при ||²= 1, либо | |²= 1.

В чем же состоит отличие между когерентной суперпозицией и смесью (между чистым состоянием и смешанным)? Дело в том, что для чистого состояния S всегда можно указать базис, в котором значение кубита строго определено, т.е. является собственным. Для смешанного состояния такого базиса не существует. Например, рассмотрим чистое состояние

Состояние |0ñ = |↑ñ = (1, 0)^Т — это вектор-столбец (спин-вверх); состояние |1ñ = |↓ñ = (0, 1)^Т тоже вектор-столбец, но спин-вниз. При измерениях в базисе “0” и “1”, очевидно, что состояния “0” и “1” будут обнаружены с вероятностью 0,5.

В простейшем случае для системы, которая может находиться в двух состояниях, например, «вверх» и «вниз», матрица плотности имеет размер 2 × 2 и для чистого состояния она имеет вид

Существует и более общее выражение для матрицы плотности кубита смешанного состояния, когда кубит взаимодействует со своим внешним окружением:

, (2.1)

где Е — единичная матрица, = (P_x, P_y, P_z) — вектор Блоха (вектор поляризации), а = (σ_x, σ_y, σ_z) — вектор, компонентами которого являются матрицы Паули:

. (2.2)

Компоненты вектора Блоха определяются как средние значения матриц Паули по обычному правилу P_j ≡ <σ_j> = Sp(ρ σ_j); j = x, y, z.

Три проекции вектора поляризации P_x, P_y, P_z, согласно (2.1), полностью определяют матрицу плотности кубита. В случае чистого состояния длина вектора поляризации равна 1, то есть , и этот вектор описывает сферу единичного радиуса, которая называется сферой Блоха (рис. 2.1). В этом случае компоненты вектора Блоха равны

P_x= sinθcosφ,

P_y= sinθsinφ,

P_z= cosθ,

и два вещественных параметра (углы θ и φ) однозначно задают вектор состояния (матрицу плотности) кубита.

В случае смешанного состояния длина вектора поляризации становится меньше единицы, то есть , и он будет расположен внутри сферы.

Итак, матрица плотности кубита может быть представлена точкой в трехмерном пространстве, т.е. существует взаимно однозначное соответствие между матрицей плотности и точкой шара единичного радиуса. Для чистого состояния (замкнутой системы) — это точка сферы.

Рис. 2.2. Сфера Блоха

Чистые состояния, описываемые одним вектором состояния, соответствуют точкам поверхности сферы Блоха, а смешанные состояния, описываемые матрицей плотности, — точкам внутри шара. При взаимодействии с окружением (при декогеренции), в случае смешанного состояния, вектор состояния как бы погружается внутрь сферы Блоха и будет описывать уже не окружность, а, например эллипс. В самом предельном случае, когда состояние кубита становится максимально смешанным, весь шар, все пространство допустимых состояний, сжимается до отрезка на оси квантования между значениями 1/2 и –1/2. Этот отрезок — тот минимум, который может остаться от кубита, скажем, в самом худшем (или лучшем?) случае.

Такая ситуация, например, имеет место при максимально запутанном состоянии с другим кубитом. Тогда матрица плотности одного кубита является максимально смешанной.

В этом проявляется двойственный характер декогеренции: с одной стороны, она приводит к локализации системы, нарушению когерентного состояния, но с другой — взаимодействие с окружением ведет к квантовой запутанности с этим окружением. Можно еще сказать и так: предельно возможная декогеренция окружением совпадает с максимальной запутанностью с этим окружением. И реализуется эта ситуация при наличии максимально возможного взаимодействия между кубитами (как в нашем случае), когда они составляют единое целое (максимально запутанное состояние).

Можно задать вопрос: а какое количество информации содержит один кубит? Если с каждой точкой на сфере Блоха, с каждым положением вектора состояния сопоставить определенную информацию, то, как это ни парадоксально звучит, кубит содержит бесконечный объем информации, и эта информация аналоговая, непрерывная. Кубит, двигаясь по поверхности сферы Блоха, непрерывно изменяет свое состояние, изменяя при этом информацию. Но информация, содержащаяся в кубите, — квантовая.«Считать» с кубита можно только один бит классической информации — либо 0, либо 1.

Одно из хорошо известных достоинств квантовой теории заключается в том, что она может одновременно, в едином ключе, описывать как дискретные, так и непрерывные характеристики системы. Так же и в случае кубита. Имея два основных состояния, мы можем описать бесконечное число «оттенков» между этими двумя пограничными состояниями.

Управлять состоянием кубита — значит, управлять амплитудами а и b в векторе состояния, эти величины непрерывные, аналоговые, поэтому квантовый компьютер иногда называют компьютером с аналоговым управлением. В настоящее время такое управление кубитами научились реализовывать унитарными (обратимыми) операциями. Попросту говоря, научились вращать вектор состояния кубита по сфере Блоха, переводя его в нужное состояние, в том числе в нелокальное суперпозиционное или в запутанное с другими кубитами.

При этом привычные для нас классические состояния кубита составляют бесконечно малую часть его совокупного пространства состояний. В терминах коэффициентов а и b — из бесконечного их числа только два значения соответствуют чистым классическим (локальным) состояниям, когда либо , либо(в этом случае нет суперпозиции состояний, и у нас |Ψñ = |0ñ или |Ψñ = |1ñ). На сфере Блоха — это только две точки (полюсы) из бесконечного числа других точек сферы. Максимально запутанные состояния — точки экватора, это уже линия, а не две точки.

Возможно так же можно сказать и о любых объектах окружающей реальности. Их допустимое пространство состояний гораздо шире классических состояний. Классический домен составляет лишь незначительную (бесконечно малую) часть совокупной квантовой реальности окружающего мира.

В частных случаях состояниями кубитов можно управлять и целенаправленно получать любые состояния. Именно практическая работа над созданием квантовых компьютеров многое дала для понимания соотношений между различными состояниями и привела к реализации таких переходов. Например, ученые научились переводить кубиты из классического локального состояния в нелокальную суперпозицию (преобразование Адамара):

или . (2.3)

Можно назвать этот процесс рекогеренцией. Обратное преобразование (справа налево) — это декогеренция. И все эти «вращения» вектора состояния кубита по сфере Блоха можно делать при помощи унитарных преобразований, обратимых на временах, меньших времени декогеренции кубита внешним окружением.

Еще раз подчеркнем - нелокальные суперпозиционные состояния и квантовую запутанность научились создавать для отдельных кубитов. Такие состояния уже невозможно объяснить ансамблевой интерпретацией, как это делал Эйнштейн, пытаясь уйти от «телепатии». Теперь эта «телепатия» между кубитами выходит на первый план и становится основным рабочим ресурсом в квантовой информатике.

Рассмотрим систему, состоящую из двух частей (А и B), каждая из которых может находиться в двух состояниях 0 и 1. Вектор типа |01ñ означает, что подсистема А находится в состоянии 0, а подсистема B — в состоянии 1.

Если система замкнута (чистое состояние), то мы можем записать для нее вектор состояния, например, в стандартном базисе:

|Ψñ = a|00ñ + b|01ñ + c|10ñ + d|11ñ, (2.4)

где a, b, c, d — в общем случае комплексные числа (амплитуды) и выполняется условие нормировки |a|²+ |b|²+ |c|²+ |d|²= 1.

Вектор состояния (2.4) описывает все возможные состояния системы, и их бесконечное число, поскольку амплитуды заданы на множестве комплексных чисел, т. е. a, b, c, d могут быть любыми числами (удовлетворяющими условию нормировки), как вещественными, так и комплексными, и таких чисел бесконечно много.

Матрица плотности для чистого состояния записывается как проектор |ΨñáΨ| (вектор-столбец (1.2) нужно умножить на комплексно сопряженную строку). Это матрица 4 × 4 и по диагонали в ней стоят |a|², |b|², |c|², |d|² — это вероятности нахождения системы в каждом из четырех возможных собственных состояний |00ñ, |01ñ, |10ñ, |11ñ соответственно. Сумма вероятностей этих состояний (след матрицы плотности) равна 1 (условие нормировки). Недиагональные элементы характеризуют корреляции (взаимодействия) между четырьмя различными состояниями системы, в них содержится информация о градиентах энергии, возникающих в ней.

Состояние (2.4) может быть максимально запутанным, например, одно из них:

. (2.5)