Файл: fiz_1_1_mekh_otnosit_vm_i_as_rab_var_1_09_12.doc

Углом между двумя векторами называют угол, образованный этими векторами, проведенными из одной точки. На рис. 1.1а показан не угол между векторами, а равный ему. Если пользоваться правилом параллелограмма, то на чертеже можно указать непосредственно угол между векторами соответственно его определению (см. рис. 1.1б). В теореме косинусов (1.3) знак плюс появляется потому, что сторона с лежит против угла (180^о– ).

Операция сложения векторов, как видим, требует для её выполнения двух уравнений. Уравнение (1.2) формально задаёт вектор-сумму, а уравнение (1.3) даёт возможность вычислить модуль суммы двух векторов. Заметим, что само по себе выражение (1.2) не задаёт направление вектора , а лишь определяет операцию. Это определение следует дополнить правилом сложения: сложить два вектора – значит построить второй вектор из конца первого и соединить стрелкой начало первого вектора с концом второго. Пунктиром на рис. 1.1б показано сложение по правилу параллелограмма, которое, очевидно, эквивалентно первому.

Этот же рисунок иллюстрирует и вычитание векторов: если результат – путь АС – известен, а пройден путь АВ, то остался путь ВС, значит:

(1.4)

Отсюда вытекает правило вычитания векторов: соединив начала векторов и замкнув концы в сторону вектора уменьшаемого, получим вектор разности. Длина его также может быть найдена по теореме косинусов:

(1.5)

Снова задача нахождения векторной величины распадается на две: нахождение направления вектора по (1.4) и его модуля по (1.5).

Здесь уместно заметить, что приращение  векторной величины – это вектор разности двух векторов. Так, скорость – векторная величина и ее изменение (приращение) будет тоже векторной величиной:

(1.6)

Направление приращения скорости найдется по правилу вычитания векторов, и, следовательно, не будет совпадать с направлением ни вектора-уменьшаемого, ни вектора-вычитаемого. Длина вектора записывается с символом модуля –. Не следует путать его с изменением длины вектора , обозначаемым через. Нетрудно убедиться, что если векторы направлены в одну сторону и длина векторабольше длины вектора, то приращение скорости совпадет с направлением скоростей. Если же скорость , то приращение будет отрицательно, то есть направлено в сторону, противоположную движению.

Векторы можно перемножать двумя способами: скалярным и векторным.

Скалярное произведение двух векторов есть скаляр, величина которого равна произведению модулей перемножаемых векторов, умноженному на косинус угла между ними:

(1.7)

Скалярное умножение векторов – единственный случай действия над векторами, когда не требуется два уравнения: ведь получаемый результат – скаляр!

Результатом векторного умножения векторов будет вектор, направление которого находится по правилу: вектор векторного произведения двух векторов перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы-сомножители. Направление векторного произведения определяется поступательным движением буравчика, если головку вращать от первого сомножителя ко второму (рис. 1.2). Записывается векторное произведение так:

(1.8)

Одного уравнения (1.7), указывающего операцию, вновь не достаточно: ведь следует указать и величину этого вектора. Она находится по правилу:

(1.9)

где  – угол между векторами-сомножителями.

В механике приходится иметь дело ещё и с двойным векторным произведением, но это правило будет дано в тексте соответствующей лекции.

Кроме арифметических операций с векторными величинами часто бывает нужно находить проекции вектора на оси координат, или выражать вектор через его проекции. Рассмотрим двумерный случай, когда вектор лежит в плоскостиXOY и составляет угол  с осью ОХ (рис. 1.3). Как следует из рисунка, угол вектора с осьюОУ будет в этом случае равен (90^о ). Проекциями данного вектора на оси координат будут числа a_x и a_y, которые определяются величиной вектора и углом . В данном случае (см. рис. 1.3)

a_x  acos; a_y  – asin.

(1.10)

Вектор через его проекции можно выразить как сумму векторов, полученных умножением проекций на соответствующие единичные векторы и, выполняющие роль введенного выше единичного вектора, и определяющие направления осей координат:

(1.11)

Модуль вектора легко определяется через его проекции по теореме Пифагора:

(1.12)

В трехмерном случае проекций вектора будет три и в суммах (1.11) и (1.12) добавится проекция a_z c соответствующим единичным вектором.

3.Метод размерных оценок в задачах физики

3.1. Введение в теорию размерных оценок. Преобразования подобия. Аффинные преобразования

Метод размерностей работает в очень широком диапазоне порядков величин, он позволяет оценивать размеры Вселенной и характеристики атомного ядра, проникать внутрь звезд, изучать волны на поверхности лужи и подсчитывать количество взрывчатки при строительстве туннелей в горах.

По мере приобретения навыков впечатление от метода размерностей должно смениться пониманием того, что уже на самой первой стадии применения этого метода - при выписывании системы, определяющих взаимосвязь параметров - необходимо четко представлять себе саму физику явления. Метод размерностей не открывает новых фундаментальных законов и, не подвергает сомнению установленные законы. Вместе с тем даже люди, не имеющие глубоких специальных знаний, могут получить из соображений размерности не только функциональную зависимость, но часто и численную оценку.

Этот метод сам служит одним из важных стимулов к углубленному изучению физики, создавая при удачном его применении отнюдь не обманчивое ощущение собственных возможностей, он помогает быстро прикинуть, что должно получиться в ответе, проверить сам ответ, восстановить забытую формулу.

При разумном выборе параметров безразмерные комбинации функционально связанных величин всегда оказываются порядка единицы. Законы природы не зависят от масштабов, которыми мы измеряем длину, время, массу и другие физические величины. Выбираемые единицы измерений во многом носят случайный характер, такой выбор связан с удобствами, привычками и историческими традициями.

Поэтому естественно пытаться выражать законы природы, т. е. уравнения, связывающие различные физические величины, в таком виде, чтобы они не зависели от выбора масштабов. Так приходят к безразмерным соотношениям. Но когда образованы безразмерные соотношения из функционально связанных величин, можно потребовать, чтобы эти соотношения были порядка единицы, поскольку другого выбора не имеется.

Существование безразмерных физических соотношений есть, по существу, проявление принципа подобия – при изменении масштабов численные значения физических величин, конечно, меняются, физические же законы меняться не должны.

Смотрите также файлы

Билеты ответы на экзамен общей физики (Механика).docx

finansovy_otchet_1 - Катя.doc

finansoviy_menedzhment_voprosy_s_otvetami.pdf

FAQ по лекциям.doc

Failid.doc

Файл: fiz_1_1_mekh_otnosit_vm_i_as_rab_var_1_09_12.doc

3.Метод размерных оценок в задачах физики

3.1. Введение в теорию размерных оценок. Преобразования подобия. Аффинные преобразования

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно