Файл: R5.doc

Приклад 5.4. Функції ,– лінійно незалежні, так як співвідношення, дене рівні одночасно нулю, виконуються не більше ніж в одній точці. Це випливає з=.

Приклад 5.5. Функції =sinx , =cosx ,=1 – лінійно залежні на , так як для будь-якогох справджується співвідношення

sinx + cosx – 1 = 0 .

Розглянемо необхідні умови лінійної залежності n функцій .

Теорема 5.1. Якщо функції (x),(x), ... , – лінійно залежні на (a,b), то їх вронскіан W (x) тотожно дорівнює нулю на (a,b) . Тут

W(x) = . (5.14)

Доведення. Згідно умови теореми

(x) + (x) + ... +0 , a < x < b, де не всі одночасно рівні нулю . Нехай, тоді

. (5.15)

Диференціюємо (5.15) (n-1) раз і підставляємо в (5.14)

. (5.16)

Розкладаючи визначник (5.16) на суму визначників, будемо мати в кожному з них два однакові стовпці, тому всі визначники будуть рівні нулю і отже

W (x) 0 , a < x < b.

Теорема доведена.

Нехай кожна з функцій (x),(x), ... , – розв’язок диференціального рівняння (5.5). Тоді необхідні і достатні умови лінійної незалежності цих розв’язків даються теоремою 5.1 і наступною теоремою.

Теорема 5.2. Якщо функції (x),(x), ... , – суть лінійно незалежні розв’язки диференціального рівняння (5.5), всі коефіцієнти якого неперервні на (a,b) , то вронскіан цих розв’язків W не дорівнює нулю в жодній точці інтервалу (a,b).

Доведення. Припустимо протилежне , що в точці (a,b) . Складемо систему рівнянь

. (5.17)

Так як визначник системи (5.17) , то вона має ненульовий розв’язок. Розглянемо функцію

y = , (5.18)

яка є розв’язком диференціального рівняння (5.5).

Система (5.17) показує , що в точці розв’язок (5.18) перетворюється в нуль разом із своїми похідними до(n-1) –го порядку . В силу теореми існування і єдиності це значить , що має місце тотожність

y(x)= ,a < x < b,

де не всі дорівнюють нулю . Останнє означає , що розв’язки – лінійно залежні на (a,b). Це протиріччя і доводить теорему.

З теорем 5.1 і 5.2 випливає: для того, щоб n розв’язків диференціального рівняння (5.5) були лінійно незалежними на (a,b) необхідно і достатньо , щоб їх вронскіан не дорівнював нулю в жодній точці цього інтервалу.

Виявляється, для вияснення лінійної незалежності n розв’язків диференціального рівняння (5.5) достатньо переконатися , що W(x) не дорівнює нулю хоча б в одній точці інтервалу (a,b) . Це випливає з наступних властивостей вронскіана від n розв’язків диференціального рівняння (5.5):

а) якщо вронскіан дорівнює нулю в одній точці (a,b) і всі коефіцієнти диференціального рівняння (5.5) є неперервними, то на(a,b).

Дійсно, якщо , то по теоремі 5.2 функції - лінійно залежні на (a,b). Тоді , по теоремі 5.1 на(a,b);

б) якщо вронскіан n розв’язків диференціального рівняння (5.5) відмінний від нуля в одній точці (a,b) , то на(a,b).

Дійсно , якби W(x) дорівнював в одній точці з (a,b) нулю, то згідно а) на(a,b), в тому числі і в точці (a,b), що суперечить умові.

Звідси випливає, якщо n розв’язків диференціального рівняння (5.5) лінійно незалежні на (a,b), то вони будуть лінійно незалежні на будь-якому (a,b).

5.1.4. Формула Остроградського – Ліувілля

Ця формула має вигляд

. (5.19)

Доведення. Розглянемо вронскіан W(x) = і обчислимо його похідну

++

.

Перших (n-1) - визначників рівні нулю , так як всі вони мають по дві однакових стрічки. Далі домножимо перші (n-1) рядки останнього визначника відповідно на і складемо всіn стрічок . В силу диференціального рівняння (5.5) маємо

=.

Звідки маємо формулу (5.19).

5.1.5. Фундаментальна система розв’язків та її існування

Означення 5.5 Сукупність n розв’язків диференціального рівняння (5.5) визначених і лінійно незалежних на (a,b) називається фундаментальною системою розв’язків .

З попереднього випливає, для того, щоб система n розв’язків диференціального рівняння (5.5) була фундаментальною системою розв’язків необхідно і достатньо, щоб вронскіан цих розв’язків був відмінний від нуля хоч в одній точці інтервалу неперервності коефіцієнтів диференціального рівняння (5.5). Всі ці розв’язки повинні бути ненульовими.

Теорема 5.3 (про існування фундаментальної системи розвязків). Якщо коефіцієнти диференціального рівняння (5.5) є неперервними на (a,b) , то існує фундаментальна система розв’язків на цьому інтервалі.

Доведення. Візьмемо точку (a,b) і побудуємо, використовуючи метод Пікара , розв’язки :