Файл: R5.doc

,

. (5.83)

Виберемо з умови

. (5.84)

За можна взяти, наприклад, функцію

, (5.85)

тоді

,

і диференціальне рівняння (5.83) перепишеться у вигляді

, (5.86)

де . ФункціяQ(x)називається інваріантом диференціального рівняння (5.81).

Приклад 5.18.Звести диференціальне рівняння Бесселя

(x > 0), (5.87)

до вигляду, який не містить члена з першою похідною з допомогою заміни шуканої функції.

Розв'язання. Тут , . Таким чином

і рівняння Бесселя підстановкою приводиться до рівняння

. (5.88)

5.2.2. Зведення диференціальних рівнянь другого порядку до рівнянь, які не містять члена з першою похідною з допомогою заміни незалежної змінної

Розглянемо для диференціального рівняння (5.81) заміну

(5.89)

і покажемо, що диференціальне рівняння можна привести до вигляду, який не містить члена з першою похідною.

Припустимо, що – неперервно диференційована функція на інтервалі неперервності коефіцієнтівдиференціального рівняння (5.81), причому . Маємо

, , (5.90)

де – функція, яка визначається з (5.89). Підставляючи (5.90) в (5.81), отримаємо

.

Функцію виберемо з рівняння . Звідки . Взявши , знаходимо функцію як частинний розв'язок

. (5.91)

Таким чином, підстановкою , диференціальне рівняння (5.81) зводиться до вигляду

, . (5.92)

Приклад 5.19.Розвязати диференціальне рівняння

.

Розв'язання. Зведемо наше диференціальне рівняння до вигляду, який не містить члена з першою похідною з допомогою заміни

.

Будемо мати диференціальне рівняння .

Отже .

5.5.3. Спряжені, самоспряжені диференціальні оператори, крайові умови і крайові задачі

Спряженим з диференціальним оператором

(5.93)

називають диференціальний оператор наступного вигляду

. (5.94)

Властивість спряженості двох операторів є взаємною, тобто спряженим до диференціального оператора буде диференціальний оператор .

Якщо , то оператор називають самоспряженим.

Характерна властивість спряжених диференціальних операторів: для будь-яких двічі неперервно диференційованих функцій і виконується співвідношення

. (5.95)

Дійсно

.

Нехай і – дві множини функцій, які задовольняють деяким однорідним крайовим умовамАіВвідповідно на [a,b]. Тоді, якщо для довільних функцій з цих множин виконується співвідношення

, (5.96)

то крайові умови АтаВназивають спряженими крайовими умовами, які відповідають диференціальним операторам і.

Крайову задачу для диференціального рівняння при крайових умовахАі крайову задачу при крайових умовахВ(– задані функції) називають спряженими крайовими задачами.

Якщо при цьому диференціальний оператор самоспряжений і крайові умовиА''самоспряжені'', тобто співпадають з крайовими умовамиВ, то крайова задача для при крайових умовахАназивається самоспряженою крайовою задачею.

5.5.4.Зведення лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку до самоспряженого вигляду

Означення 5.6.Лінійне однорідне диференціальне рівняння в якому коефіцієнт при дорівнює похідній від коефіцієнта при , тобто диференціальне рівняння (5.81) має вигляд

(5.97)

називають самоспряженим диференціальним рівнянням другого порядку.

Твердження 5.1.Довільне лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку

, (5.98)

коефіцієнти якого неперервні на , а і є неперервно диференційованою функцією на , завжди можна привести до самоспряженого вигляду домноженням на деяку функцію відх.

Доведення.Домножимо (5.89) та :

.

Виберемо згідно умовам . Звідки , тобто

. (5.99)

Домножаючи диференціальне рівняння (5.98) на функцію (5.99), отримаємо

.

Позначивши , перепишемо диференціальне рівняння так

, де .

Твердження доведено.

5.5.5. Задача Штурма-Ліувілля

Це задача про власні значення і власні функції: на відрізку знайти двічі неперервно диференційовані не рівні тотожно нулю розв'язки крайової задачі

, (5.100)

(5.101)

і визначити відповідні їм значення параметра . Тут , – постійні числа, – неперервні на функції, причому , .

Вказані розв'язки називають власними або фундаментальними функціями, а відповідні їм числові значення називають власними значеннями або власними числами.

Властивості оператора :

а) справедливе співвідношення

. (5.102)

Дійсно

.

З іншого боку

.

Твердження доведено;

б) якщо і задовольняють умові (5.101), то

. (5.103)

Дійсно