Файл: R5.doc

й покладемо;;

………………..

й покладемо ;

й покладемо .

Підставляючи (5.58) в диференціальне рівняння (5.49) отримаємо n –е рівняння

.

Таким чином, для визначення невідомих функцій отримаємо систему диференціальних рівнянь

. (5.59)

Відносно – це система лінійних рівнянь з визначником. Для знаходженнязапишемо формулу

, (5.60)

де – алгебраїчне доповнення до елементуn-го рядка і i –го стовпчика визначника . Всі функції, які входять в праву частину диференціального рівняння (5.60) є неперервними на. З (5.60) отримаємо

, (5.61)

де – довільні сталі,.

Тоді загальний розвязок диференціального рівняння (5.49) запишеться у вигляді

. (5.62)

Тут

(5.63)

– частинний розвязок диференціального рівняння (5.49).

Неважко перевірити, що частинний розвязок (5.63) задовольняє нульовим початковим умовам

.

Приклад 5.16. Знайти загальний розвязок диференціального рівняння

.

Розв'язання. Фундаментальна система розвязків для диференціального рівняння буде. Отже

.

Тому загальний розвязок запишемо у вигляді ()

,

.

Зокрема, для диференціального рівняння другого порядку

(5.64)

загальний розвязок запишеться у вигляді

. (5.68)

При цьому – частинний розвязок диференціального рівняння (5.64), який задовольняє цьому рівнянню з початковими умовами ,.

Для диференціального рівняння виду

, (5.66)

так як , що випливає з формули Остроградського – Ліувілля, загальний розвязок запишемо у формі

. (5.67)

Таким чином, для знаходження загального розвязку диференціального рівняння (5.49) необхідно знайти фундаментальну систему розвязків однорідного рівняння (5.52), після чого загальний розвязок запишеться в квадратурах.

5.3.3. Знаходження частинного розвязку лінійного неоднорідного диференціального рівнянняn –го порядку методом Коші

Припустимо, що для рівняння (5.52) відома фундаментальна система розвязків . Використовуючи (5.53), побудуємо частинний розвязок диференціального рівняння (5.52), який задовольняє початковим умовам

. (5.68)

Цей розвязок буде залежати від , як від параметра. Тут, функціямає неперервні частинні похідні потадоn –го порядку включно. Причому, вона є розвязком диференціального рівняння (5.52) . Крім цього, в силу початкових умов (5.68), функціязадовольняє умовам

, (5.69)

де

.

Умову (5.69) можна записати і так

, (5.70)

де

.

Розглянемо функцію

, (5.71)

де і покажемо, що ця функція є частинним розвязком диференціального рівняння (5.49) з початковими умовами

.

Для цього використаємо формулу

.

Знаходимо похідні

,

,

………………………… (5.72)

,

.

Підставимо (5.72) в диференціальне рівняння (5.49), отримаємо

.

Тобто , а це означає, що функція (5.71) є частинним розвязком диференціального рівняння (5.49). Формула (5.71) називається формулою Коші.

5.4. Лінійні диференціальні рівняння n –го порядку зі змінними коефіцієнтами, які зводяться до рівнянь з постійними коефіцієнтами

1. Рівняння Ейлера

Це рівняння вигляду

. (5.73)

Це рівняння приводиться до рівняння з постійними коефіцієнтами заміною

. (5.74)

Дійсно

,

, (5.75)

……………………

.

Підставляючи (5.74) і (5.75) в диференціальне рівняння (5.73) ми отримаємо диференціальне рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами

. (5.76)

Частинні розвязки диференціального рівняння (5.76) знаходять у вигляді . Враховуючи (5.74), частинні розвязки диференціального рівняння (5.73) можна зразу шукати у вигляді (5.74)

. (5.77)

2. Рівняння Лагранжа має вигляд

. (5.78)

Це рівняння заміною також приводиться до диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами.

3. Рівняння

(5.79)

називається рівнянням Чебишева і після заміни привоно набирає вигляду

. (5.80)

Дійсно

,

.

Отже

,

.

Тобто отримали (5.80).

Приклад 5.17. Розвязати диференціальне рівняння

.

Розв'язання. Випишемо і розвяжемо характеристичне рівняння

,

.

Тому фундаментальна система розвязків буде наступною

.

Отже

–загальний розвязок.

5.5. Деякі питання теорії лінійних однорідних диференціальних рівнянь другого порядку. Задача Штурма – Ліувилля

5.5.1. Зведення диференціального рівняння другого порядку до рівняння, яке не містить члена з першою похідною, з допомогою заміни шуканої функції

Розглянемо однорідне диференційне рівняння другого порядку

. (5.81)

Заміною

, (5.82)

де z– нова змінна,(x)- двічі неперервно диференційована функція на інтервалі неперервності коефіцієнтів, диференціальне рівняння (5.81) зводиться до диференціального рівняння, яке не містить члена з першою похідною. Підставимо (5.82) в (5.81), отримаємо