Файл: R5.doc

, ,

які разом з розв’язком (– дійсні числа) утворюють фундаментальну систему розв’язків на інтервалі .

Приклад 5.6.Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

Розв'язання. Запишемо характеристичне рівняння і знайдемо його розв'язки

,.

Тоді

– загальний розв’язок.

Приклад 5.7.Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

.

Розв'язання.,,

–

загальний розв'язок.

Приклад 5.8.Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

.

Розв'язання.,,

.

в). Випадок наявності кратних коренів характеристичного рівняння.

Припустимо, що -кратний корінь характеристичного рівняння (5.30), так що

, але. (5.33)

Щоб знайти розв’язки, які відповідають характеристичному числу , продиференціюємо тотожність

(5.34)

раз по, використовуючи при цьому формулу

.

Для знаходження похідної від добутку функцій використовуємо формулу Лейбніца

,

де

.

Маємо

.

Використовуючи (5.33), запишемо

,

тобто функції

(5.35)

є розв’язками диференціального рівняння (5.27). Ці функції лінійно незалежні на .

Таким чином, кожному дійсному кореню кратностівідповідаєдійсних лінійно незалежних розв’язків виду (5.35).

Якщо характеристичне рівняння має комплексні корені кратності, толінійно незалежних розв’язків будуть мати вигляд

. (5.36)

Розв’язки (5.36) лінійно незалежні на інтервалі

Приклад 5.9.Розв’язати диференціальне рівняння

.

Розв'язання. Запишемо розв’язки характеристичного рівняння

,.

Тоді

,

– загальний розв’язок.

Приклад 5.10.Розв’язати диференціальне рівняння

.

Розв'язання. ,,

,

– загальний розв'язок.

Приклад 5.11.Розв’язати диференціальне рівняння

.

Розв'язання. ,,

,

– загальний розв'язок.

5.2.2. Знаходження частинного розв’язку лінійно неоднорідного диференціального рівняння методом невизначених коефіцієнтів

Для деяких частинних випадків функції можна знайти частинні розв’язки диференціального рівняння (5.26) без квадратур.

I).Розглянемо диференціальне рівняння з правою частиною

, (5.37)

де поліном з дійсними чи комплексними коефіцієнтами,-постійне дійсне чи комплексне число.

Розглянемо два випадки.

Випадок 1.Числоне є коренем характеристичного рівняння. Тоді частинний розв’язок диференціального рівняння (5.37) шукають у вигляді

, (5.38)

де

(5.39)

поліном -ої степені з невизначеними коефіцієнтами. Тобто, в цьому випадку частинний розв’язок має ту ж аналітичну структуру, що і права частина диференціального рівняння (5.37)

Коефіцієнти знаходяться шляхом підстановки (5.38) в (5.37) і прирівнювання коефіцієнтів при однакових степенях.

Переконаємося, що шукані коефіцієнти визначаються однозначно. Підставимо (5.38) в (5.37), отримаємо

Використовуючи вищенаведені формули, запишемо

.

На основі них маємо

Скорочуємо на і прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях

(5.40)

Так як , то з (5.40) послідовно визначаються всі коефіцієнти.

Випадок 2.Параметрявляється-кратним коренем характеристичного рівняння, тобто

. (5.41)

В цьому випадку частинний розв’язок не можна побудувати в вигляді (5.38), так як . Його шукаємо у вигляді

, (5.42)

де – поліном вигляду (5.39).

Коефіцієнти полінома визначаються шляхом підстановки (5.42) в (5.37).

Звідки

.

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях

(5.43)

З (5.43) послідовно однозначно визначаються , так як.

II). Припустимо, що права частина диференціального рівняння (5.26) має вигляд

, (5.44)

де ,– відомі поліноми степені менше або рівне(хоча б один має степінь).

Використовуючи формули Ейлера, обчислимо

і перепишемо функцію таким чином

де і– поліноми степені, тобтоє сума двох функцій, які розглянуті вище.