Файл: R5.doc

Теорема 5.7 (В.А. Стеклова про розклад функції в ряд). Довільна двічі неперервно диференційовна функція на , яка задовольняє крайовим умовам , розкладається на цьому відрізку по власним функціям задачі Штурма-Ліувілля (5.100), (5.101) в абсолютно і рівномірно збіжний ряд Фур'є

, (5.113)

де – власні функції задачі Штурма-Ліувілля (5.100), (5.101), які відповідають власним значенням і задовольняють умові ортогональності з ваговою функцією

, (5.114)

коефіцієнти Фур'є функції

. (5.115)

5.5.7. Поняття повноти системи функцій. Зв'язок збіжності в середньому і повноти

Нехай – система власних функцій задачі (5.100), (5.101), або довільна система двічі неперервно диференційовних на функцій, ортогональних з ваговою функцією .

Означення 5.6. Система функцій називається повною на , якщо для довільної функції , яка є кусково неперервною на і задовольняє умові , має місце рівність

, (5.116)

де – коефіцієнти Фур'є функції .

Співвідношення (5.116) називають умовою повноти, або рівністю Парсеваля-Стеклова.

В силу ортонормованості функцій маємо

, (5.117)

де – будь-які постійні, – коефіцієнти Фур'є функції.

Величину

(5.118)

називають середнім квадратичним відхиленням функції від . З (5.117) випливає, що величина І найменша при і визначається формулою

. (5.119)

З (5.119) маємо

, (5.120)

яка називається нерівністю Бесселя.

В силу (5.119) можна стверджувати: для того, щоб система функцій була повною, необхідно і достатньо, щоб для довільної функції , кусково неперервної на , з інтегровним квадратом, мала місце гранична рівність

. (5.121)

Рівність (5.121) означає, що середнє квадратичне відхилення суми від прямує до нуля при . В цьому випадку говорять, що послідовність функцій збігається до всередньому.

Таким чином, для того, щоб система функцій , ортонормована з ваговою функцією , була повною, необхідно і достатньо, щоб ряд Фур'є для довільної функції , кусково неперервної на з інтегровним квадратом збігався до неї в середньому або, що все одно, необхідно і достатньо, щоб довільну з вказаних функцій можна було апроксимувати в розумінні середнього квадратичного відхилення з будь-якою наперед заданою точністю.