Файл: R5.doc

з початковими умовами ;

з початковими умовами ;

………………………………………………

з початковими умовами .

Очевидно , що , отже побудовані розв’язки лінійно незалежні.

Теорема доведена.

З методу побудови лінійно незалежних функцій випливає, що таких функцій можна побудувати безліч.

Побудована система розв’язків називається нормованою в точці .

Для будь-якого диференціального рівняння (5.5) існує тільки одна фундаментальна система розв’язків, нормована по моменту .

5.1.6. Загальний розв’язок. Число лінійно незалежних розв’язків

Теорема 5.4. Якщо - фундаментальна система розв’язків диференціального рівняння(5.5) , то формула

(5.20)

де - довільні константи, дає загальний розв’язок диференціального рівняння(5.5) в області

, , (5.21)

тобто в області визначення диференціального рівняння (5.5).

Доведення. Якщо – розв’язки диференціального рівняння (5.5) , то лінійна комбінація (5.20) теж розв’язок. Систему

(5.22)

можна розв’язати відносно ,, ... ,в області (5.21), так як. Згідно визначення (5.20) – загальний розв’язок і він містить в собі всі розв’язки диференціального рівняння (5.5).

Теорема доведена.

Для знаходження частинного розв’язку такого, що

(5.23)

необхідно все підставити в (5.22) і визначити ,i=1,2,…,n. Тоді – частинний розв’язок. Якщо фундаментальна система розв’язків – нормована в точці, то, тобто

(5.24)

загальний розв’язок в формі Коші.

Зауважимо, що загальний розв’язок диференціального рівняння (5.5) є однорідна лінійна функція від довільних констант.

Твердження 5.1. Диференціальне рівняння (5.5) не може мати більше ніж n лінійно незалежних частинних розв’язків.

Дійсно, нехай ми маємо (n+1) частинний розв’язок. Розглянемо n перших. Якщо вони лінійно залежні, то і всі будуть лінійно залежні, так як

, a < x < b,

де всі не дорівнюють нулю . Якщо ж вони лінійно залежні, то по теоремі 5.4 будь-який розв’язок, в тому числі івиражається через , тобто =. Отримали, що(n+1)-ий розв’язок знову виявився лінійно залежним.

Для побудови диференціального рівняння типу (5.5) по системі лінійно незалежних функцій , які n раз неперервно диференційовані на (a,b) , вронскіан яких , (a,b) необхідно розглянути вронскіан порядку (n+1)

=0

і розкрити цей визначник по останньому стовпчику.

Якщо відомо один частинний ненульовий розв’язок диференціального рівняння (5.5), то можна понизати порядок його на одиницю заміною

, або . (5.25)

Тоді

і диференціальне рівняння (5.5) запишемо у вигляді

.

Ми отримали диференціальне рівняння порядку (n-1)

.

Якщо маємо к лінійно незалежних частинних розв’язків, то диференціальне рівняння (5.5) можна понизити на к одиниць .

5.2 Лінійні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами

5.2.1. Побудова загального розв’язку лінійного однорідного диференціального рівняння

Розглянемо лінійне диференціальне рівняння -го порядку зі сталими коефіцієнтами

, (5.26)

де – постійні дійсні числа, – неперервна функція на .

Разом з неоднорідним диференціальним рівнянням (5.26) будемо розглядати однорідне диференціальне рівняння

. (5.27)

Для побудови загального розв’язку диференціального рівняння (5.27) необхідно знайти хоч одну фундаментальну систему розв’язків. Виявляється, що фундаментальну систему розв’язків диференціального рівняння (5.27) можна побудувати з елементарних функцій.

Наприклад, при для диференціального рівняння , де – дійсне число, частинним розв’язком буде функція .

Дотримуючись ідеї Ейлера, частинні розв’язки диференціального рівняння (5.27) шукаємо у вигляді

, (5.28)

де – деякі поки невідомі постійні числа (дійсні або комплексні). Підставимо (5.28) в (5.27) отримаємо

. (5.29)

З (5.29) випливає, що є розв'язком диференціального рівняння (5.27) тоді і тільки тоді, коли , тобто

. (5.30)

Рівняння (5.30) називають характеристичним рівнянням, а його корені характеристичними числами диференціального рівняння (5.27).

Розглянемо три випадки побудови лінійно незалежних розв'язків.

а). Корені характеристичного рівняння дійсні і різні.

Тоді дійсних частинних розв'язків знайдемо згідно формул

.

Ці розв'язки є лінійно незалежними. Дійсно

,

так як останній визначник є визначник Вандермонда, який не дорівнює нулю, коли всі числа – різні.

В цьому випадку загальний розв'язок має вигляд

(5.31)

в області

, (5.32)

де – довільні сталі.

б). Корені характеристичного рівняння всі різні, але серед них є комплексні.

Нехай – пара комплексно спряжених коренів. Два дійсних, лінійно незалежних розв’язків будуються таким чином. Кореню відповідає комплексний розв’язок . Згідно доведеному вище, функції , також є розв’язками диференціального рівняння (5.27), які є незалежними в інтервалі . Аналогічно кореню відповідають два дійсних, лінійно незалежних розв’язки , . Їх приєднання до знайдених дають лінійно залежну систему розв’язків. Тобто, спряжений корінь не приносить нових дійсних лінійно незалежних частинних розв’язків.

Таким чином, кожній парі комплексно спряжених коренів відповідає два дійсних лінійно незалежних розв’язки виду