Файл: R5.doc

Випадок 1.Числоне є коренем характеристичного рівняння. Тоді частинний розв’язок шукаємо у вигляді

, (5.45)

де і– поліноми-ої степені з невизначеними коефіцієнтами.

Випадок 2.Якщо–-кратний корінь характеристичного рівняння, то частинний розв’язок шукаємо в вигляді

. (5.46)

Приводячи (5.45) і (5.46) до дійсного вигляду, сформулюємо наступне правило знаходження частинного розв’язку для випадку (5.44).

Випадок 1.Якщоне є коренем характеристичного рівняння, то

. (5.47)

Випадок 2.Якщо–-кратний корінь характеристичного рівняння (), то

. (5.48)

Тут і– поліноми-ої степені з невизначеними коефіцієнтами.

Приклад 5.12.Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння методом невизначених коефіцієнтів

.

Розв'язання. Запишемо розв’язки однорідного диференціального рівняння

, ,, .

Знаходимо розв’язки неоднорідного диференціального рівняння

,,,

,.

Отже

– загальний розв’язок.

Приклад 5.13. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння методом невизначених коефіцієнтів

.

Розв'язання., ,, .

Так як – корінь кратності,то

,,

– загальний розв’язок.

Приклад 5.14.Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння методом невизначених коефіцієнтів

. .

Розв'язання. Для нашого випадку.

Маємо , ,, .

Оскільки , то. Після підстановки отримаємо

,

– загальний розв’язок.

5.3. Неоднорідні лінійні диференціальні рівняння n-го порядку

5.3.1. Структура загального розвязку неоднорідного рівняння

Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння

, (5.49)

де – неперервні нафункції.

Припустимо, що для диференціального рівняння (5.49) ми знайшли частинний розвязок так, що

. (5.50)

Введемо нову змінну

. (5.51)

Тоді

.

Звідки

. (5.52)

Диференціальне рівняння (5.52) називається однорідним диференціальним рівнянням, яке відповідає неоднорідному диференціальному рівнянню (5.49).

Загальний розвязок диференціального рівняння (5.52) записується у формі

, (5.53)

де – фундаментальна система розв'язків диференціального рівняння (5.52),– довільні сталі. Тоді

(5.54)

буде загальним розвязком диференціального рівняння (5.49) в області

. (5.55)

Таким чином, для знаходження загального розвязку неоднорідного диференціального рівняння (5.49) необхідно знайти один частинний розвязок диференціального рівняння (5.49) і прибавити до нього загальний розвязок однорідного диференціального рівняння.

Зауваження 5.1. Розглянемо диференціальне рівняння

. (5.56)

Припустимо, що – частинний розвязок диференціального рівняння , а– частинний розвязок диференціального рівняння . Тоді, очевидно,– частинний розвязок диференціального рівняння (5.56).

Приклад 5.15. Знайти частинний розвязок диференціального рівняння

.

Розв'язання. Розглянемо диференціальні рівняння:

1. для якого ;

2. для якого .

Тоді – частинний розвязок даного диференціального рівняння.

5.3.2. Метод варіації довільної сталої (метод Лагранжа)

Загальний розвязок неоднорідного диференціального рівняння(5.49) можна знайти в квадратурах, якщо відомо загальний розвязок відповідного однорідного диференціального рівняння (5.52). Будемо шукати загальний розвязок диференціального рівняння (5.49) у вигляді

, (5.57)

де – деяка фундаментальна система розвязків диференціального рівняння (5.52).

Виберемо функції так, щоб функція (5.57) була загальним розвязком диференціального рівняння (5.49). Так як шукані функції задовольняють тільки одній умові, то для їх визначення можна підпорядкувати їх будь яким (n-1) умовам.

Таким чином, знайдемо n похідних функції (5.57):

;

й покладемо ;