ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.02.2019
Просмотров: 3082
Скачиваний: 51
В процессе перевода предложений арифметики с обыденного языка на математический и обратно, выявляется смысл математических знаков. Вместе с тем усваивается необходимая терминология. С этой целью могут быть предложены задания, запишите:
• сумму чисел 3 и 5;
• сумму произведения чисел 6 и 15 и числа 16;
• разность 23 и 15;
• разность 15 и 7, умноженную на 6;
• выражение, в котором уменьшаемое 20, вычитаемое 3;
• выражение, в котором делимое 200, делитель 20;
• частное суммы чисел 20 и 15 и разности чисел 12 и 7 и др.
При таком способе задания арифметических выражений их записи определяются грамматической структурой предложения.
Выполнение
обратного задания «прочитай выражения,
используя русские слова» стимулирует
развитие математической речи. Например,
прочитай выражения: 
Вычислительные задачи часто формулируются в виде: реши пример. Несмотря на то что эго устоявшаяся форма, желательно ее избегать. Все- таки, пример (парадигма по-гречески) приводится, а не решается. Возможностей выразить по-русски задание на вычисление значения арифметического выражения немало:
• найди значение выражения (суммы, разности, произведения, частного);
• вычисли произведение суммы 52 и 7 на 12;
• увеличь разность 36 и 17 в 3 раза и т.н.
Если справа и слева от знака равенства стоят выражения, представляющие одно и то же число, то говорят, что равенство справедливо (истинное, имеет место, выполняется). В противном случае равенство неверно. Поэтому один из способов доказательства равенства — вычисление. Два выражения равны, если их значения совпадают и не равны в противном случае. Для некоторых выражений значение не существует. Например, не существует числа, равного 3/0 (на нуль делить нельзя), во множестве натуральных чисел не существует числа, равного 12-20. Равенство есть отношение эквивалентности, каждый класс эквивалентности по которому состоит из одного элемента. Другими словами, каждое число равно только самому себе.
Запись двух выражений, соединенных знаком «>» или «<», называется неравенством. Неравенство истинное (справедливое, имеет место, выполняется), если значения данных выражений находятся в указанном отношении и ложное — в противном случае.
Алгебра начинается с введением буквенных обозначений. Буква — это переменная, обозначающая любое число из некоторого известного множества. В УМК «Школа 2100» буквы вводятся уже при изучении чисел первого десятка. Так, задание[1]: «Сравни выражения, если возможно (>, < , =). Объясни выбор знака.
может выполняться двумя различными способами.
Первый способ основан на наблюдении над зависимостью сумм и разностей от значений компонентов, которые в вольной форме можно выразить так:
• если к числу прибавить больше, то больше получится (задание 2);
• при вычитании какого-нибудь числа получим меньше, чем при прибавлении этого же числа (задание 1);
• если вычесть больше, то получится меньше (задание 4);
• в задании 3 определить отношение между данными выражениями однозначно нельзя, при различных значениях переменных это отношение может быть любым.
Такое рассуждение достаточно сложно для первоклассника, но интуитивно он может догадаться о результате. Другой способ решения состоит в замене букв значениями из известного первокласснику множества чисел (в данном случае чисел первого десятка) и сравнении получаемых значений. В любом случае то или иное объяснение должно прозвучать на уроке, иначе не следует предлагать детям эту задачу.
В то же время не всякое использование букв в обучении математике означает введение элементов алгебры. Так, в курсе В. В. Давыдова с соавторами буквы в записи результата сравнения величин являются просто способом называния конкретной величины. Формированию представлений о букве как переменной с определенным множеством значений способствует решение, например, таких задач.
1. Заполни таблицу.
|
ь |
8 |
5 |
|
4 |
|
12 |
|
9 |
|
12 -Ь |
|
7 |
9 |
|
12 |
|
10 |
|
Учитель обращает внимание детей на то, что буква b в выражении 12 - b может принимать значения от 0 до 12.
2. У Тани в книге b сказок. Ей подарили еще книгу, в которой 8 сказок. Сказок в обеих книгах стало больше 12. Сколько сказок могло быть в Таниной книге?
Рассуждение, в котором рассматриваются возможные варианты, таково: было b сказок, подарили 8, стало b + 8сказок, и их больше 12. Сказок не могло быть 1, 2, 3 или 4, так как 1+8 = 9<12, 2 + 8 = 10 <12, 3 + 8 = = 11 < 12, 4 + 8 = 12, а 12 не больше 12. Значит, b может принимать значение 5, так как 5-г8 = 13>12, а также 6, 7, 8, 9 и т.д., но все же не любые, число сказок в книге не может быть как угодно большим.
3. Какие значения может принимать буква а в равенстве:
Заключить о том, что а может принимать любые значения, учащиеся могут, рассуждая дедуктивно. Так как, во-первых, складывать можно любые числа, во-вторых, от перемены мест слагаемых значение суммы не изменяется, то а может принимать любые значения.
Для дальнейшего изучения математики умение решать простейшие уравнения
важно, так как решение многих уравнений сводится к одному из них. Под уравнением понимается равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, значение которой требуется найти. Число называется решением или корнем уравнения, если замена буквы этим числом приводит к верному равенству. Способ поиска корня уравнения также называется его решением. Методические подходы к обучению решению уравнений, предлагаемые в различных УМК, различаются.
При традиционном подходе процесс решения строится на связи между компонентами действий, выражаемой правилами:
а) чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое;
б) чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое;
в) чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
Аналогично для остальных трех уравнений. Так, равенство х + 23 = 50 — это уравнение. Неизвестное число, обозначенное буквой, — слагаемое, поэтому, согласно правилу, х = 50 - 23. Число 27 — корень уравнения, так как 27 + 23 = 50. С позиций семиотического подхода при этом реализуется обучение «от знака к смыслу» (см. параграф 1.3), овладение правилами действий со знаками открывает для учащихся возможность установить смысл понятия «корень уравнения», т.е. понимание того, что корень уравнения может быть найден подбором подходящего числа из множества значений переменной. Это понимание и необходимо для дальнейшего изучения математики.
Обучение решению уравнений методом подбора — это обучение от «смысла к знаку», так как опирается па смысл понятия «корень уравнения». При таком подходе поиск решения уравнения х + 23 = 50 сводится к поиску подходящего числа. Он может осуществляться различными путями. Рассуждением, какое число надо прибавить к 23, чтобы получить 50. Поиск ответа на данный вопрос приводит к выводу х = 50 - 23, так как разность 50 - 23 — эго число, сумма которого с 23 равна 50 (см. параграф 3.1.2).
Второй путь — путь непосредственного подбора подходящего значения, для чего проверяем, вообще говоря, произвольные числа, пока не найдем требуемое. Здесь уместна прикидка результата, вследствие чего учащиеся овладевают «чувством числа», что не менее важно, чем владение умением решать уравнения. С другой стороны, подбор может вызвать затруднения вычислительного характера.
Возможен подход, приемлемый для уравнений любого вида, основой которого служит то, что прибавление (вычитание) одного и того же числа к обеим частям равенства не меняет его истинностного значения (результат операции единственен), что при дальнейшем обучении усваивается как перенос числа в другую часть уравнения с противоположным знаком. С этих позиций уравнение х + 23 = 50 преобразуется так:
или
Насколько такой способ приемлем в конкретной образовательной среде, решать учителю.
Умения решать уравнения раскрывает свое значение тогда, когда уравнения выступают способом перевода предметной ситуации на математический язык, тем самым определяют новый алгебраический метод решения текстовых задач. Как научить такому переводу младшего школьника?
Если дети усвоили смысл буквенного обозначения, то перевод текста, описывающего ситуацию «В вазе было агруш, из них b груш съели. Осталось с груш» на символический язык в форме равенства «а - b = с», является одним из методических приемов, ведущих к усвоению алгебраического метода решения[2]. Подчеркнем, буквы обозначают конкретные известные количества.
Предполагая одно из количеств неизвестным, получаем следующие задачи.
• В вазе было несколько груш, из них b груш съели, осталось с груш. Сколько груш было в вазе?
• В вазе было а груш, несколько груш съели, осталось с груш. Сколько груш съели?
• В вазе было а груш, b груш съели. Сколько груш осталось?
Обозначая в первой задаче неизвестное количество буквой, чаще всего
обозначаемое буквой х, получаем уравнение х- Ь = с. Вторая задача приводит к уравнению а-х = с, третья — к уравнению а- b =х.
Тогда ситуация, описываемая текстом задачи «Тане нужно было решить семь задач. Через полчаса ей осталось решить две задачи. Сколько задач решила Таня за полчаса?» па символический язык математики переводится уравнением 7 - х = 2, если неизвестное количество решенных задач обозначить буквой х.
Аналогично осуществляется перевод текста, описывающего ситуацию «В книге а страниц. Катя читала по bстраниц в день. Всю книгу Катя прочитала за с дней» на символический язык в форме равенства а/b = с.
Составляя задачи, в которых одно из количеств неизвестно, дети овладевают умением описывать количественные характеристики ситуаций в форме уравнения с помощью умножения и деления.
37. Методика формирования у младших школьников представлений об уравнениях. Методика обучения решению простейших уравнений.
Подготовительная работа идет с 1 кл: 1) Преобразование одного равенства в др 7=7, представить левую часть в виде суммы 2-х слагаемых: 3+4=7, 2) Перейти от неравенства к авенству. сравнить 7+7+7 и 7*2, 3) упражнение с окошками (выбором, перебором, подбором); 4) упражнение с таблицами: а=0, 1, 3; а+7 ?, Далее учащиеся знакомятся с понятием «уравнение». В разных учебниках – по-разному Моро -2кл, Аргинская – 1кл, Истомина – 4 кл. Понятие У вводится через окошки. Неизвестное число обозначается маленькой буквой латинского алфавита и при чтении они не склоняются. Решение сначала методом подбора: 4+х=8, 0,1,2,3,4 => х=4. Данный способ дает возможность тренировки вычислительных навыков и формирует осознанный подход к решению уравнения. Ребенок ориентирован на то, чтобы подобрать число подстановкой. После отработки этого метода, учащимся предлагается уравнение, решение к которому подобрать сложно => вывод, что подбор – нерациональн. способ, лучше найти неизвестное число, использ. правило нахождения неизвестных компонентов: ? +4=8; х+4=8; х=8-4; х=4
Алгоритм решения уравнения: 1) назови, что неизвестно в уравнении и что известно, 2) вспомни правило нахождения неизвестного компонента, 3) найди неизвестный компонент, вспомнив арифметическое действие, 4) сделай проверку, 5) назови, чему = неизвестн. число. Наиболее сложным для учащ. является У, в кот. 1 из компонентов – выражение, содержащее неизвестное число => правило нахождения неизвестного следует применять дважды. (из суммы 8 и х вычли 13 и получили 15: (8+х)-13=15. Сначала найдем неизвестное уменьшаемое 8+х=15+13, 8+х=28, х=28-8, х=20. Далее учащ. учатся применять У. к решению текстовых задач: Мама купила несколько яблок – х за 8 руб и торт за 45 руб. Всего за покупку она заплатила 141р. Сколько она купила яблок? 8х+45=141. С целью предупреждения ошибок в выборе действия, полезно предлагать учащимся системы упражнений. Большой интерес у учащихся вызывает упражнение на решении уравнений вида: х+х=10, 2х=10, х=5
38. Методика ознакомления учащихся с простейшими геометрическими фигурами (точкой, отрезком, ломанной, многоугольником, кругом, окружностью).
Геометрия является одной из древнейших наук. В 3 веке до н.э. Евклид написал книгу «начало», где предложил аксиоматическое построение науки и систематизировал геометрические знания. До наших времен геометрию учили по этой книги. Лобачевский доказал, что Евклидова геометрия не единственная. Строение школьной геометрии: 3 основных этапа: 1. Наглядный- ознакомление с основными свойствами, фигурами, терминами, наблюдениями. 2. Практическая геометрия-систематизация и обобщение основных геометрических фактов. 3. Систематический курс геометрии – основные виды учебной деятельности: , доказательства, выполнение геометрических построений. Учащиеся выпускающиеся из начальной школы должны: 1) узнавать на рисунках отрезки, треугольники, четырёхугольники, пятиугольники, круг и окружность. 2) Измерять длину отрезка, строить отрезок заданной длины, сравнивать отрезки. 3) Строить с помощью линейки, циркуля, клетчатой бумаги различные фигуры. 4) Уметь вычислять периметр многоугольника, площадь прямоугольника. 5) знать единицы измерения длины и площади и отношения между ними. Для определения целесообразной методики, учителям необходимо знать возрастные особенности усвоения геометрического материала. Выделяют 5 уровней геометрического развития: 1-ур. Характеризуется тем, что геометр.фигура рассматривается как нечто целое. В основе обучения геометрии на этом уровне явл.способность детей к восприятию формы. Учащиеся должны достигнуть этого уровня до конца 1класса. 2-ур. Хар-ся установлением отношения между элементами фигуры и самими фигурами. Свойства фигур выявляются экспериментально: при построении, наблюдении, изменении. Учащиеся должны достичь до конца начальной школы. 3-ур. Хар-ся изменением выделять элементы и их существенных признаков. Ребенок должен знать, что квадрат-это прямоугольник. Ромб с прямыми углами. Обучение на 3 уровне начинается в начальной школе и заканчивается к моменту окончания школы. 4-ур. Хар-ся осознанием учащихся дедуктивного способа построения геометр.теории. Этот уровень доступен школьникам старшего возраста. 5-ур. Хар-ся отвлечением от конкретной природы объекта. Человек мыслящий на этом уровне развивает теорию внеконкретной интерпретации.
Точка: изображение точки . С точкой уч-ся знакомятся с первых уроках. Затем точка понимается детьми как эл-т других фигур. Элемент отрезок, луч, вершина многоуг-ка, вершина угла, верш-а многогранников, центр окружности. Учащиеся учатся обозначать Точку печатными, заглавными латинскими буквами. Прямая проходит через точку, точка лежит на прямой, и т.д.-уч-ся должны уметь интерпретировать, понимать. Линия: понятие прямой и кривой линии вводится путем противопоставления. Обозначение прямой-2мя точками или одной маленькой прописной буквой. Уч-ся узнают, что через одну точку можно провести очень много прямых и кривых, а через 2точки-только одну прямую, а кривых-бесконечность. Отрезок: конструктивно вводится определение отрезка: поставили 2точки,соединили по линейке эти точки линией. Отличие прямой от отрезка: прямую можно вести долго, а отрезок нет. Отрезок-это ребра треугольника, ребра многогранников. Отрезки обозначаются точками. Важным явл-ся вопрос о сравнении отрезков следовательно визуально сравнивать можно, но это не всегда точно. Угол: в нач.шк. понятие угла сначала привязывают к многоугольникам, и только потом как отдельная фигура, состоящая их 2ух лучей, выходящих из одной точки. Уч-ся должны понимать, что (нарисованы 2 угла-лучи одного угла меньше, чем у др.)углы равны, т.к. один можно продлить. Изучаются понятия прямого, тупого и острого угла. Прямой-получается путем сгибания листа бумаги в 2раза. Уч-ся учатся обозначать и показывать углы. Ломанная – фигура составленная из отрезков. Каждый отрезок называется звеном. Есть замкнутые и не замкнутые ломанные. Многоугольники – фиксируются у учащихся постепенно. Сначала они используются как дидактический материал. У многоугольников одинаковое количество углов, вершин и сторон. Обозначение вершины заглавными латинскими буквами. Сначала понятие многоугольника вводится как обобщение ранее рассмотренных вариантов. Треугольникопределения нет в начальной школе. Они бывают: прямоугольными, равносторонними, равнобедренными. Прямоугольник - 4х угольник а прямыми углами. Квадрат- трудное определение для учащихся, представляет осознание того, что любой квадрат является прямоугольником. Поэтому важно предложить продуманную последовательность действий по осознанию этого фата. Круг и окружность- Форма круга понятна ребенку еще до школы. Определение ни круга, ни окружности в начальной школе не даются. Учащиеся должны овладеть навыками изображения круга. Далее изучаются элементы окружности: центр, радиус, диаметр.