ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.11.2019
Просмотров: 3511
Скачиваний: 59
i
i
i
i
i
i
i
i
Возвращаясь к проблемам Гильберта, замечу, что ошибочное утвер-
ждение Гильберта о кривых 6-й степени в 16-й проблеме
––
далеко не
единственная его ошибка. В опубликованной несколькими годами позже
проблем статье о Минковском Гильберт так объясняет
принцип относи-
тельности
:
«
таким образом,
понятие одновременности отдаленных
друг от друга событий существует само по себе, безотносительно
к какому-либо способу синхронизации часов в разных местах
»
.
Ни Минковский, ни Пуанкаре никогда бы так не сказали: напротив,
никакой абсолютной одновременности событий в разных точках
пространства определить принципиально нельзя
, в этом и состоит
принцип относительности.
Но физика трудна, и у самых физиков логики не больше (одна из нере-
шенных проблем Гильберта как раз состоит в том, чтобы придать физике
математическую строгость). При изложении результатов Минковского по
геометрии чисел
Гильберт проявил не б
´
ольшее понимание работ своего
друга: контрпримеры к утверждению, которое Гильберт приписал здесь
Минковскому, строятся без труда.
Ошибки играют в математике не меньшую роль, чем доказа-
тельства
: анализируя их причины и пути их преодоления, можно быстрее
идти вперед, чем тупо пытаясь продвинуться в малоизученном направ-
лении
14
.
А. Пуанкаре потратил премию, присужденную ему шведским ко-
ролем Оскаром II за его ошибочную работу о проблеме трех тел, на
то, чтобы скупить все копии журнала
«
Акта математика
»
, где эта его
ошибочная работа была напечатана, и разослать всем подписчикам ис-
правленную версию (экземпляр с правкой был лишь недавно обнаружен
в архиве издателей, после чего эта история только и стала широко
известной). Но результатом исправления ошибки было создание Пуанкаре
современной теории динамических систем (часто называемой
«
теорией
хаоса
»
).
14
А. С. Пушкин уже высоко ценил значение ошибок:
О, сколько нам открытий чудных
Готовит просвещенья дух,
И опыт, сын ошибок трудных,
И гений, парадоксов друг.
Я. Б. Зельдович выбрал себе поэтому псевдоним
«
Парадоксов
»
, объясняя, что это
–– «
фа-
милия друга гения
»
.
Комментируя
«
Евгения Онегина
»
, Набоков замечает, что
«
Пушкин, подобно многим ве-
ликим людям, математиком был усердным и никудышным
»
. Сам Набоков служит тому
примером: по его словам, строка
«
в граненый ствол уходят пули
»
объясняется тем, что
«
ствол
пистолета в сечении представляет собой
многогранник
»
.
46
i
i
i
i
i
i
i
i
Лейбниц писал на полях своего экземпляра труда Ньютона:
«
ошибка
»
,
«
ошибка
» ––
например, по поводу теоремы Ньютона, утверждающей
15
, что
площадь, отсекаемая от замкнутой плоской кривой переменой секу-
щей прямой, не может быть алгебраической функцией от секущей
прямой.
Лейбниц привел свой контрпример кривой: треугольник (сейчас
его рукопись опубликована и по-русски).
В действительности Ньютон считал кривую гладкой, а его замечатель-
ное топологическое доказательство основывалось на самом деле на ана-
литическом продолжении функции вдоль соответствующей данной кривой
римановой поверхности. В современных математических терминах это до-
казательство можно изложить совершенно строго. И при этом становится
ясно, насколько хорошо Ньютон (в отличие от алгебраического бурбакиста
Лейбница) понимал и римановы поверхности, и ряды Пюизо (которые он
считал своим основным математическим достижением и которые в то вре-
мя назывались
«
теорией параллелограмма Ньютона
»
). Сейчас они, к
сожалению, выкинуты из курсов анализа, хотя они и объясняют, например,
замечательное и часто употребляемое в физике рассуждение, почему
неко-
торые члены сложных асимптотических выражений следует сохра-
нять, хотя они и меньше по величине, чем другие, отбрасываемые
как малые
. Физики вроде Ландау обычно говорят, что сохраняемые члены
отличны от б
´
ольших отбрасываемых тем, что они якобы
«
имеют б
´
ольший
физический смысл
»
, в то время как Ньютон справедливо приписывал им
преимущество в квазиоднородной фильтрации в пространстве степенных
рядов, определяемой
многоугольником Ньютона
(который теперь назы-
вают
«
границей выпуклой оболочки носителя ряда Фурье
»
). Эйлер в своем
15
Эту свою теорему Ньютон открыл, думая о том,
какую форму планетных орбит
следовало бы выбрать
Создателю, чтобы облегчить нам вычисление положения планеты
на орбите в каждый момент времени (при ее движении по известной орбите в соответствии с
законом площадей Кеплера): сейчас для этого приходится решать трудное трансцендентное
уравнение, а теорема Ньютона показывает, что эта трудность неизбежна:
«
лучших
»
, чем
эллипсы, орбит не существует.
Между прочим, именно исследование этого специального трансцендентного уравнения при-
вело математиков к пониманию
радиуса сходимости степенного ряда
как расстояния до
ближайшей особенности, где исследуемая функция перестает быть голоморфной: ряд Тейлора
для арктангенса перестает сходиться при б
´
ольшем по модулю, чем единица, аргументе не из-
за того, что у него большие коэффициенты, а из-за особенности функции
«
арктангенс
»
в
мнимой точке
i
. Странные явления в анализе часто имеют простые топологические причины.
Открытие Пуанкаре
топологических причин расходимости рядов теории возмуще-
ний небесной механики
(Лагранжа, Лапласа и их последователей) было основой его работы
о задаче трех тел, с которой начинается новый период теории хаоса и динамических систем.
Но именно это свое замечательное открытие Пуанкаре вынужден был посчитать ошибкой,
так как он истолковал его как решение другой, гораздо менее важной проблемы, сформу-
лированной королем Швеции, истинный ответ в которой противоположен ответу, указанному
Пуанкаре.
47
i
i
i
i
i
i
i
i
«
Введении в анализ
»
объяснял эту геометрию многоугольников Ньютона и
квазиоднородных фильтраций и градуировок как важнейшую для изучения
анализа часть алгебры, но теперешние аксиомофилы выбросили из курсов
анализа все самое главное.
Эпонимический принцип, приписывающий эпигонам вроде Лейбница,
все достижения классиков вроде Ньютона, является важным социальным
стимулом поощрения новых поколений слабых исследователей.
Современный английский физик М. Берри написал мне после нашей с
ним дискуссии о происхождении
«
фазы Берри
»
, использованной и опубли-
кованной несколькими десятками лет раньше Берри в работах С. М. Ры-
това об инерции направления поляризации в светопроводе и в (засекречен-
ных в свое время) работах А. Ю. Ишлинского о набеге фазы гироскопа на
подводной лодке, возвращающейся домой по пути, отличному от пути
«
ту-
да
»
. По словам Берри, нужно всегда иметь в виду сформулированный им
принцип Арнольда
:
если какой-либо объект имеет собственное
имя
(
например,
«
Америка
»
)
, то это
–
–
не имя первооткрывателя
.
Но,
––
продолжает Берри,
––
пользуясь этим принципом, нужно иметь
ввиду и следующее его дополнение:
принцип Берри
:
принцип Арнольда применим к самому себе
.
Происхождение математических проблем бывает очень разным. Я не
собираюсь пополнять список Манина новыми загадками, отвлекающими
умников от полезных дел. Следующая тема была одним из последних увле-
чений А. Н. Колмогорова: вопрос подсказан проблемой миниатюризации
мозга или компьютера.
Рассмотрим
граф из n вершин
(шариков фиксированного радиуса
a
)
и соединяющих их проводов
(фиксированной толщины
b
). Предполо-
жим, что
максимальное число k выходящих из одной вершины прово-
дов
(
«
аксонов
»
,
«
дендритов
»
)
ограниченно фиксированной постоян-
ной
(можно представлять себе величину
k
=
100 или 1000), а число вершин
(
«
нейронов
»
,
«
ячеек
»
)
n
растет неограниченно.
Спрашивается,
как будет при этом расти минимальный радиус R
того шара, в который этот телесный
«
граф
»
из n нейронов можно
уместить без самопересечений
?
Ясно, что радиус мозга,
R
, должен расти с числом нейронов,
n
, не
медленнее, чем
3
√
n
, иначе объем вмещающего шара был бы меньше суммы
объемов уместившихся в нем
«
нейронов
»
.
Дальше Колмогоров рассуждал так. Белое вещество экономно упако-
ванного в черепе мозга
––
это дендриты и аксоны, связывающие между
собой нейроны, а серое
––
тела нейронов.
Серое вещество мозга соста-
вляет его поверхность, а белое расположено внутри
. Это подсказы-
вает, что
минимальный радиус
«
мозга
»
из n нейронов должен расти
48
i
i
i
i
i
i
i
i
не как кубический корень из n, а быстрее, как квадратный корень
из числа нейронов
.
В конце концов Колмогоров (со своим сотрудником Бардзинем) полу-
чил целую серию теорем. Во-первых,
уместить в шаре радиуса порядка
√
n систему
(
«
мозг
»
)
из n ячеек
(
«
нейронов
»
)
всегда можно
.
Во-вторых,
существуют
«
умные
»
графы
(
«
устройства мозга
»
)
,
для которых меньшего радиуса не хватит
.
В-третьих,
таких
(
требующих радиуса порядка
√
n
)
графов с n
вершинами большинство
.
В-четвертых, можно явно указать свойство
«
сложности
»
, при наличии
которого возникает необходимость радиуса порядка
√
n
. Например, при-
митивный
«
мозг червя
»
из
n
«
нейронов
»
, соединенных в последовательную
цепочку
.
––
.
––
...
––
.
, можно уместить и в круге меньшего радиуса,
3
√
n
. Но
достаточно сложный компьютер или мозг такого уплотнения не
выдерживает
. А критерием
«
сложности
»
является
универсальность
:
граф из n нейронов
«
сложен
»
, если он включает в качестве под-
графов все графы из немного меньшего, чем n, числа нейронов
(
при
прежнем ограничении на число связей, выходящих из одной вер-
шины
).
Указанным свойством универсальности обладает, оказывается
боль-
шинство
графов из
n
элементов: кретинский
«
мозг червя
» ––
редкое ис-
ключение.
Описанный этой теорией степенной закон зависимости радиуса мозга
от числа нейронов
––
прообраз множества других подобных
степенных
законов
, которые чаще всего обнаруживают эмпирически, при рисовании
результатов измерений на двойной логарифмической миллиметровке. Сте-
пенные зависимости изображаются тогда наклоненными прямыми линия-
ми. Удивительно то, что тангенс наклона этих прямых (а он-то и определяет
показатель степени степенного закона) часто оказывается рациональной
дробью с небольшими числителем и знаменателем.
Иногда для объяснения такого наблюденного степенного закона уда-
ется придумать приводящую к нему теорию (часто довольно сложную),
Примером является здесь показатель 5
/
3 в колмогоровских законах тур-
булентности, объясненный им при помощи также недоказанного
принципа
подобия
(согласно которому рождение средних вихрей из б
´
ольших упра-
вляется
тем же
неизвестным нам законом, что и рождение малых из
средних
––
и так от планетарных масштабов в атмосфере или океане и
до микроскопических вихрей, где энергия движения диссипируется за счет
вязкости). Интересно, что идея о существовании такого закона в гидро-
динамике высказывалась уже Леонардо да Винчи (объяснившего другим
законом подобия, почему киты больше слонов).
49
i
i
i
i
i
i
i
i
Я приведу здесь еще несколько наблюденных степенных законов, объ-
яснения показателей степеней в которых мне неизвестны.
Число видов
на острове пропорционально корню четвертой степени из
площади острова.
Число типов клеток
в организме пропорционально квадратному кор-
ню из числа генов в его геноме.
Число научных работников
данной производительности обратно
пропорционально числу научных публикаций каждого из них.
Скорость метаболизма
пропорциональна степени 3
/
4 от массы орга-
низма (а не степени 2
/
3, как получилось бы вследствие простой зависимо-
сти метаболизма от площади гладкой поверхности химического контакта).
Число извержений вулкана
с выбросом объемом меньше
V
растет
при уменьшении величины объема выброса как
V
−
3
/
2
(это
––
по наблюде-
ниям вулкана Piton de Fournaisse, опубликованным F. Lahaie, J.-R. Grasso,
P. Marcenac и S. Giroux (C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. II. 1996. Vol. 323, №7.
P. 569
––
574)).
Л. Н. Толстой сообщал сыну, что
затрачиваемые на удовольствия
средства растут как квадрат наслаждения
(письмо от 16.X.1895.
Собр. соч. М., 1984. Т. 19. С. 334).
Номер города
в списке, упорядоченном по числу жителей, обратно
пропорционален числу жителей.
Упомяну еще пару математических задач из списка, составленного
А. Д. Сахаровым.
Жена попросила его нарубить капусту для пирогов. Технология такая:
сначала кочан нарезается на плоские круглые слои, а потом каждый слой,
положенный на стол, рубится на выпуклые мелкие многоугольники слу-
чайными вертикальными ударами ножа.
Занимаясь этой рубкой, Сахаров задался вопросом: а сколько в сред-
нем сторон у получающихся мелких выпуклых многоугольников?
Ответ А. Д. Сахарова: в среднем четыре, хотя среди кусочков попада-
ются и треугольники, и пятиугольники.
Подготавливая эту задачу к печати, Ф. Аикарди заметила ее
n
-мерное
обобщение: в
n
-мерном пространстве получающиеся при разрезании слу-
чайными гиперплоскостями
n
-мерные мелкие выпуклые многогранники бу-
дут в среднем (при большом их числе) иметь столько же
k
-мерных граней,
сколько их имеет
n
-мерный куб (в трехмерном пространстве: среднее число
граней кусочка
––
6, среднее число ребер
––
12, среднее число вершин
––
8).
Возвращаясь к двумерному случаю, упомяну еще одно наблюдение
А. Д. Сахарова. Сосчитаем
средний периметр p
получающихся много-
угольных мелких частей и
среднюю площадь S
такой части. Чтобы размер
части не влиял, составим их
безразмерную комбинацию S/p
2
. Спра-
50