Файл: _Арнольд В.И., Что такое математика.pdf

i

i

i

i

i

i

i

i

Например, три раза дифференцируемые функции трех переменных за-

ведомо не все представляются комбинациями три же раза дифференци-
руемых функций двух переменных: если представление суперпозицией и
возможно, то только с неизбежным снижением гладкости представляющих
функций (по меньшей мере до

q

6

2).

Основным техническим средством, которое использовал Витушкин,

были оценки

топологической сложности вещественных алгебраиче-

ских многообразий

, ранее полученные И. Г. Петровским и О. А. Олейник

в их работах о другой (шестнадцатой) проблеме Гильберта, о которой я
расскажу ниже.

Доказательства Витушкина были позже усовершенствованы А. Н. Кол-

могоровым, который дал естественно-научное, т. е. выходящее за рамки
математики, истолкование витушкинской сложности

n/p

в терминах теории

передачи информации, создав свою

теорию

«

эпсилон-энтропии

»

клас-

сов функций

(эпсилон

––

это

"

, греческая буква, обычно обозначающая в

математике малое число).

Колмогоровская эпсилон-энтропия измеряет минимальное число (дво-

ичных) знаков, необходимое для указания функции из изучаемого класса
с заданной точностью эпсилон (это число необходимых двоичных знаков
растет при уменьшении величины

"

, и

«

сложность

»

определяет именно

скорость этого роста).

Рассмотрим, ради общности определения общего понятия, какое угодно

компактное метрическое пространство

M

и зададимся целью указать его

точку с погрешностью, не превосходящей

"

. Если в

M

выбрана

"

-сеть,

т. е. такое конечное множество (из

N

(

"

) точек), что шары радиуса

"

с

центрами в этих точках целиком покрывают все

M

, то достаточно примерно

log

2

(

N

(

"

)) знаков: нужно ведь только указать одного представителя из

N

элементов сети, он и будет

"

-приближенно задавать любой элемент своего

шара.

Для отрезка

M

=

[0, 1] величина

N

растет как 1

/

"

, а для квадрата (куба)

со стороной (ребром) единичной длины

––

как (1

/

"

)

2

(соответственно, как

(1

/

"

)

3

), так что скорость роста величины

N

определяется размерностью

кодируемого пространства

M

.

В случае пространства

M

гладких функций (на компактном кубе в

n

-мерном пространстве и с ограниченными константой производными до

порядка

p

, чтобы это пространство функций было компактным) размер-

ность пространства бесконечна, но число

N

(

"

) элементов сети конечно,

хотя оно и растет при уменьшении

"

быстрее любой (отрицательной) сте-

пени величины

"

,

––

например, растет экспоненциально.

Колмогоров доказал, что

логарифм числа N

(

"

)

точек минимальной

"

-сети растет в этом случае как

(1

/

"

)

n/p

. Если бы функции

k

перемен-

36

i

i

i

i

i

i

i

i

ных, участвовавшие в суперпозиции, имели гладкость

q

, то с их помощью

можно было бы получить для представляемых функций сеть, логарифм
числа точек которой был бы порядка (1

/

"

)

k/q

. Если это число меньше ми-

нимально возможного для функций

n

переменных гладкости

p

, то, значит,

предполагавшееся представление суперпозициями функций столь большой
гладкости невозможно (причем не только

существуют

непредставимые

функции, но их даже

большинство

).

Позже Колмогоров показал, что если отказаться от гладкости и до-

пускать к участию в суперпозиции все непрерывные функции, то любая
непрерывная функция от

n

переменных представляется суперпозицией не-

прерывных функций от всего трех переменных, а затем Арнольд представил
их и суперпозициями непрерывных функций двух переменных. В закончив-
шей эту серию работ теореме Колмогорова единственная употребляемая
функция двух переменных

––

это сумма аргументов

x

+

y

, а все осталь-

ные непрерывные функции, из которых составляется представляющая все
непрерывные функции от

n

переменных суперпозиция, зависят каждая от

одной лишь переменной.

По моему мнению, Гильберту не следовало забывать при формулировке

13-й проблемы и об

алгебраических

представляющих функциях от мень-

шего числа переменных, чем представляемая.

Например, действительно ли для решения общего алгебраического

уравнения степени 6

необходимо

использовать алгебраическую функцию

двух

переменных, или,

может быть, как и для уравнения степе-

ни пять, можно обойтись алгебраическими функциями от одной
переменной

?

Сведение общего уравнения степени

n

к функциям от

n

−

4 переменных

удается, но, начиная с некоторого

n

, можно избавиться и от еще одной

переменной, так что достаточно

n

−

5 аргументов. Это явление продол-

жается и дальше, так что дело сводится к алгебраическим функциям от
не более чем

n

−

s

переменных, если исходная степень уравнения была

большей некоторого (довольно быстро и таинственно растущего вместе
с

s

) числа

n

(

s

).

Доказать несводимость к суперпозициям алгебраических функций от

меньшего, чем у исходной функции, числа переменных (или хотя бы не-
сводимость к алгебраическим функциям от одной переменной) никто пока
не сумел. Я полагаю, однако, что такой алгебраической представимости
препятствует

топологическая сложность ветвления

представляемых

функций, так что представление оказывается невозможным не только в
классе алгебраических функций, но и в классе топологически эквивалент-
ных им (во всей области комплексных значений аргументов) комплексных
непрерывных многозначных функций комплексных аргументов с топологи-

37

i

i

i

i

i

i

i

i

чески таким же ветвлением, как у алгебраических функций малого числа
переменных.

Единственным успехом в этом направлении оказалось использование

вычисленных мною ради этой цели когомологий групп кос, позволившее
построить своеобразную

теорию

«

характеристических классов

»

ал-

гебраических функций

.

Этим способом удается доказывать непредставимость алгебраических

функций

полными суперпозициями

из алгебраических функций от мень-

шего числа аргументов, чем у разлагаемой в суперпозицию функции.

Пол-

ная суперпозиция

определяется как сложная функция так, что обяза-

тельно учитываются все ветви сложной функции:

m

-значная функция от

n

-значной имеет ровно

mn

значений, а не меньше. Например, формула

√

x

+

√

4

x

определяет, как

полная

суперпозиция,

четырехзначную

функ-

цию, вовсе не совпадающую с двузначной функцией 3

√

x

.

Непредставимость такими полными суперпозициями функций со слиш-

ком сложным для представимости ветвлением удается доказать. Но, к
сожалению, в смысле этой теории

«

неразрешимыми в радикалах

»

ока-

зываются уже уравнения младших степеней 3 и 4 (потому что стандарт-
ные классические формулы доставляют, кроме нужных трех или четырех
корней уравнения, еще много

«

паразитных

»

значений соответствующих

суперпозиций радикалов, не удовлетворяющих исходному уравнению).

Избавиться от требования полноты изучаемой суперпозиции в тео-

рии характеристических классов алгебраических функций пока не удалось.
Я отмечу только, что здесь можно надеяться на помощь

теории сме-

шанных структур Ходжа

: эта топологическая теория снабжает цикл

на особом алгебраическом многообразии указанием о том, от гладкого
многообразия какой размерности этот цикл происходит. Эта размерность
происхождения не инвариантна относительно гомеоморфизмов, если они
не являются алгебраическими, но сохраняется при алгебраических ото-
бражениях.

Чтобы немного объяснить, о чем идет речь, рассмотрим треугольник

из трех эллиптических кривых. Это приводимое особое алгебраическое
многообразие состоит из трех гладких (торических с вещественной точки
зрения) компонент, трансверсально пересекающихся попарно в трех точках

A

,

B

,

C

, по одной для пары.

Среди вещественно-одномерных циклов этого вещественно-двумерного

многообразия теория смешанных структур выделяет те, которые можно
реализовать на одной неприводимой компоненте: они

«

происходят

»

из этой

(гладкой) компоненты.

А замкнутый треугольный путь

ABCA

(определенный этим условием по

модулю сумм циклов описанного раньше класса) имеет уже принципиально

38

i

i

i

i

i

i

i

i

иное происхождение, определяемое комбинаторикой пересечений гладких
компонент, а не их внутренностями.

Запоминание циклом размерности того гладкого многообразия, кото-

рое его породило, позволяет надеяться на использование этой структуры
для доказательства невозможности редукции более многомерной структу-
ры функции многих переменных к маломерным.

Шестнадцатая проблема Гильберта начинается с одной из старейших

и фундаментальнейших математических задач:

как может выглядеть

вещественная алгебраическая кривая степени n

(заданная на плос-

кости с координатами (

x

,

y

) уравнением

{

f

(

x

,

y

)

=

0

}

, где

f

––

многочлен

степени

n

)?

В случае степени 2 вопрос решен еще древними: кривая

––

это эллипс,

гипербола или парабола. Но Гильберт предпочитает считать эти три кривые
одинаковыми: чтобы их сравнить, надо только поместить их на б

´

ольшую

нашей обычной плоскости

проективную плоскость

, где парабола замы-

кается одной бесконечно удаленной точкой, а гипербола

––

двумя (после

чего она становится диффеоморфной окружности и даже проективно ей
эквивалентной).

Топологические описания кривых степеней 3 и 4 были получены Нью-

тоном и Декартом, Но уже для кривых степени 6 вопрос был еще открыт во
время доклада Гильберта, и Гильберт так сформулировал первый вопрос
своей 16-й проблемы:

дать топологическую классификацию распо-

ложений всех алгебраических кривых степени

6

на вещественной

проективной плоскости

.

Наибольшее число компонент связности вещественной алгебраической

кривой равно

g

+

1, где

g

––

род кривой (т. е.

g

=

(

n

−

1)(

n

−

2)

/

2 для глад-

кой кривой степени

n

),

––

это

«

теорема Харнака

»

. По этой теореме, напри-

мер, наибольшее число компонент связности (

«

овалов

»

, диффеоморфных

окружности, ограничивающей круг) у алгебраической кривой степени 6
равно 11.

Гильберт сообщил в докладе, что он знает, как именно могут быть рас-

положены эти овалы, когда их число максимально, т. е. равно 11:

только

один из них содержит другие внутри своего

«

круга

»

, а число этих

внутренних овалов,

–

–

утверждал Гильберт,

–

–

либо 1, либо 9.

Как могут быть расположены овалы кривой степени 8 (их число не

превосходит 22), неизвестно и сегодня: построено около 90 реализующихся
расположений 22 овалов и найден список из примерно сотни расположе-
ний, исчерпывающий для 22 овалов все расположения, не противоречащие
уже доказанным теоремам. Но для примерно полудюжины из этих кан-
дидатов их реализуемость неизвестна (точное число оставшихся трудных
случаев меняется не то ежегодно, но то ежемесячно).

39

i

i

i

i

i

i

i

i

Общее число топологически различных расположений 22 (неалгебраи-

ческих) овалов составляет много миллиардов, но почти все эти расположе-
ния уже исключены доказанными теоремами для алгебраических кривых.

Вопрос о топологическом строении алгебраических многообра-

зий, заданных одним или несколькими полиномиальными уравнени-
ями в вещественном аффинном или проективном пространстве,
является одним из фундаментальнейших вопросов всей математи-
ки, часто необходимым для исследования самых разных прикладных
задач

(

где эти уравнения описывают те или иные законы природы

)

.

Например, речь может идти о

фазовых диаграммах

(в термодинамике),

о

поверхностях Ферми

(в физике металлов), о

поверхностях Френеля

или

дисперсионном соотношении

(в оптике и в теории распространения

волн) и т. д.

На мой взгляд, этот вопрос гораздо важнее и проблемы Ферма, и

обсуждавшейся выше

«

проблемы близнецов

»

в теории простых чисел. Но,

к сожалению, алгебраические геометры не могут помочь решению действи-
тельных (real,

R

) вопросов.

И. Г. Петровский (в 30-е гг.), а затем его ученица О. А. Олейник

(примерно около 1950 г.), получили замечательные

оценки сверху для

основных топологических инвариантов вещественных алгебраиче-
ских многообразий

–

–

чисел Бетти

(т. е. чисел независимых циклов раз-

ных размерностей: например, одномерное число Бетти

b

1

для тора равно 2,

так как на торе 2 независимых одномерных цикла, параллель и меридиан, а
все остальные одномерные циклы

––

целочисленные линейные комбинации

параллели и меридиана).

Результаты Петровского и Олейник прямо продолжают теорему Безу

(о том, что кривые степеней

m

и

n

пересекаются в не более чем

mn

точках)

и неравенство Харнака (оценивающее сверху количество овалов кривой
степени

n

числом (

n

−

1)(

n

−

2)

/

2

+

1).

Для алгебраической гиперповерхности

12

степени

n

в вещественном про-

ективном пространстве размерности

m

комбинация чисел Бетти оцени-

вается сверху некоторым (довольно сложно описываемым) многочленом
степени

m

от величины

n

, который в работе Олейник задан длинной це-

почкой рекуррентных соотношений, позволяющей все же явно выписать

12

Гиперповерхностью

в

N

-мерном многообразии или пространстве называют подмного-

образие коразмерности один, т. е. размерности

N

−

1. Например, уравнение

{

x

1

=

0

}

задает

в пространстве с координатами (

x

1

, . . . ,

x

N

) гиперплоскость, а точка

––

это гиперплоскость

на прямой.

Степенью

алгебраической гиперповерхности, заданной уравнением

{

f

(

x

)

=

0

}

, называется

степень многочлена

f

(например, степень прямой на плоскости

––

единица, а окружности

––

два).

40