Файл: _Арнольд В.И., Что такое математика.pdf

i

i

i

i

i

i

i

i

ответ в каждом конкретном случае (аналогичные ответы приведены и для
случая многообразий, заданных системами из нескольких уравнений, как,
например, кривые в пространстве).

Лет пятнадцать спустя после работы Олейник новые оценки чисел

Бетти вещественных алгебраических многообразий опубликовали, незави-
симо друг от друга, Дж. Милнор и Р. Том. При сравнении с результатами
Олейник выяснилось, что их оценки в несколько (а иногда и много) раз
слабее оценок Олейник, т. е. что они оценивают числа Бетти сверху гораздо
большим числом, чем истинно наблюдаемые в примерах величины.

Впоследствии все эти оценки цитировались на Западе как

«

оценки

Милнора

––

Тома

»

, хотя у самих этих замечательных авторов и была ссылка

на исходную работу Олейник (с лучшими и значительно более ранними,
чем у них, результатами, уже использованными Витушкиным). Здесь ст

´

оит,

впрочем, заметить, что работа Тома содержала замечательное общее

не-

равенство Смита

X

b

i

(

R

M

)

6

X

b

i

(

C

M

),

оценивающее сверху сумму чисел Бетти вещественного многообра-
зия через сумму чисел Бетти множества всех комплексных точек,
удовлетворяющих тому же уравнению

. Неравенство Харнака являет-

ся частным случаем этого неравенства Смита. Для вещественной кривой
из

r

овалов сумма ее чисел Бетти равна 2

r

(каждый овал вносит свой

вклад: по единичке в число компонент связности,

b

0

(

R

M

)

=

r

, и столько

же в число независимых одномерных циклов,

b

1

(

R

M

)

=

r

).

Для римановой поверхности с

g

ручками (рода

g

) сумма чисел Бет-

ти равна 2

g

+

2:

b

0

=

1 (одна компонента связности),

b

2

=

1 (одна веще-

ственно-двумерная поверхность),

b

1

=

2

g

(по одной

«

параллели

»

и одному

«

меридиану

»

на каждой ручке). Так что для кривой неравенство имеет вид

2

r

6

2

g

+

2,

что и приводит к теореме Харнака:

r

6

g

+

1

.

Правда, известный Харнаку факт достижения равенства

r

=

g

+

1 для не-

которых

«

максимально вещественных

»

кривых

(

M-кривых, по терми-

нологии Петровского

) из неравенства Смита не вытекает.

Чтобы вывести из неравенства Смита оценку сверху суммы чисел Бетти

многочленом от степени уравнения (или степеней уравнений), достаточно
вычислить сумму чисел Бетти для комплексного многообразия. Это легче,
чем исходная вещественная задача, благодаря тому что достаточно со-
считать ответ в одном (невырожденном) примере: ведь

в комплексном

41

i

i

i

i

i

i

i

i

случае все невырожденные объекты данной степени топологиче-
ски

(

и даже дифференцируемо в вещественном смысле

)

одинаковы

,

так как множество всех вырожденных комплексных объектов (например,
многочленов с кратным корнем в пространстве всех комплексных мно-
гочленов данной степени) задается алгебраическим

комплексным

урав-

нением, а следовательно, имеет

вещественную коразмерность два

в

комплексном пространстве всех рассматриваемых комплексных объектов.
Следовательно, гиперповерхность вырождений не делит это комплексное
пространство на части (в отличие от вещественного пространства, которое
вещественная гиперповерхность вырождений делит на части, образован-
ные, например, множествами вещественных многочленов данной степени с
разными числами вещественных корней).

Именно при вычислении ответа для специального примера Том и по-

лучил свою слишком грубую оценку: вместо явного вычисления топологи-
ческих инвариантов комплексных многообразий он использовал их завы-
шенные оценки сверху.

Что касается исходного утверждения (Гильберта) о кривых степени 6, то

оно

ошибочно

. Около 1970 г. И. Г. Петровский попросил меня дать отзыв

о докторской диссертации своего и А. А. Андронова ученика, нижегород-
ского математика Д. А. Гудкова, который опроверг не только утверждение
Гильберта, но и свою предшествующую диссертации работу, в которой он
это неверное утверждение Гильберта доказывал.

Результат диссертации Гудкова правилен, и

полный список M-кривых

степени

6

, состоящих из

11

овалов, содержит не две, как утверждал

Гильберт, а три кривые

: внутри

«

круга

»

, ограниченного одним из овалов,

содержатся либо 1, либо 5, либо 9 других, и все эти три случая реализуются
(Гильберт считал невозможным случай пяти внутренних овалов).

Несмотря на то что эти фундаментальные вопросы, в сущности, мо-

гут рассматриваться при помощи компьютерных подсчетов (способных, в
принципе, даже определить, согласно теореме Тарского

––

Зайденберга, чи-

сло компонент связности, на которые дискриминантная гиперповерхность
вырожденных вещественных кривых данной степени делит пространство
всех таких кривых), практически никакой пользы в этих трудных вопросах
компьютеры пока не принесли, хотя настоящие математики, начиная с
И. Г. Петровского и Д. А. Гудкова, получили прекрасные результаты.

Продумывая работу Гудкова, я заметил, что не только для кривых сте-

пени 6, но и для всех исследованных им кривых четной степени 2

k

про-

являлись замечательные сравнения по модулю 8 (числа 1, 5 и 9 внутренних
овалов кривой степени 6 не зря идут через четыре).

Общая формулировка этого сравнения (которое я назвал

сравнением

Гудкова

) такова: пусть кривая

{

f

(

x

,

y

)

=

0

}

задана многочленом степени

42

i

i

i

i

i

i

i

i

2

k

, отрицательным на бесконечности. Рассмотрим ту область с краем,

D

,

ограниченную нашей кривой, где

f

>

0. Тогда

эйлерова характеристика

этой области удовлетворяет

(

для кривой степени

2

k с максималь-

ным по теореме Харнака числом овалов

)

сравнению по модулю

8:

(

D

)

≡

k

2

(mod 8)

(для кривых степени 6

=

9, 1,

−

7,

k

=

3).

Но я знал, что

сравнения по модулю

8

являются фундаменталь-

ными в топологии четырехмерных многообразий

, и стал думать

––

а где же в этом вопросе об

одномерных

алгебраических кривых

четы-

рехмерное

многообразие? В конце концов я понял, что для получения

четырехмерного объекта надо

комплексифицировать

двумерное веще-

ственное многообразие с краем,

{

f

(

x

,

y

)

>

0

}

.

Комплексифицировать неравенство

не легко, поэтому я заменил его

тождеством

{

f

(

x

,

y

)

=

z

2

}

и рассмотрел заданное этим тождеством

накры-

вающее пространство комплексной проективной плоскости, раз-
ветвленное двулистно вокруг римановой поверхности

(

т. е. мно-

жества всех комплексных точек

)

нашей кривой

.

Это

––

компактное вещественно-четырехмерное многообразие, и, при-

меняя известные из топологии его свойства, я сумел доказать сравнение
Гудкова по модулю 4 (а впоследствии В. А. Рохлин, которого я об этом
попросил, привлекая свои результаты о топологии четырехмерных гладких
многообразий, где топологические сравнения для сигнатур по модулю 8
заменяются на более точные дифференциально-топологические сравнения
по модулю 16, доказал сравнение Гудкова

13

и по модулю 8).

С этого времени топология вещественных алгебраических многообра-

зий быстро пошла вперед, связавшись, через четырехмерную топологию,
и с теорией инстантонов, и с инвариантами Дональдсона, и с квантовой
теорией поля. Огромное развитие возникшей таким образом науки подроб-
но освещено в целой серии обзоров В. А. Рохлина, В. М. Харламова и
О. Я. Виро. Но я хотел бы подчеркнуть здесь еще раз большое значение
более ранних вкладов И. Г. Петровского, О. А. Олейник и Д. А. Гудкова
в развитие этой науки.

13

Релятивистские

«

преобразования Лоренца

»

никогда великим физиком Лоренцем не

рассматривались: он

поставил

вопрос о группе преобразований симметрии уравнений элек-

тродинамики Максвелла, но решил его

неверно

, указав совсем не те преобразования, которые

сейчас называют его именем. Пуанкаре, излагая эту ошибочную работу Лоренца в своих
лекциях, нашел правильные преобразования, а при публикации этих своих результатов назвал
их

«

преобразованиями Лоренца

»

, и это название сохранилось до сих пор.

Я не знал, что повторяю опыт Пуанкаре, когда вводил термины

«

сравнения Гудкова

»

и

«

индекс Маслова

»

в свои отзывах на диссертации, где, строго говоря, определенных мною

объектов еще не было (хотя и были идеи, которые я превратил в математические понятия).

43

i

i

i

i

i

i

i

i

Странные многочлены из неравенства О. А. Олейник послужили осно-

вой другой большой области математики: сравнивая их с более простыми,
но доставляющими более грубые оценки, многочленами Милнора и Тома,
я заметил, что О. А. Олейник фактически вычисляла

числа целых точек

в некоторых специальных выпуклых многогранниках и в их сечениях
гиперплоскостями

.

Число целых точек, как и объем выпуклого многогранника, выражается

через координаты вершин или через уравнения граней многогранника до-
вольно сложными формулами (из-за чего у Олейник и возникли громоздкие
вычисления, которые Том заменил более просто вычислимыми, но зато
менее точными оценками топологических инвариантов сверху).

Я вспомнил, что уже встречал подобные же сложности в нескольких

вопросах теории особенностей, в частности, при вычислениях смешанных
структур Ходжа. С другой стороны, подобные же удручающе сложные
формулы встречались мне в теории представлений групп (громоздки уже
классические формулы для коэффициентов Клебша

––

Гордана).

Поэтому я попросил А. Г. Хованского подробно разработать

стерео-

метрию многогранников Ньютона особенностей

для выражения от-

ветов в задачах о вычислении смешанных структур скорее через стереоме-
трические величины, вроде объемов, чем через мои громоздкие многочлены
от координат вершин диаграмм Ньютона (что он и сделал, назвав создан-
ную теорию

«

геометрия формул

»

).

С другой же стороны я посоветовал И. М. Гельфанду (в ответ на его

просьбу разобраться с особенностями из теории представлений) поста-
раться упростить удручающе громоздкие формулы его теории гипергеоме-
трических функций многих переменных, заменяя сложные алгебраические
выражения простыми геометрическими словами:

«

число целых точек в

таком-то многограннике

»

,

«

объем

»

и т. п.

Эти побочные косвенные последствия работы О. А. Олейник по 16-й

проблеме Гильберта привели, таким образом, к замечательным достиже-
ниям многих лиц.

Теория многогранников Ньютона

, созданная в основном А. Г. Хо-

ванским, тесно связана с

геометрией торических многообразий

с од-

ной стороны и с

теорией смешанных объемов

Минковского

––

А. Д. Алек-

сандрова

––

Фенхеля с другой. С третьей же стороны она привела Хован-

ского впоследствии к теории

«

малочленов

»

, т. е.

многочленов с малым

числом одночленов

(

степени которых могут быть и велики

). Дело в

том, что

топологические инварианты вещественных многообразий,

заданных малочленами, ограничены числом слагаемых независимо
от их степеней

. Это

––

грандиозное многомерное обобщение

«

правила

Декарта

»

для оценки числа вещественных корней многочлена от одной

44

i

i

i

i

i

i

i

i

переменной (ведь входящее в правило Декарта число перемен знаков в
последовательности коэффициентов многочлена не может превосходить
общего числа его ненулевых коэффициентов).

В свою очередь, теория малочленов переносится и на теорию диффе-

ренциальных уравнений, где она позволяет давать топологические оценки
поведения интегральных и фазовых кривых в зависимости от числа одно-
членов в многочленах, задающих компоненты векторного поля. И можно
даже итерировать эту процедуру, рассматривая на каждом следующем шаге
уравнения, коэффициенты которых доставляются кривыми предыдущего
шага.

Специалисты по теории представлений групп тоже использовали мой

совет. В своих первых публикациях этого направления они даже на этот
совет сослались.

Таким образом, работы Петровского и Олейник по 16-й проблеме Гиль-

берта косвенным образом способствовали прогрессу в большой серии ис-
следований в разных областях математики (в числе которых нужно упомя-
нуть еще и замечательную топологическую

«

теорию лакун

»

Петровского,

возникшую при исследовании им распространения волн, описываемых ги-
перболическими системами дифференциальных уравнений в частных про-
изводных).

В нашем трехмерном пространстве у волны, например акустической,

есть и передний, и

задний фронт

. Благодаря последнему, возмущение

(скажем, звук), пройдя через некоторую точку наблюдения, затем в ней
полностью исчезает. Это явление и делает возможным

акустическую

связь

в нашем трехмерном пространстве. В двумерной или четырехмерной

среде заднего фронта у волны нет, и возмущение, пройдя через точку
наблюдения, лишь постепенно там затухает, а не прекращается сразу. Аку-
стическая связь в таких случая невозможна, так как уже принятый сигнал
долго еще продолжает звучать в точке приема, мешая разобрать последу-
ющие сигналы.

И вот оказывается, что

математической причиной этого различия

между волнами с резким фронтом и без него является топологиче-
ский характер

«

цикла Петровского

»

в гомологиях алгебраического

многообразия

(

«

поверхности Френеля

»

)

, определяющего колебания

среды

. Среди прочих достижений теории лакун Петровского (развитой

впоследствии Атьей, Боттом и Гордингом, а затем доведенной до вычи-
сления конкретных ответов В. А. Васильевым) упомяну содержащееся
в работах Петровского о лакунах доказательство реализуемости классов
когомологий алгебраических многообразий и их дополнений дифферен-
циальными формами с рациональными коэффициентами

––

этот результат

обычно приписывают Гротендику, опубликовавшему его позже.

45