Файл: _Арнольд В.И., Что такое математика.pdf

i

i

i

i

i

i

i

i

шивается, как ведет себя эта безразмерная характеристика форм частей
разбиения, когда число этих мелких частей растет до бесконечности?

Ответ А. Д. Сахарова:

безразмерная дробь S/p

2

стремится к от-

ношению площади круга к квадрату длины его окружности, т. е.
к

1

/

4

. Это кажется парадоксально противоречащим изопериметриче-

скому неравенству, согласно которому

площадь, ограниченная кривой

данного периметра, максимальна, когда кривая

–

–

окружность

. Но

никакого противоречия тут нет, так как речь идет не о среднем значении
отношения

S/p

2

, а об отношении средних значений величин

S

и

p

2

. Средняя

площадь и средний периметр достигаются на совершенно разных кусочках
разбиения. Статистика

––

опасная парадоксами наука (и часто большая

ложь)

16

.

§ 4. Математика от древних до наших дней

Удивительная математическая задача упомянута Плутархом (в его

«

За-

стольных беседах

»

).

«

Некоторые утверждают,

––

говорит Плутарх,

––

что

из

десяти простых утверждений якобы можно составить, по-разному
комбинируя их, более миллиона сложных

. Но это неверно,

––

продолжает

он,

––

так как Гиппарх сосчитал, что их всего 103049, а на отрицательной

стороне

––

310952

»

.

Об этой задаче мне рассказал в Калифорнии американский комбина-

торик Р. Стэнли, и я попросил своих учеников в Москве проверить эти
вычисления Плутарха. Через несколько недель мои студенты сообщили,
что они не только подтверждают проведенное и самим Стэнли перевычи-
сление числа Гиппарха сложных предположений, но и разгадали непонятый

16

При анализе средних в подобных задачах о геометрии разбиений важно точно указы-

вать, о каких именно средних идет речь. Выше, например, среднее число вершин кусочка
определялось как частное от деления суммы чисел вершин кусочков на число кусочков.

Но во многих вопросах интереснее усреднять не по числу кусочков, а по их площади (в

многомерном случае по объему), иначе вклад мелких кусочков в среднее будет преувеличен
(вследствие их обилия), а ведь у каждого из них число вершин, скорее всего, меньше, чем у
более значительных кусков.

Было бы интересно выяснить корреляцию между величиной безразмерного отношения

Сахарова,

S/p

2

, и также безразмерным числом вершин кусочка, причем вычисляя среднее

не только по числу кусочков, но и по занятой ими площади (т. е. приписывая каждому
кусочку при усреднении вес, пропорциональный его площади, что более соответствует подходу
статистической физики и термодинамики к подобным вопросам).

Переход на усреднение по площади мог бы изменить ответы во всей большой области

––

статистической геометрии, возникшей исторически ради анализа биологической и геологиче-
ской информации, содержащейся в статистике случайных срезов.

51

i

i

i

i

i

i

i

i

Стэнли термин

«

на отрицательной стороне

»

. В

«

положительном

»

случае

речь идет о числе правильных скобочных символов, содержащих 10 букв
(вроде чисел Каталана, в определении которых, однако, внутри каждой
скобки ровно 2 термина, так что число Каталана

––

это число способов

организовать для 10 участников футбольный турнир с выбыванием про-
игравшего, или число способов разбить многоугольник диагоналями на
треугольники:

C

(3)

=

1,

C

(4)

=

2,

C

(5)

=

5,

C

(6)

=

14). Но в определении

чисел Плутарха внутри скобок может быть любое число символов: для

n

=

3 пригодны, например, все символы списка

(1, 2, 3); (1, (2, 3)); (2, (1, 3)), (3, (1, 2))

.

В случае же

«

отрицательной стороны

»

одно из предложений предва-

ряется отрицанием:

«

Кай человек;

не

все люди смертны

»

.

Результаты этого расследования (с ответом 310954) были опубликова-
ны М. Э. Казаряном и С. К. Ландо в American Math. Monthly

17

. Для

вычислений потребовалось рекуррентное соотношение из 40 слагаемых:
видимо, Гиппарх уже справлялся с такими подсчетами (ведь он умел также
правильно предсказывать затмения и рассчитывать планетные орбиты, по-
видимому, при помощи законов Кеплера и закона всемирного тяготения).

Ньютон утверждал впоследствии, что все эти древние вычисления

(включая вывод законов Кеплера из закона обратных квадратов для силы
притяжения) сгорели, к сожалению, в большом пожаре Александрийской
библиотеки

––

музеума в Египте и что ему, Ньютону, принадлежит честь

восстановить их для современного человечества. Историки рассказы-
вают, что римский царь Нума Помпилий (вскоре после Ромула, в 7 в.
до Рождества Христова) устроил в храме Весты на Форуме в Риме
своеобразный планетарий. Планеты (в правильном порядке: Меркурий,
Венера, Земля с Луной, Марс, Юпитер, Сатурн) носили по нарисованным
в храме кеплеровым эллиптическим орбитам, в соответствии с законом
площадей и с пропорциональными кубам больших полуосей квадратами
времен обращения, специально приставленные к планетам весталки.

И если кому нужно было найти на небе Сатурн, то в этом храме Ве-

сты надо было стать около весталки, заведовавшей Землей, и определить
направление на ту другую, у которой Сатурн.

Но объяснить всю эту сложную небесную механику нуждавшимся в

календаре потребителям ученые не умели, поэтому для потребителей они

17

L. Habsieger, M. Kazarian, S. Lando, On the second number of Plutarch // American Math.

Monthly. 1998. Vol. 105, №5. P. 446.

52

i

i

i

i

i

i

i

i

придумали систему эпициклов (разложили описывающие движение планет
функции от времени в

«

ряды Фурье

»

).

Эллипсы, впрочем, явно упомянуты как орбиты планет в древней книге

Витрувия

«

Архитектура

»

(при перечислении всевозможных полезных для

архитекторов кривых), изданной в I веке новой эры.

Замечательная древняя наука была принесена в современную Европу

греками из Египта. В Египте, задолго до пребывания там Моисея, жил
величайший ученый, которому после его смерти фараон присудил божеское
звание и имя: Тот, бог мудрости (знак

––

ибис).

Открытия Тота описаны, например, историком I в. до н. э. Диодо-

ром Сицилийским (а также Платоном

18

––

в его диалоге

«

Федр

»

). Первым

считается изобретение Тотом

фонетического алфавита

(до этого надо

было вызубривать тысячи иероглифов, по числу слов, а он заменил их
несколькими десятками упрощенных символов, по одному на фонему). От
алфавита Тота произошли финикийский, затем греческий, а от него

––

ла-

тинский и кириллица. В Индии и в Китае аналогичный процесс прошел
независимо.

Платон описывает беседу Тота с богом Аммоном, который, соглашаясь

с пользой письменности и алфавита Тота, скептически оценивает мысль
Тота, будто люди, вооруженные письменностью, поумнеют, так как ум
освободится для думания, когда отпадет необходимость слишком много
держать в памяти.

По приведенным Платоном словам Аммона,

никакого поумнения ни

грамотность, ни алфавит

(

ни, добавлю я, компьютер или телеви-

зор

)

не принесут

:

наоборот, думать будут еще меньше, так как

будут надеяться на свои записи

.

Сегодня наступающие на математику агрессоры пытаются полностью

исключить из нее недоступное им думание, создавая взамен грандиозную
компьютерную библиотеку

«

всех когда-либо существовавших математи-

ческих текстов

»

. Сочинение новых математических

«

работ

»

будет после

этого Левиафана сводиться просто к нажатию кнопок для компиляции
из забытых старых источников. Они убеждали меня (на заседании Ис-
полнительного комитета Международного математического союза) при-
нять

самоубийственное для математики решение об обязательной

принудительной компьютеризации каждой мысли

19

таким доводом

:

спасти живопись от наступления фотографии все равно невозмож-
но, это

–

–

поступь истории

!

18

Платон пишет о Тоте:

«

Он первым изобрел число, счет, землемерие, звездочетство, игру

в кости и шашки, а также письмена

»

.

19

В частности, они хотят обязать каждого математика набрать на компьютере (и подарить

в их всемирный математический кодекс) все свои сочинения.

53

i

i

i

i

i

i

i

i

Но я продолжаю оставаться на той старомодной точке зрения, что 6 раз

по 7

––

по-прежнему сорок два, что нуль по-прежнему не положительное

число (хоть этому и учат

«

современные

»

математики во Франции), что

как живопись, так и математика должны и будут жить (прежде всего

––

в

интересах всего человечества).

Вторым открытием Тота был

натуральный ряд

(

и математические

рассуждения с участием актуальной бесконечности

). До него многие

думали, что существует

самое большое число

(сумма ежегодного суммар-

ного налога фараону), а он объяснил, что всегда можно прибавить еще
единицу.

Геометрия

была построена Тотом в виде

землемерия

(что это слово

и означает). Он был при жизни главным землемером фараона и отвечал
за измерение площадей всех земельных участков, которые ведь нужно
было знать и для исчисления налога, и для прогноза урожая, и для де-
лежа нильской воды в оросительных системах. Единственным отличием
геометрии Тота от евклидовой было то, что он совершенно не заботился о
независимости своих аксиом друг от друга.

И когда Евклид, через много столетий, стал писать учебник геометрии

Тота для греческих учеников в виде книги, то он решил сократить исходный
текст Тота и для этого выбрал из тех пяти аксиом Тота, которые были друг
другу эквивалентны, всем известный теперь

«

пятый постулат

»

, а другие

постулаты Тота (вроде того, что сумма углов треугольника есть разверну-
тый угол) он превратил в теоремы и доказал, выведя их из оставленного
им аксиомой постулата о параллельных

20

.

20

Впоследствии Лобачевский, отвергнув постулат Евклида о параллельных,

«

построил

»

свою замечательную геометрию Лобачевского, где через точку вне прямой проходит не

одна

пересекающая эту прямую прямая, а

бесконечно много

таких прямых (в то время как все

остальные аксиомы геометрии Евклида выполнены и в геометрии Лобачевского).

Однако Лобачевский этим своим построением

не доказал

даже хотя бы утверждавшу-

юся им независимость евклидова или своего постулата о параллельных от остальных: ведь
неправильную теорию тоже можно в течение некоторого времени логически последователь-
но

«

строить

»

, как это ясно показывают все

«

доказательства от противного

»

, приводящие

неверное допущение к противоречию.

Сейчас эта независимость доказана:

в геометрии Лобачевского рассуждения никогда

не приведут к противоречию, во всяком случае, противоречий в ней не больше, чем в
геометрии Евклида

. Доказывается это тем, что в обычной геометрии Евклида существуют

модели

геометрии Лобачевского. Например, в

модели Клейна

роль плоскости Лобачевского

играет открытый круг Евклида, а роль прямых плоскости Лобачевского

––

его хорды, и

все аксиомы и теоремы выполнены. В

модели Пуанкаре

роль плоскости Лобачевского

играет верхняя полуплоскость евклидовой плоскости, а роль прямых

––

перпендикулярные

граничной прямой этой полуплоскости окружности и прямые, и опять выполнены все аксиомы
и теоремы.

Если бы в геометрии Лобачевского было противоречие, то ввиду существования модели

противоречивой оказалась бы и геометрия Евклида.

54

i

i

i

i

i

i

i

i

Если и не сам Тот, то его близкие ученики измерили

радиус Земли с

точностью в

1%, посчитав для этого верблюжьи шаги караванов между

двумя столицами Египта

––

Фивами на юге и Мемфисом на севере (почти

что на одном меридиане). Зная разницу максимальных высот Солнца в
обеих столицах в один день, египетские ученые легко сосчитали радиус
Земли (в числе верблюжьих шагов).

Греческие их последователи отнеслись к этим данным с недоверием, так

как они вообще не доверяли засекреченной науке Египта, где, по их сло-
вам,

«

женщины публично проституировали себя с крокодилами

»

21

. Греки

измерили радиус при помощи триремы, плывшей через Средиземное море
от Египта до острова Родос. Они умножали время в пути на

«

скорость

триремы при ветре средней силы

»

, и у них Земля вышла вдвое больше,

чем у египтян.

Через пару тысяч лет один генуэзский капитан попросил одну католи-

ческую королеву разрешить ему добраться на корабле до Индии, плывя на
запад по Атлантическому океану. Королева сочла необходимой

научную

экспертизу

проекта и в результате забраковала его, так как, по словам

экспертов, никто в мире не сумеет построить столь большой корабль,
чтобы он вместил так много бочек пресной воды, сколько требуется, чтобы
не погибнуть от жажды в таком дальнем путешествии.

Впоследствии оказалось, что эксперты (как и все на свете) верили

греческим измерениям, где расстояние было вдвое больше истинного. А у
оптимиста-капитана были другие (египетского происхождения) географи-
ческие представления. В конце концов королева разрешила ему, раз уж он
так мечтает погибнуть от жажды, проделать свой рискованный экспери-
мент, что он и сделал (впрочем, неудачно: до Индии он так и не добрался).

Лейбниц говорил, что найти что-нибудь всегда трудно, особенно если

ищешь, но труднее всего

––

когда ищешь именно это.

От геометрии Тот естественным ходом мысли перешел к

звездочет-

ству

, а впрочем, он изобрел и много другого

––

например,

игру в шашки

(которыми он демократически заменял слишком трудные, по его мнению,
индийские шахматы). Интересно, что шахматы в то время существовали,
кроме нынешнего вида, еще в усложненном

«

компьютеризованном

»

вари-

анте, где каждая фигура (скажем, конь) означала не одного всадника, а
войско, численность которого была на фигуре указана. И взаимодействие
фигур было не всегда полным уничтожением одной из них, а чаще приво-
дило только к уменьшению надписанных численностей войск.

Греки, заимствуя достижения Тота, переименовали его на свой лад

в

Гермеса Триждывеличайшего

(Трисмегиста), и в средние века его

21

P.-J. Proudhon. De la cel

´

ebration du dimanche. Paris, 1850.

55