Файл: _Арнольд В.И., Что такое математика.pdf

i

i

i

i

i

i

i

i

Философия Мандельштама подсказывает в этом случае такой путь: не-
груба не сама система, а лишь наше

слишком подробное

ее описание (с

точностью до топологической эквивалентности фазовых портретов). Ра-
зумная задача исследования состоит в этом случае не в уточнении тон-
костей бифуркаций (перестроек) топологической структуры портрета, а в
том, чтобы

найти более грубые важные вопросы, ответы на кото-

рые уже будут обладать устойчивостью по отношению к малым
изменениям типичной системы

.

Но математики-аксиомофилы неспособны на столь крутое изменение

точки зрения, так что нам предстоит, вероятно, столь же долго ждать
результатов в этом направлении, сколько прошло между Пуанкаре и Ан-
дроновым.

Что касается Э. Хопфа, то он опубликовал (парой десятков лет позже

Андронова) один специальный частный результат о бифуркации цикла, не
коснувшись даже вопроса о бифуркации всего фазового портрета системы,
основного для Андронова. Как это обычно и бывает, тема стала затем
известной под именем

«

теории бифуркации Хопфа

»

(я даже в этом виновен,

так как сильно похвалил никому тогда не известный вклад Хопфа в своем
докладе о теории бифуркаций на семинаре Р. Тома в Институте высших
научных исследований в Бюр-сюр-Иветт под Парижем в 1965 г., когда во
Франции были уже прочно забыты теории Пуанкаре, а об Андронове еще
и вовсе не знали). Некоторые положения этого доклада слушатели позднее
опубликовали в статьях

«

О теории турбулентности

»

.

В Москве недавно издали переведенную с американского языка китай-

скую книгу, в которой я прочел об

«

экологических применениях бифурка-

ции Хопфа

»

высказывания примерно такой структуры:

«

мы изучаем при

помощи этой теории рост урожая

яблок

, не ссылаясь на предшествующие

российские работы, где аналогичная нашей модель использовалась для
прогноза урожая

картошки

, которая у русских более распространена

»

(не исключено, что речь шла не о яблоках и картофеле, а, скажем, о грушах
и арбузах).

Разумеется, таблица умножения не меняется, считаем ли бы яблоки или

картошку, и русская модель прекрасно годилась бы для

«

нового

»

, яблоч-

ного, случая (но, вдобавок, ее математическое содержание было глубже,
а результаты полезнее, чем примитивный китайско-американский вариант
той же теории).

Так называемая

«

прикладная математика

»

чаще всего вся устроена

подобным же воровским образом. Пастер давно уже провозгласил, что

никаких

«

прикладных наук

»

не бывает

: это просто способ выкачивать

средства на свои потребности, отнимая их у истинных первооткрывателей.
На самом деле, по словам Пастера, существует только

наука

, открываю-

66

i

i

i

i

i

i

i

i

щая

истины

. И еще существуют

приложения

этой науки, не составляю-

щие сами по себе никакой отдельной

«

прикладной науки

» ––

так говорил

Пастер, величайший прикладник, которого трудно заподозрить в ненужных
человечеству занятиях.

В первые годы перестройки меня пригласил на заседание Лондон-

ского математического общества

28

его тогдашний президент: он, оставляя

свой пост, организовывал традиционное прощальное заседание, на кото-
ром, кроме него, должен был, по традиции, выступать на сходную тему
параллельный докладчик, и он выбрал меня, так кaк собирался говорить
о

влиянии на динамические системы малого шума

. Он даже прислал

мне в Москву тезисы своего доклада, посвященного его новым открытиям
в этой области.

Я никогда ничего не публиковал на эту тему, хотя и занимался ею еще

студентом, в пятидесятые годы. Цепочка явлений, которые я тогда обна-
ружил, состоит в следующем. Для учета влияния малого шума (диффузии
в фазовом пространстве) зададим какое-нибудь случайное распределение
начальных условий с гладкой плотностью и проследим, что с ними станет
со временем вследствие динамической эволюции, сопровождаемой малой
диффузией.

Вначале плотность начнет вдруг быстро расти около некоторых точек

––

аттракторов, где образуется горб приблизительно гауссовского локального
распределения. Скорость роста этого горба определяется силой притя-
жения аттрактора (т. е. отрицательным собственным числом задающего
динамику векторного поля в притягивающей точке или же отрицательной
вещественной частью этого собственного числа, если оно комплексное).
Быстрее всего будет расти один из таких гауссовских горбов

––

тот, для

которого упомянутая вещественная часть наиболее отрицательна.

Победителем в этом соревновании притягивающих режимов может, од-

нако, оказаться вовсе не он. Через некоторое время б

´

ольшую роль начнет

играть

не начальная скорость роста, а масса притягиваемых фазо-

вых точек, т. е. размер так называемого бассейна аттрактора

.

Соответствующий аттрактору с наибольшим бассейном горб будет не обя-
зательно самым высоким, но он будет иметь б

´

ольшую массу, определяемую

не только высотой, но и шириной горба.

28

А. Н. Колмогоров считал, что

избрание почетным членом Лондонского математи-

ческого общества

–

–

высшая честь, которой может удостоиться математик

, так

как их список почетных членов лучше, чем любой список математиков какой бы то ни было
Академии, лауреатов какой бы то ни было математической премии: у них нет дискриминации
ни по возрасту, ни по области математики или по географии.

От американских и европейских организаторов международной конференции в Азии я

получил однажды приглашение с дополнительным дискриминационным условием: сменить
паспорт так, чтобы в новом не было виз некоторых нежелательных стран.

67

i

i

i

i

i

i

i

i

Однако соревнование аттракторов и этим не кончается. На следующем

(гораздо более длительном) этапе медленное взаимодействие сложивших-
ся около аттракторов горбов описывается так называемым

туннельным

эффектом

: возможностью случайного (хотя и редкого) перехода из од-

ного бассейна в другой за счет

«

диффузии

»

. Это явление описывается

приближенно системой линейных автономных обыкновенных дифферен-
циальных уравнений (размерность фазового пространства которой равна
числу конкурирующих между собой аттракторов), т. е. матрицей неболь-
шого порядка.

В конце концов победит один из этого небольшого числа аттракторов

(какой именно

––

это зависит от собственных чисел упомянутой матрицы

линейной системы, описывающей туннелирование). Например, если исход-
ное векторное поле

––

градиент (со знаком минус) некоторого потенциала,

то в конце концов установится

«

распределение Гиббса

»

, в котором

основ-

ная масса фазовых частиц сосредоточится около того минимума
потенциала, для ухода от которого приходится преодолевать наи-
более высокий потенциальный барьер

.

Я называл в своей студенческой работе этот побеждающий в конце

концов аттрактор

«

генеральным аттрактором

»

, так как его так же

трудно предугадать по начальной эволюции системы

(

в которой

превалируют сперва аттрактор с наибольшей скоростью притя-
жения, а затем

–

–

с наибольшим бассейном

)

, как невозможно было

предвидеть, кто будет следующим Генеральным Секретарем Пар-
тии

(

вслед за Н. С. Хрущевым

).

Но мой учитель, А. Н. Колмогоров, исключил весь этот раздел о шуме

из моей дипломной работы при ее публикации, справедливо сославшись на
существование (даже и на английском языке) предшествовавшей работы
о влиянии малого шума, опубликованной еще в тридцатые годы Андро-
новым, Понтрягиным и Виттом (впоследствии я увидел, что моих асим-
птотик, описанных выше, эта работа не содержала). Эти мои построения
так и остаются неопубликованными

––

надеюсь, кто-нибудь приведет эту

область в порядок, здесь есть и достаточно ясные, но глубоко нетри-
виальные, асимптотические теоремы (которыми начинал уже заниматься
В. Фок), и трудные нерешенные вопросы (например, относящегося к псев-
допериодической топологии неградиентных или многозначно-градиентных
систем).

Возвращаясь к приглашению в Лондон, скажу, что я сразу понял, что

предложенная

«

новая

»

теория содержит лишь малую часть классической

работы Андронова с сотрудниками. Витт, между прочим, был вначале еще
и третьим соавтором классической

«

Теории колебаний

»

Андронова и Хай-

кина. Но в более поздних переизданиях этой книги указано, что в первом

68

i

i

i

i

i

i

i

i

издании (1937 г.) его фамилия

«

была пропущена вследствие трагиче-

ской ошибки

»

. Для российского читателя сразу совершенно ясно, какую

«

трагическую ошибку

»

совершили в 1937 г.: Витта расстреляли. Причины

неправильной атрибуции авторства открытий бывают разными.

По этой ли или по иной причине, но работы Витта о влиянии малого

шума на динамические системы оставались совершенно неизвестными на
Западе (для физиков статья была слишком трудна математически, а для
математиков сама постановка вопроса была слишком физической).

Так что я написал приглашающему меня в Лондон о существовании

статьи Андронова, Понтрягина и Витта. С началом перестройки мне стали
разрешать ездить за границу, и я приехал в Лондон на это заседание.
Докладчик, хотя и поблагодарил меня за указанную мною литературу, ни
слова не сказал в своем докладе о предшествовавшей работе российских
авторов (это

––

стандартная западная технология, вплоть до реклам нобе-

левских премий или филдсовских медалей: не сослаться на российских
предшественников совершенно безопасно для репутации эпигона, даже
если он просто переписал русскую работу).

Затем слово предоставили мне, и я рассказал там всю описанную вы-

ше историю (перед своим докладом, посвященным действительно новым
открытиям).

Привести много примеров беззастенчивого присвоения российских ре-

зультатов (как моих учителей, включая Колмогорова, Петровского, Пон-
трягина и Рохлина, так и моих учеников) было бы слишком легко. Замечу
только, что у меня лично практически никогда не крадут

––

возможно, из

опасения, что я не промолчу, как это почти всегда делали мои ограбленные
коллеги.

В середине шестидесятых годов в Америке начали появляться статьи

авторов-

«

прикладников

»

, претендующих на

«

перенесение результатов

Ю. Мозера об инвариантных торах гамильтоновых систем на ана-
литический случай

»

.

Упомянутая замечательная работа Ю. Мозера была обобщением тео-

ремы Колмогорова, опубликованной тем в 1954 г., об инвариантных торах
аналитических систем.

Мозер перенес теорему Колмогорова со слу-

чая аналитических функций на случай

333

раза дифференцируемых

.

Это было замечательным достижением, так как сам Колмогоров считал,
что даже бесконечного числа производных не хватило бы, так что работа
Мозера изменила всю философию в этой области. Мозер использовал,
в дополнение к работе Колмогорова, технику сглаживания Дж. Нэша и
неравенства Адамара

––

Литтлвуда

––

Колмогорова между величинами про-

изводных разных порядков, обогнавшие на много лет теорию оптимального
управления, к которой они по существу относятся.

69

i

i

i

i

i

i

i

i

Между прочим, я никогда не понимал деталей доказательств этой рабо-

ты Мозера и даже опубликовал (в УМН 1963 г.) свою версию его доказа-
тельства, основанную на рассказанных им мне идеях. И только тридцатью
годами позже мой ученик М. Б. Севрюк объяснил мне, почему я не понимал
текст Мозера: во всех, кроме моего, многочисленных вариантах этого дока-
зательства имелась недоказанная лемма, сформулированная вдобавок так,
что ее легко можно было понять неверно, а к этому неверному утверждению
можно было легко подобрать контрпримеры, которые мне и мешали.

Когда мне прислали из американского журнала на отзыв эти

«

приклад-

ные обобщения теоремы Мозера

»

, я резко возражал против такой попытки

приписать Мозеру результаты Колмогорова (сегодня вся эта область на-
зывается обычно

«

теорией КАМ

»

, по фамилиям трех авторов). Мозер

поддержал меня и возражал не менее сильно, чем я, против попытки от-
нять у Колмогорова его результат (справедливо подчеркивая, правда, что
Колмогоров так и не напечатал подробного доказательства своей тео-
ремы, каковое доказательство появилось в печати лишь десятью годами
позже теоремы, в посвященной шестидесятилетию Колмогорова статье Ар-
нольда).

На мой взгляд, в короткой статье Колмогорова (в ДАН 1954 г.) все

понятно и правильно. Основной вклад Арнольда в теорию КАМ

––

вовсе

не публикация доказательства теоремы Колмогорова, а открытие (1963 г.)
универсального механизма неустойчивости многомерных систем (позже
названного физиками

«

диффузией Арнольда

»

), решение (1961 г.) проблемы

Биркгофа об устойчивости эллиптических положений равновесия и дока-
зательство вечной адиабатической инвариантности переменной действия
(1962 г.).

Забавной моей ошибкой было при этом то, что, излагая свое решение

проблемы Биркгофа, я ограничился точно указанной Биркгофом форму-
лировкой задачи, в которой положение равновесия предполагается нере-
зонансным, в то время как в ходе своего доказательства я использовал
не все это условие, а лишь отсутствие резонансов порядка меньшего пяти
(теперь их называют

сильными

).

Рациональные числа со знаменателем

5

или выше ведут себя в этой задаче как иррациональные

.

Мозер сделал это дополнение к моему решению проблемы Биркгофа

год спустя, но в свое время я просто проглядел эту возможность усовер-
шенствовать результат, не меняя доказательства, будучи странно загип-
нотизирован формулировкой

«

классической

»

проблемы. Вывод:

никогда

не следует поддаваться такому гипнозу авторитетов, сущность
дела важнее, чем авторитетность классической формулировки

! Для

устойчивости достаточно уже отсутствие сильных резонансов, порядка
меньшего пяти.

70