ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.11.2019
Просмотров: 3510
Скачиваний: 59
i
i
i
i
i
i
i
i
это полная бесполезность обеих
. Харди, обсуждая вопрос о том, какими
задачами математику стоит заниматься, сделал для себя следующий вывод:
можно заниматься только
либо теорией чисел, либо теорией отно-
сительности, потому что только эти две науки не имеют сейчас
(
и не получат никогда в будущем
)
никаких полезных применений
(
особенно в военном деле
)
9
.
Я расскажу сейчас, какое видоизменение получили эти доводы Харди
в руках его современных последователей, вроде Манина. Но они ста-
раются не цитировать слова ни о теории относительности (являющейся
основой атомной бомбы), ни о теории чисел. Использование теории чисел
секретными службами, занимающимися кодированием и декодированием
информации, является сейчас важнейшим источником финансирования ма-
тематики. Я слышал даже, что один из крупнейших во всем мире специа-
листов по теории чисел давно уже удостоился за это генеральского чина в
соответствующем (неназываемом) ведомстве.
Независимо от совета Харди, я занялся в последнее время приложе-
ниями теории относительности к теории чисел.
Тезис Манина состоит в том, что
польза от математики состоит
вовсе не в способствовании какому-либо прогрессу, а, скорее, в ее
«
огромном вкладе в решение основной проблемы постиндустриаль-
ного человечества
»
.
Проблема же эта, по Манину, состоит вовсе не в ускорении
какого-либо прогресса человечества, а в том, чтобы этот прогресс
всеми силами тормозить.
«
Ведь,
––
говорит он,
––
если бы умники, занимавшиеся проблемой Фер-
ма, усовершенствовали вместо этого самолеты и автомобили, то вреда для
человечества было бы куда больше!
»
Математические задачи, по Манину, служат именно этой цели тормо-
жения: они
отвлекают
внимание умных людей от более опасных занятий.
Дальнейшее рассуждение такое: проблема Ферма
«
к сожалению, те-
перь утратила свою полезность
»
, так как она уже решена Уайлсом и потому
больше не способна отвлекать. Следовательно, нужно сформулировать
другие (столь же нелепые) вопросы, которые будут отвлекать математиков
следующих поколений.
9
Среди многих других высказываний ужасной
«
Апологии
»
Харди, процитируем и такие
непростительно мракобесные:
«
без Абеля, Римана и Пуанкаре мир ничего бы не потерял
»
;
«
баллистика и аэродинамика отталкивающе безобразны и невыразимо скучны
»
;
«
я не знаю
продвижения в математике, инициированного человеком старше 50 лет, а в 60 лет от матема-
тика бесполезно ожидать оригинальных идей
»
;
«
никому еще не удалось обнаружить военных
приложений теории чисел и теории относительности
»
;
«
слезоточивый и горчичный газы
––
самое гуманное оружие
»
.
31
i
i
i
i
i
i
i
i
Гильберт уже попытался сделать это в сформулированных им на Все-
мирном Математическом Конгрессе 1900 г. в Париже
«
Проблемах
»
, но
теперь нужен новый список отвлекающих вопросов (Манин, прежде всего,
напоминает
«
проблему близнецов
»
, т. е. соседних простых чисел, разность
которых равна 2, как 5 и 7, 17 и 19, 29 и 31, ... : конечно ли число таких
пар, или же бесконечно?).
§ 3. Проблемы Гильберта
Проблемы Гильберта оказали удивительно мало влияния на развитие
математики XX в. Одна из самых красивых из них
––
о равносоставленно-
сти многогранников одинакового объема
10
––
была на самом деле решена (с
публикацией решения) за несколько лет до того, как Гильберт ее поставил.
А открытые сейчас связи этой проблемы с квантовой теорией поля Гиль-
берт не заметил. Их обнаружили лишь вследствие странного совпадения
сороказначных ответов в компьютерных вычислениях.
На развитие математики в XX в. куда большее влияние оказали работы
ученика Гильберта, Германа Вейля (развивавшего, скорее, идею Пуанкаре,
что основной задачей математики XX в. будет создание математического
аппарата теории относительности и квантовой физики)
11
.
Я расскажу здесь немного о тех двух из пары десятков проблем Гиль-
берта, в которых идет речь о топологии
––
наиболее быстро развивавшейся
в XX в. области математики, созданной прежде всего А. Пуанкаре, тео-
ремы, ошибки и задачи которого до сих пор определяют состояние этой
науки.
10
В отличие от многоугольников, многогранники равного объема не всегда равносоставле-
ны, т. е. не всегда могут быть разбиты на взаимно конгруэнтные части.
11
Не все знают, как огромна была роль Г. Вейля в становлении квантовой механики.
Шрёдингер рассказывает, что ему никак не удавалось получить наблюдаемые в эксперименте
спектры атомов исходя из уже известной двойственности волна
––
частица, так как, хотя он
уже и написал
«
уравнение Шрёдингера
»
, спектр неизменно получался непрерывным (как
в интеграле, а не в ряде Фурье), из-за того что область, где рассматривалось уравнение,
простиралась, естественно, неограниченно далеко.
Но Г. Вейль, которому Шрёдингер рассказал о своих трудностях, подсказал ему, что
он, Вейль, уже один раз преодолел подобную же трудность в теории упругости, где он
рассматривал колебания и волны в неограниченных областях: для получения дискретного
спектра нужно наложить граничные условия на бесконечности, например, потребовать, чтобы
пси-функция была интегрируема с квадратом модуля. Шрёдингер немедленно последовал
этому совету, получил требуемый спектр атома водорода, и волновая квантовая механика
быстро сменила предшествующую ей матричную.
32
i
i
i
i
i
i
i
i
Ошибка, о которой я здесь говорю,
––
это отождествление гомотопий
с гомологиями, опровергнутое самим Пуанкаре при построении им из до-
декаэдра
«
трехмерного многообразия Пуанкаре
»
, на котором каждая за-
мкнутая кривая гомологична нулю (т. е. является границей подходящей
двумерной поверхности), но не каждая гомотопна нулю (т. е. непрерывно
стягивается в точку). Это трехмерное многообразие проще всего задать
системой из трех уравнений в шестимерном вещественном (трехмерном
комплексном) пространстве:
(3)
{
x
3
+
y
5
+
z
2
=
0,
|
x
|
2
+
|
y
|
2
+
|
z
|
2
=
1
}
.
Исправление этой ошибки Пуанкаре привело к раздельному развитию
двух наук: теории гомологий и теории гомотопий. К теории гомологий от-
носится, например, описанное выше исследование абелевых интегралов в
зависимости от рода римановой поверхности. К теории гомотопий относит-
ся, например, изучение монодромий алгебраических функций (описанное
выше при исследовании неразрешимости уравнений в радикалах).
Многообразие Пуанкаре послужило также прообразом
«
экзоти-
ческих сфер
»
Милнора
–
–
гладких многообразий, гомеоморфных
обычной сфере, но не диффеоморфных ей
. Для семимерной сферы
таких многообразий, не диффеоморфных друг другу, 28, и одно из них, так
называемая
«
сфера
E
8
»
, задается подобным уравнению (3)
уравнением
Брискорна
в десятимерном пространстве
C
5
:
{
x
3
+
y
5
+
z
2
+
u
2
+
v
2
=
0,
|
x
|
2
+
|
y
|
2
+
|
z
|
2
+
|
u
|
2
+
|
v
|
2
=
1
}
.
Чтобы получить остальные экзотические семимерные сферы Милнора,
нужно здесь заменять показатель 5 на число 6
k
−
1 и взять значения
k
=
1, . . . , 28 (при одном из этих значений
k
получится многообразие,
странно диффеоморфное обычной семимерной сфере!).
Возникшая здесь новая наука
––
дифференциальная топология
––
является наукой о гладких многообразиях и одной из самых фундамен-
тальных областей математики. Американское математическое общество в
томе, посвященном математическому наследию А. Пуанкаре, сообщило,
что Пуанкаре якобы
«
не был знаком с понятием гладкого многообразия
»
(которое он-то и ввел в математику). Но о социальных причинах подобного
«
демократического
»
пересмотра истории науки и оценки ее достижений я
уже сказал выше.
«
Проблема Пуанкаре
»
состоит в том, гомеоморфно ли сфере любое
замкнутое связное трехмерное многообразие, на котором всякая замкнутая
кривая стягиваема в точку. Она и сегодня остается одной из основных
проблем топологии.
33
i
i
i
i
i
i
i
i
Между прочим, одним из основных достижений топологии XX в. яви-
лось открытие того факта, что в многомерном (иногда даже бесконечномер-
ном) случае многое упрощается. Например, все узлы развязываются уже
в четырехмерном пространстве (и спириты утверждали, что умеют это ис-
пользовать), а проблема Пуанкаре решена для многомерных сфер (начиная
с размерности 5 гипотеза о гомеоморфности сфере всякого многообразия,
где стягиваемы в точку все сферы меньшей размерности, верна).
Топология
––
важнейшая часть математики XX в., и удивительно, как
мало о ней думал Гильберт. Что же касается самого понятия гладкого
многообразия, то его обсуждал уже Лукреций, утверждавший в
«
Природе
вещей
»
(
«
De natura rerum
»
, I в. до н. э.), что атомы делятся по свойствам
своей поверхности на следующие три категории (сейчас математики их на-
зывают гладкой, кусочно линейной и топологической): некоторые скользят
друг по другу своими гладкими поверхностями, другие, подобно много-
гранникам, сталкиваются своими углами, третьи же, подобно рыболовным
крючкам, имеют острия-крючочки и способны крепко соединяться друг с
другом этим негладкими выростами.
Топологические проблемы Гильберта имеют в его списке номера 13
и 16. В обоих случаях речь идет о самых первоначальных, исходных во-
просах математики, поэтому в российских обзорах проблем Гильберта их
обычно пропускают, и я постараюсь восполнить этот недостаток.
В тринадцатой проблеме это вопрос о решении общего алгебраического
уравнения степени
n
,
x
n
+
a
1
x
n
−
1
+
. . .
+
a
n
=
0,
При
n
6
4 такое уравнение решается в радикалах, а при
n
>
5, вообще
говоря,
––
нет. Но все же при помощи радикалов можно (подобно тому как
это делают для решения квадратного уравнения) свести всякое уравнение
степени 5 к специальному уравнению
(4)
x
5
+
ax
+
1
=
0
.
Специальную алгебраическую функцию одного переменного
x
(
a
), опреде-
ляемую этим уравнением, достаточно добавить к радикалам, чтобы через
комбинации этих функций и рациональных функций выразить функцию
x
(
a
1
, . . . ,
a
5
), означающую корень общего уравнения степени 5 с заданными
коэффициентами.
Общее уравнение степени 6 сводится в таком же смысле к специальной
алгебраической функции
x
(
a
,
b
) от двух переменных, определяемой урав-
нением
x
6
+
ax
2
+
bx
+
1
=
0
.
34
i
i
i
i
i
i
i
i
Точно так же для решения общего уравнения степени 7 достаточна
специальная алгебраическая функция
x
(
a
,
b
,
c
) от трех переменных, опре-
деляемая уравнением
x
7
+
ax
3
+
bx
2
+
cx
+
1
=
0,
о которой и идет речь в проблеме Гильберта. Вопрос состоит в том,
«
а
нужны ли вообще функции трех переменных
?
»
–
–
можно ли выразить
эту функцию x
(
a
,
b
,
c
)
в виде конечной комбинации функций, каждая
из которых зависит лишь от двух переменных
?
Примером такой комбинации (
«
суперпозиции
»
по Гильберту
) явля-
ется функция
u
(
a
,
b
,
c
)
=
v
(
a
,
w
(
b
,
c
)): две функции (
v
и
w
), от двух пере-
менных каждая, составили в качестве суперпозиции новую функцию (
u
) от
трех аргументов. В общем случае комбинируются в сложную функцию не
две функции, а любое их конечное число, причем каждый аргумент может
входить в суперпозицию и несколько раз.
При постановке этого вопроса чрезвычайно важно фиксировать класс
функций, о которых идет речь: ответы для разных классов удивительно
непохожи.
Гильберт уже знал, что
«
разрывных функций, существенно зависящих
от трех переменных, нет
»
: если допускать любые разрывы у составляющих
суперпозицию функций, то число аргументов становится несущественным
(главным образом из-за равномощности кубов разных размерностей друг
другу, в том числе
––
просто одномерному отрезку).
Поэтому Гильберт поставил свой вопрос так:
а можно ли выразить
определяемую приведенным выше уравнением степени 7 функцию
z
(
a
,
b
,
c
)
суперпозицией н е п р е р ы в н ы х функций двух переменных
?
Замечательный прогресс был достигнут лишь через более чем полвека,
когда А. Г. Витушкин разобрал аналогичный вопрос для
гладких функций
вместо непрерывных
.
Его результат означал, что
степень сложности p-гладкой
(
p раз
непрерывно дифференцируемой
)
функции от n переменных опре-
деляется величиной дроби n/p
: чем больше число аргументов
n
, тем
функция сложнее, а чем больше гладкость
p
, тем проще.
А именно, представление
p
-гладких функций
n
переменных суперпози-
циями
q
-гладких функций
k
переменных возможно заведомо не для вся-
кой разлагаемой функции класса (
p
,
n
), если сложность представляющих
функций меньше, чем сложность представляемых, т. е. если
k
q
<
n
p
,
то представить столь гладкими функциями можно не всё.
35