Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

ществ для какого-либо выбора начала отсчета времени и не противоречат поэтому предположению об однородности времени.

4. Законы и уравнения механики не изменяются при преобразованияХ; соответствующих равномерному поступательному дви-

при любой комбинации этих преобразований, т. е. при выполнении их последовательно одно за другим.

Теперь надо уточнить, какой точный смысл вкладывается

вслова «законы и уравнения механики не изменяются при некотором преобразовании». Законы механики, как мы увидим далее, записываются в виде равенств. В эти равенства в качестве переменных входят координаты, скорости и ускорения материальных точек, подсчитанные по отношению к какой-либо системе отсчета,

ифункции от этих переменных — координат, скоростей и ускорений. Роль таких функций далее будут играть силы, энергия системы (потенциальная, кинетическая или полная), количество движения (импульс) и иные функции, которые будут введены в рассмотрение

вэтой и в следующих главах. Говорят, что законы и уравнения механики не меняются при некоторых преобразованиях системы отсчета или что они инвариантны по отношению к этим преобразованиям, если равенства, выражающие законы механики, удовлетворяют следующим двум условиям.

ГПосле выполнения преобразований, связанных с переходом

кновой системе отсчета, структура равенств в «новых» переменных имеет совершенно такой же вид, какой она имела в «старых» переменных.

2° Все функции от координат, скоростей и ускорений, которые содержатся в этих равенствах, в результате преобразования не меняются, т. е. как функции «новых» переменных они имеют совершенно такой же вид, какой они имели до преобразования как функции «старых» переменных.

Законы и уравнения механики содержат обычно не только координаты точек, но и их скорости и (или) ускорения. Поэтому по отношению к перемещениям точек равенства, выражающие законы или уравнения механики, являются дифференциальными уравнениями. Но для того чтобы из дифференциальных уравнений

46 ГЛ IT ИСХОДНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

можно было определить движение, должны быть заданы еще и начальные данные. Если в двух различных инерциальных системах взять численно одинаковые начальные данные, то в связи с тем, что законы движения имеют в них одинаковый вид, движения в этих системах будут описываться одинаковыми функциями времени.

В качестве примера рассмотрим следующие уравнения 1):

Непосредственно видно, что преобразование любого из перечисленных выше четырех типов не меняет ни вида этих уравне-

влияние на точки системы других материальных объектов, не входящих в нее, то, вообще говоря, при переходе от одной инерциальной системы к другой структура равенств, выражающих законы и уравнения механики, может изменяться. Часто удается, однако, придать этим равенствам такой вид, чтобы при переходе от одной инерциальной системы к любой другой структура этих равенств сохранялась, хотя вид содержащихся в этих равенствах функций координат и скоростей точек 2) может меняться. В таких случаях говорят, что форма записи законов или уравнений механики ковариантна по отношению к преобразованиям в классе инерциальных систем. Подобным же образом можно говорить о ковариантности законов и уравнений механики по отношению к иным классам преобразований систем отсчета. Разумеется, может оказаться, что и у незамкнутой системы имеет место не только ковариантность, но и инвариантность законов механики, но по отношению не к произвольным преобразованиям в классе инерциальных систем, а при каких-либо преобразованиях частного вида.

В качестве примера незамкнутой системы рассмотрим движение системы, описываемой уравнением3)

где

Это уравнение инвариантно относительно «сдвига по времени»

г* =r, t*=t + a,

но при «сдвиге системы отсчета»

r*=r +a, t*=t

получается уравнение

где

Таким образом, в результате преобразования форма уравнений не изменилась, a F* как функция новой переменной г* отличается от FKaK функции старой переменной г. Следовательно, рассматриваемое уравнение движения материальной точки представлено в форме, ковариантной относительно сдвигов. Читатель может сам убедиться в том, что это же уравнение инвариантно относительно поворотов вокруг любой оси, но лишь ковариантно относительно галилеевых преобразований.

Для читателей, знакомых с тензорным исчислением, сделаем следующее важное дополнительное замечание. Одним из исходных предположений в механике является утверждение о том, что все механические величины характеризуются тензорами нулевого, первого или второго ранга, а все законы и уравнения механики представляют собой тензорные равенства. Это значит, что в каждом законе должны содержаться слагаемые, представляющие собой тензоры одного и того же ранга, и из самого определения тензора следует, что любые равенства, выражающие законы и уравнения механики (как для замкнутых, так и для незамкнутых систем), ковариантны по отношению к повороту координат. В отличие от этого ковариантность по отношению к другим преобразованиям не является свойством законов механики, а скорее определяется формой их записи. Одни и те же законы механики могут быть представлены и в ковариантной, и в нековариантной записи. Преимущество ковариантной записи состоит в том, что она не зависит от выбора систем отсчета в пределах соответствующего класса преобразований.

Понятия об инвариантности и ковариантности законов и уравнений механики являются центральными, и к этим понятиям мы будем неоднократно возвращаться в следующих главах.

50 ГЛ И ИСХОДНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОМ МЕХАНИКИ

Выберем систему отсчета, движущуюся относительно исходной поступательно и равномерно со скоростью —и. Эта система также инерциальна. Рассматриваемые точки имеют в ней скорости г^Н-и, v2 + tt в момент t и v\-{-u, v'i + и в момент С. В силу принципа относительности Галилея функция / должна быгь мерой движения и в этой системе, т. е. должно выполняться равенство

f(mlt vl + u) + f(m2, v2 + u) = f{mlt v[ + и)-\-f(tn2, v't + u). (2)

Выберем в «старой» инерциальной системе отсчета декартову систему координат х, у, г так, чтобы координаты вектора и были равны {и, 0, 0), т. е. предположим, что новая инерциальная система движется относительно старой со скоростью и вдоль оси х. Тогда

/(т, с + и) = /(т, vx-\-u, vy, vt),

где vx, vy, vz —координаты вектора©, и равенство (2) принимает вид

Разложим теперь функции, входящие в это равенство, в ряды Тейлора по степеням и. Выписав лишь линейные члены и заменив многоточиями члены высших порядков, получим

f(mv vj + uijj-

равенство (1), только вместо искомой меры движения / в равен-