Файл: Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 2.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 444

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

48

:

¨á. 2-11

¨á. 2-12

஢ ­¨¥¬ \ç¥âëà¥å墮á⮣®" £à 䨪 ¢ Z [J], çâ® ¤ ¥â:

ig

4

(Z

dx F (z ; x)J(x)

4

exp ;

i

Z J F J ) jJ=0

 

 

 

; 4!

 

 

 

 

=

J(x1)::: J (x4)

 

2

 

= ;ig Z

dz F (x1 ; z) F (x2 ; z) F (x3 ; z) F (x4 ; z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.128)

çâ® £à ä¨ç¥áª¨ ¬®¦­® ¨§®¡à §¨âì ¯à®áâ® â®çª®© á ç¥âëàì¬ï \墮áâ ¬¨", £¤¥ â®çª ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â í«¥¬¥­â à­ãî (\§ âà ¢®ç­ãî") ¢¥à設㠢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï.

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«­ ï 4-â®ç¥ç­ ï äã­ªæ¨ï, á â®ç­®áâìî ¤® ç«¥­®¢ ¯®à浪 g, ¨§®¡à ¦ ¥âáï £à 䨪 ¬¨ ¨á.2-13. ¤¥áì ¯¥à¢ë© ç«¥­ ¯®à浪 g0 , ª ª ¬ë 㦥 ®â¬¥ç «¨, ­¥ ¤ ¥â ¢ª« ¤ ¢ à áá¥ï­¨¥, ¢â®à®© ç«¥­ ®¯¨áë¢ ¥â á ¬®¤¥©á⢨¥ ®¤­®© ¨§ ç áâ¨æ, ᮡá⢥­­® à áá¥ï­¨¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï ⮫쪮 âà¥â쨬 á« £ ¥¬ë¬.

¨á. 2-13

:

49

¨á. 2-14

¨á. 2-15

¨á«¥­­ë¥ ª®íää¨æ¨¥­âë ­ ¨á.2-13, ¨ ¢ ¤àã£¨å ¯®¤®¡­ëå á«ãç ïå, ¬®¦­® ¯®­ïâì ¨§ ª®¬¡¨­ â®à­ëå á®®¡à ¦¥­¨©. áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî ¤¨ £à ¬¬ã ¯®- à浪 gn ¤«ï 4-â®ç¥ç­®© ä㭪樨. ­ ᮤ¥à¦¨â n ¢¥à設 { ¨á.2-14. 4-â®ç¥ç­®© ä㭪樨 ¨¬¥¥âáï 4 ¢­¥è­¨å \墮áâ " { ¨á.2-15 (¯à¥¤¤¨ £à ¬¬ ). ¥¯¥àì ­ã¦­® ¢á¥¬¨ ᯮᮡ ¬¨ ᮥ¤¨­¨âì í⨠\墮áâë" á n ¢¥à設 ¬¨, ¯® ¯à ¢¨« ¬ á®áâ ¢«¥­¨ï ¤¨ £à ¬¬. ¯à¨¬¥à, ¢ ¯¥à¢®¬ ¯®à浪¥ ¯® g áãé¥áâ¢ã¥â âਠ⮯®«®£¨ç¥áª¨ à §-

«¨ç­ëå ⨯ 䥩­¬ ­®¢áª¨å ¤¨ £à ¬¬, ¯®ª § ­­ë¥ ­

¨á.2-16. â®¡ë ¯®«ãç¨âì

¤¨ £à ¬¬ã ¨á.2-16( ) ­ã¦­® á­ ç « ᮥ¤¨­¨âì x1 ­

¯à¥¤¤¨ £à ¬¬¥ ¨á.2-15 á

®¤­¨¬ ¨§ ª®­æ®¢ ¢¥à設ë. ãé¥áâ¢ã¥â 4 ᯮᮡ í⮠ᤥ« âì. ®á«¥ í⮣® ®áâ ¥âáï 3 ᯮᮡ ᮥ¤¨­¨âì x2 á ®¤­¨¬ ¨§ ®áâ ¢è¨åáï ª®­æ®¢ ¨ â. ¤. ᥣ®, â ª¨¬ ®¡à - §®¬, ¨¬¥¥âáï 4! = 24 ᯮᮡ ¯®«ãç¨âì íâã ¤¨ £à ¬¬ã ¨§ ¯à¥¤¤¨ £à ¬¬ë, ®âáî¤ ¨ ¢®§­¨ª ¥â ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ª®íää¨æ¨¥­â ­ ¨á.2-13. â®¡ë ¯®«ãç¨âì ¤¨ £à ¬¬ã¨á.2-16(¡), ᮥ¤¨­¨¬ x1 ­¥¯®á।á⢥­­® á ®¤­¨¬ ¨§ ¢­¥è­¨å ª®­æ®¢ x2; x3; x4, çâ® ¤ áâ ®¤­ã «¨­¨î. ãé¥áâ¢ã¥â 3 ᯮᮡ í⮠ᤥ« âì. «¥¥ ¢ë¡¥à¥¬ ®¤¨­ ¨å ª®­- 殢 ¢¥àè¨­ë ¨ ᮥ¤¨­¨¬ ¥£® á ®¤­®© ¨§ ¤¢ãå ®áâ ¢è¨åáï ¢­¥è­¨å â®ç¥ª. â® ¬®¦­® ᤥ« âì 4 2 ᯮᮡ ¬¨. «¥¥ ᮥ¤¨­¨¬ ®¤¨­ ¨§ âà¥å ®áâ ¢è¨åáï ª®­æ®¢ ¯ã­ªâ¨à- ­®© ¢¥à設ë á ¯®á«¥¤­¥© ®á⠢襩áï â®çª®©. «ï í⮣® ¨¬¥¥âáï 3 ᯮᮡ . ª®- ­¥æ, ᮥ¤¨­¨¬ ®á⠢訥áï ¤¢ ª®­æ ¤àã£ á ¤à㣮¬. ¨â®£¥ ¯®«ãç ¥âáï ªà â­®áâì

3

4 2 3 = 12 6, çâ® ¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ª®íää¨æ¨¥­âã ¯¥à¥¤ í⮩ ¤¨ £à ¬¬®©

­

¨á.2-13. ®­ïâ­®, çâ® ªà â­®áâì ¤¨ £à ¬¬ë ¨á.2-16(¢) à ¢­ 3 3 = 9, ­® íâ

(¢ ªã㬭 ï) ¤¨ £à ¬¬ ­¥ 䨣ãà¨àã¥â ­ ¨á.2-13, ᮪à é ïáì á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬

¢ª« ¤®¬ ®â §­ ¬¥­ â¥«ï ­®à¬¨à®¢ ­­®£® ä㭪樮­ «

Z [J].

 

¨â®£¥ ¬®¦¥¬ áä®à¬ã«¨à®¢ âì á«¥¤ãî騥 ¯à ¢¨«

¤¨ £à ¬¬­®© â¥å­¨ª¨ ¤«ï

⥮ਨ g'4 (¢ ª®®à¤¨­ â­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨):

 

¢®¡®¤­®¬ã ¯à®¯ £ â®àã F (x ;y) ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ᯫ®è­ ï «¨­¨ï, ᮥ¤¨­ï- îé ï â®çª¨ x ¨ y.

«¥¬¥­â à­ ï ¢¥à設 ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¨§®¡à ¦ ¥âáï â®çª®©, ᮥ¤¨­¥­­®© á

¨á. 2-16

50

:

 

 

ç¥âëàì¬ï ᯫ®è­ë¬¨ «¨­¨ï¬¨, ¥© ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ¬­®¦¨â¥«ì ;ig, ¯® ª®®à-

 

 

¤¨­ â ¬ ¢¥à設 ¢¥¤¥âáï ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥.

 

 

¦¤ ï ¤¨ £à ¬¬ 㬭®¦ ¥âáï ­ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ä ªâ®à ᨬ¬¥âਨ S=4!,

 

 

£¤¥ S { ç¨á«® ᯮᮡ®¢ ¯®áâநâì ¤ ­­ãî ¤¨ £à ¬¬ã ¨§ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¯à¥¤-

¤¨ £à ¬¬ë.

ந§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « ¤«ï á¢ï§­ëå ¤¨ £à ¬¬.

®¦­® ¢¢¥á⨠¯à®¨§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « W [J], ª®â®àë© ï¢«ï¥âáï ¯à®¨§¢®¤ï騬 ä㭪樮­ «®¬ ⮫쪮 ¤«ï á¢ï§­ëå ¤¨ £à ¬¬ ¥©­¬ ­ , â.¥. ¤«ï ¤¨ £à ¬¬ ­¥ à á- ¯ ¤ îé¨åáï ­ ­¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ¡«®ª¨6. ¢ï§­ë¥ ¤¨ £à ¬¬ë ¢ ¦­ë, ¯®áª®«ìªã ⮫쪮 ®­¨ ¤ îâ ¢ª« ¤ ¢ ­¥âਢ¨ «ì­ãî ç áâì S-¬ âà¨æë (à áá¥ï­¨¥). 㭪樮­ « W [J] ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª:

â ª çâ®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W [J] = ;i ln Z[J]

 

 

 

 

 

 

(2.129)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z[J] = exp (iW [J ])

 

 

 

 

 

 

(2.130)

®ª ¦¥¬, ­

¯à¨¬¥à¥ 2-â®ç¥ç­®© ¨ 4-â®ç¥ç­®© ä㭪権, çâ® W [J] ¤¥©á⢨⥫쭮

\£¥­¥à¨àã¥â" ⮫쪮 á¢ï§­ë¥ ¤¨ £à ¬¬ë. ¬¥¥¬:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2W

i Z

 

 

Z

;

i

2Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.131)

 

 

 

 

 

 

J (x1 ) J (x2)

Z2 J(x1) J (x2 )

Z

J(x1) J (x2)

ਠJ = 0 ¨¬¥¥¬:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z[J]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J(x) jJ=0 = 0

 

 

 

Z [0] = 1

 

 

 

 

 

 

(2.132)

â ª çâ® ¯®«ãç ¥¬:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2W

 

 

 

 

 

 

2Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jJ=0

= ;i

 

 

 

 

 

 

 

jJ=0 =

;i (x1; x2)

(2.133)

 

 

 

 

 

J(x1) J(x2)

J (x1) J(x2)

¨¤¨¬, çâ® W ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯à®¯ £ â®à ¢® ¢á¥å ¯®à浪 å ¯® g.

 

¥à¥©¤¥¬ ª 4-â®ç¥ç­®© ä㭪樨. த¨ää¥à¥­æ¨à㥬 (2.131) ¥é¥ ¤¢

à § ¨

¯®«®¦¨¬ J = 0. ®£¤

¨¬¥¥¬:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4W

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J(x1) J(x2) J(x3) J (x4 )

 

= i

1

 

 

 

2Z

2Z

1

 

 

 

 

 

 

2Z

 

 

 

2Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

+

Z2

J(x1) J(x2)

J(x3) J(x4)

Z2

J(x1) J(x3)

J(x2) J(x4)

1

 

 

 

2Z

 

 

 

 

2Z

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4Z

 

+

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

jJ=0

=

Z2

J(x1) J (x4 )

J(x2) J(x3)

Z2

J (x1 ) J(x2) J(x3) J(x4)

= i[ (x1; x2) (x3; x4) + (x1; x3) (x2; x4) + (x1; x4) (x2; x3) ; (x1; x2; x3; x4)] (2.134)

6 ਬ¥à ­¥á¢ï§­®© ¤¨ £à ¬¬ë ¯®ª § ­ ­ ¨á.2-16(¡).

:

51

¨á. 2-17

¥âà㤭® ¢¨¤¥âì, çâ® íâ® ¢ëà ¦¥­¨¥ ­¥ ᮤ¥à¦¨â ­¥á¢ï§­ëå ¤¨ £à ¬¬. ®¤áâ ¢«ïï (2.117) ¨ ¢ëà ¦¥­¨ï á ¨á.2.128 ¢ (2.134), á â®ç­®áâìî ¤® ç«¥­®¢ ¯®à浪 g ¨¬¥¥¬¨á.2-17. ¨¤¨¬, çâ® ¢ª« ¤ ¢ íâ® ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤ îâ ⮫쪮 á¢ï§­ë¥ ¤¨ £à ¬¬ë.

áᬮâਬ ⥯¥àì ªà ⪮ n-â®ç¥ç¥­ãî äã­ªæ¨î:

 

1

 

nZ[J]

 

(x1; :::; xn) =

 

 

 

jJ=0

(2.135)

in

J (x1)::: J (xn)

¥¯à¨¢®¤¨¬ ï (á¢ï§­ ï) n-â®ç¥ç­ ï äã­ªæ¨ï '(x1; :::; xn) ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥­ ª ª:

 

1

 

nW [J ]

 

'(x1; :::; xn) =

 

 

 

jJ=0

(2.136)

in

J(x1)::: J(xn)

á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨§ ¨á.2-13 ¨ (2.135) á«¥¤ãîâ ¢ëà ¦¥­¨ï, ¯®ª § ­­ë¥ ­

¨á.2-18.

§ (2.134) á«¥¤ã¥â:

 

 

 

 

 

52

:

¨á. 2-18

¨á. 2-19

i'(x1; :::; x4) = (x1; :::; x4) ; (x1; x2) (x3; x4) ; (x1; x3) (x2; x4) ; (x1; x4) (x2; x3) (2.137)

®áª®«ìªã (x1; x2) = i'(x1; x2), ¨¬¥¥¬:

(x1; :::; x4) = i'(x1; :::; x4) ;

X

'(xi1; xi2)'(xi3; xi4)

(2.138)

 

p

 

 

£¤¥ á㬬 ¨¤¥â ¯® ¢á¥¬ ¢®§¬®¦­ë¬ à §¡¨¥­¨ï¬ ¨­¤¥ªá®¢ (1; :::; 4) ­ ¯ àë (i1; i2); (i3; i4). ª¨¬ ®¡à §®¬, 4-â®ç¥ç­ ï äã­ªæ¨ï à ᯠ¤ ¥âáï ­ \­¥¯à¨¢®¤¨- ¬ãî" (¨«¨ \á¢ï§­ãî") ç áâì ¨ ¯à¨¢®¤¨¬ë¥ ç áâ¨, ª ª ¯®ª § ­® ­ ¨á.2-19. ¯¥à¢®¬ ¯®à浪¥ ¯® g ¨¬¥¥¬ £à 䨪¨, ¯®ª § ­­ë¥ ­ ¨á.2-20. á«ãç ¥ n-â®ç¥ç­ëå ä㭪権, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ®¡®¡é¥­¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤, ¯®ª § ­­ë© ­ ¨á.2-21.

¯¥à â®à ᮡá⢥­­®© í­¥à£¨¨ ¨ ¢¥à設- ­ë¥ ä㭪樨.

த®«¦¨¬ ®¡á㦤¥­¨¥ ®¡é¥© áâàãªâãàë ãà ¢­¥­¨© ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¢ ä㭪樮­ «ì­®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¥, ®£à ­¨ç¨¢ ïáì, ¢ ®á­®¢­®¬, ⥮ਥ© g'4. ­ ï ¯à®¨§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « Z[J], ¬®¦¥¬ ­ ©â¨ n-â®ç¥ç­ë¥ ä㭪樨 (x1; :::; xn) (ä㭪樨 ਭ Gn(x1; :::; xn)):

(x1; :::; xn) = G(n)(x1; :::; xn) =

1

 

nZ[J ]

 

 

 

 

jJ=0

(2.139)

in

J(x1)::: J(xn)

⨠ä㭪樨 ᮤ¥à¦ â ª ª á¢ï§­ë¥ (­¥¯à¨¢®¤¨¬ë¥), â ª ¨ ­¥á¢ï§­ë¥ (¯à¨¢®¤¨¬ë¥) ç áâ¨, ª ª íâ® ¯®ª § ­®, ­ ¯à¨¬¥à, ¤«ï G(4) ­ ¨á.2-22. à®æ¥ááë à áá¥ï­¨ï ®¯à¥-

¨á. 2-20

:

53

¨á. 2-21

¨á. 2-22

¤¥«повбп в®«мª® б¢п§­л¬¨ ¤¨ £а ¬¬ ¬¨, ª®в®ал¥ £¥­¥а¨аговбп дг­ªж¨®­ «®¬

W = ;i lnZ, â ª çâ® á¢ï§­ë¥ ä㭪樨 ਭ

®¯а¥¤¥«повбп ª ª:

 

'(x1; :::; xn) = Gc(n)(x1; :::; xn) =

1

 

nW [J]

 

 

 

 

jJ=0

(2.140)

in;1

J (x1)::: J (xn)

®£¤ ¨§ ¢á¥å £à 䨪®¢, ¯®ª § ­­ëå ­ ¨á.2-22, ®áâ ¥âáï ⮫쪮 âà¥â¨©, ª®â®àë©

¨ ®¯à¥¤¥«ï¥â G(4) ¢ ¯¥à¢®¬ ¯®à浪¥ ¯® g.

c

¢ï§­ ï 2-â®ç¥ç­ ï äã­ªæ¨ï ਭ , á â®ç­®áâìî ¤® ç«¥­®¢ g3, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï £à 䨪 ¬¨, ¯®ª § ­­ë¬¨ ­ ¨á.2-23. ®«­ ï á㬬 â ª¨å ¤¨ £à ¬¬ ¤ ¥â \®¤¥âë©"

¯à®¯ £ â®à G(2)(x; y), ª®â®àë© ®¡ëç­® ¨§®¡à ¦ îâ \¦¨à­®©" «¨­¨¥©. ®¦­® ¯à®-

c

¢¥á⨠®¡ëç­ãî ¯à®æ¥¤ãà㠢뤥«¥­¨ï ®¤­®ç áâ¨ç­® ­¥¯à¨¢®¤¨¬ëå (1 ) ¤¨ £à ¬¬ (­¥à §à¥§ ¥¬ëå ¯® «¨­¨¨ ®¤­®© ç áâ¨æë), ¨ ¢¢¥á⨠¨å á㬬ã, ª ª íâ® ¯®ª § ­® ­¨á.2-24. â á㬬 ®¯à¥¤¥«ï¥â ­¥¯à¨¢®¤¨¬ãî ᮡá⢥­­® { í­¥à£¥â¨ç¥áªãî ç áâì.®«­ë© (®¤¥âë©) ¯à®¯ £ â®à ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⮣¤ ãà ¢­¥­¨¥¬ ©á®­ :

G(2)c (p) = G0(p) + G0(p)1i (p)G0(p) + G0(p)1i (p)G0(p)1i (p)G0(p) + ::: = = G0 1 + 1i G0 + 1i G0 1i G0 + ::: =

¨á. 2-23

54

:

¨á. 2-24

¨á. 2-25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= G0

 

1

1

G0

 

;1

=

 

G;1

(p)

1

(p)

 

;1

(2.141)

 

 

; i

 

 

 

 

0

 

; i

 

 

 

¨«¨

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gc(2)(p) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.142)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

; m2 ;

(p)

 

 

 

 

 

 

 

£¤¥ ã竨, çâ®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

G0(p) = p2 ; m2 (2.143)

¤¨ £à ¬¬­®¬ ¢¨¤¥ ãà ¢­¥­¨¥ ©á®­ ¯®ª § ­® ­ ¨á.2-25. ¯à¥¤¥«ïï 䨧¨ç¥- áªãî ¬ ááã ç áâ¨æë mphys ¯®«îᮬ ¯®«­®£® ¯à®¯ £ â®à 7 :

 

Gc(2)

=

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 ; mphys2

 

 

 

 

 

¯®«ãç ¥¬:

 

 

 

 

 

 

 

mphys2 = m2 + (p2 = mphys2 )

§ (2.141) ¨¬¥¥¬:

 

 

 

 

 

 

 

[G(2)

(p)];1 = G;1

(p) 1

(p)

c

 

 

0

 

; i

 

 

 

 

 

 

 

(2.144)

(2.145)

(2.146)

â ª çâ® ¢¥«¨ç¨­ , ®¡à â­ ï 2-â®ç¥ç­®© ä㭪樨, ᮤ¥à¦¨â ªà®¬¥ ®¡à â­®£® \£®-

«®£®" ¯à®¯ £ â®à ⮫쪮 1 -¤¨ £à ¬¬ë. ®¦­® ä®à¬ «ì­® ®¯à¥¤¥«¨âì 2- â®ç¥ç­ãî ¢¥à設­ãî äã­ªæ¨î ;(2)(p) ᮮ⭮襭¨¥¬:

Gc(2)(p);(2) (p) = i

(2.147)

7 ­¥à£¥â¨ç¥áª¨© ᯥªâà ᢮¡®¤­® à á¯à®áâà ­ïî饩áï \®¤¥â®©" ç áâ¨æë ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ p2 =

m2phys.

Смотрите также файлы