Файл: Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 2.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 443

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

:

43

¨«¨, ¨á¯®«ì§ãï (2.20):

 

 

Z dxdyJ(x) F (x ; y)J(y)

 

Z [J] = N exp i Z dxLint i J(x) exp ;2

(2.105)

1

 

i

 

 

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯®«ã稫¨ ®¡é¥¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ¯à®¨§¢®¤ï饣® ä㭪樮­ « ⥮ਨ á ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥¬, ª®â®à®¥ ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬ ¡ã¤¥â ¨á¯®«ì§®¢ ­® ¯à¨ ¯®áâà®- ¥­¨¨ ¤¨ £à ¬¬­®© â¥å­¨ª¨.

¥®à¨ï '4.

â ª ¢¥à­¥¬áï ª à áᬮâ७¨î ⥮ਨ á « £à ­¦¨ ­®¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï:

 

g

4

 

Lint = ;4!

'

(2.106)

®à¬¨à®¢ ­­ë© ¯à®¨§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « ¤«ï í⮩ ⥮ਨ ¨¬¥¥â ¢¨¤:

Z[J] =

 

h R

1

 

 

i

i

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

exp

i

dzLint

i J(z)

exp

;2

 

dxdyJ(x) F (x ; y)J(y)

 

 

nexp hi R dzLint

 

 

 

iexp ;

 

R dxdyJ(x) F (x ; y)J(y) o jJ=0

 

 

i

J(z)

2

(2.107)

¥®à¨ï ¢®§¬ã饭¨© áâநâáï à §«®¦¥­¨¥¬ í⮣® ¢ëà ¦¥­¨ï ¢ àï¤ ¯® á⥯¥­ï¬ ª®­áâ ­âë á¢ï§¨ g. 믨襬 ¯¥à¢ë¥ ç«¥­ë à §«®¦¥­¨ï ¤«ï ç¨á«¨â¥«ï:

ig

1

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"1 ; 4! Z

dz i

 

 

 

+ O(g2)#exp

;

 

 

 

 

Z dxdyJ(x) F (x ; y)J(y)

J(z)

2

¨ää¥à¥­æ¨àãï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬:

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

exp ;

i

dxdyJ(x) F (x ; y)J(y) =

 

 

i

 

 

 

Z

 

 

J(z)

2

= ;Z dx F (z ; x)J(x) exp ;

i

Z dxdyJ (x) F (x ; y)J(y)

 

2

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

exp

;

 

 

Z dxdyJ(x) F (x ; y)J (y) =

 

 

 

 

J(z)

 

2

= (i F (0) + Z

 

 

 

 

 

 

 

2

) exp ;2 Z dxdyJ(x) F (x ; y)J(y)

dx F (z ; x)J (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

(2.108)

(2.109)

(2.110)

1

 

3

 

i

 

 

 

 

 

i

 

 

 

exp ;

 

 

Z dxdyJ (x) F (x ; y)J(y) =

J(z)

 

2

44

:

¨á. 2-8

= (3[;i F (0)] Z dx F (z ; x)J(x) ; Z dx F (z ; x)J(x) 3)

 

exp ;

i

Z

dxdyJ(x) F (x ; y)J (y)

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.111)

1

 

4

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

i

 

exp

;

 

 

Z dxdyJ(x) F (x ; y)J(y) =

J(z)

2

= (;3[ F (0)]2 + 6i F (0) Z dx F (z ; x)J(x) 2

+ Z dx F (z ; x)J (x) 4)

exp ;

i

Z

dxdyJ(x) F (x ; y)J(y)

 

 

2

 

 

 

 

(2.112)

⨬ ¢ëà ¦¥­¨ï¬ ¬®¦­® ᮯ®áâ ¢¨âì ¤¨ £à ¬¬ë. 㤥¬ ¨§®¡à ¦ âì äã­ªæ¨îF (x ; y) (¯à®¯ £ â®à) ᯫ®è­®© «¨­¨¥©, ᮥ¤¨­ïî饩 â®çª¨ x ¨ y. ¥«¨ç¨­ãF (0) = F (x ; x) ¡ã¤¥¬ ¨§®¡à ¦ âì § ¬ª­ã⮩ ¯¥â«¥©, á¢ï§ ­­®© á â®çª®© x.®£¤ ¢ëà ¦¥­¨¥ (2.112) £à ä¨ç¥áª¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï, ª ª íâ® ¯®ª § ­® ­ ¨á.2-8.நá宦¤¥­¨¥ ª®íää¨æ¨¥­â®¢ 3, 6, 1 ¬®¦­® ¯®­ïâì ¨§ á®®¡à ¦¥­¨© ᨬ¬¥âਨ.¯à¨¬¥à, ª®íää¨æ¨¥­â 3 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â६ ᯮᮡ ¬ ᮥ¤¨­¨âì ¤¢¥ ¯ àë «¨- ­¨© ¢ ¤¨ £à ¬¬ã á ¤¢ã¬ï ¯¥â«ï¬¨. ­ «®£¨ç­®, ¢® ¢â®à®¬ á« £ ¥¬®¬ ¨¬¥¥âáï 6 ᯮᮡ®¢ ᮥ¤¨­¨âì ¤¢¥ «¨­¨¨, â ª çâ®¡ë ¯®«ã稫 áì ¨§®¡à ¦¥­­ ï ­ ¨á.2-8 ¤¨ £à ¬¬ . ⨠ª®íää¨æ¨¥­âë ­ §ë¢ îâáï ä ªâ®à ¬¨ ᨬ¬¥âਨ, ¬ë ¥é¥ ®¡áã- ¤¨¬ ®¡é¨© «£®à¨â¬ ¨å ¯®«ã祭¨ï ­¨¦¥. ¬¥â¨¬, çâ® ¯¥à¢ë© ç«¥­ ¢ (2.112) ¨ ­ ¨á.2-8 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ⨯¨ç­ë© ¢ ªãã¬­ë© ¢ª« ¤ (£à 䨪) ¡¥§ ¢­¥è­¨å «¨­¨©.

áᬮâਬ ⥯¥àì §­ ¬¥­ ⥫ì (2.107). «ï í⮣® ¤®áâ â®ç­® ¯à®áâ® ¯®«®¦¨âì J = 0 ¢ (2.112), çâ® ¨áª«îç ¥â ¢â®à®© ¨ âà¥â¨© ç«¥­ë ­ ¨á.2-8. ª¨¬ ®¡à §®¬, á â®ç­®áâìî ¤® ç«¥­®¢ ¯®à浪 g, ¯à®¨§¢®¤ï騩 ä㭪樮­ « ¨§®¡à ¦ ¥âáï £à ä¨- ª ¬¨ ¨á.2-9, £¤¥ ¢â®à®¥ à ¢¥­á⢮ ¯®«ã祭® à §«®¦¥­¨¥¬ §­ ¬¥­ ⥫ï á ⮩ ¦¥

:

45

¨á. 2-9

â®ç­®áâìî. ਠí⮬ ¢ ªãã¬­ë© £à 䨪 ¨§ §­ ¬¥­ ⥫ï \¯®¤­ï«áï ­ ¢¥àå" ¨ ¢ â®ç­®á⨠᮪à ⨫áï á ¢ ªãã¬­ë¬ £à 䨪®¬ ç¨á«¨â¥«ï. í⮬ ¯à®ï¢«ï¥âáï 㦥 ¢áâà¥ç ¢è¥¥áï ¢ëè¥ ®¡é¥¥ ¯à ¢¨«® ᮪à 饭¨ï ¢ ªã㬭ëå £à 䨪®¢, ª®â®à®¥ ¢ë- ¯®«­ï¥âáï ¨ ¤«ï ­®à¬¨à®¢ ­­ëå ¯à®¨§¢®¤ïé¨å ä㭪樮­ «®¢ ¢ ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï.

2-â®ç¥ç­ ï äã­ªæ¨ï.

¢ãåâ®ç¥ç­ ï äã­ªæ¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Z[J]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x1; x2) =

 

jJ=0

 

 

 

 

 

(2.113)

 

 

 

 

 

 

 

J(x1) J(x2)

 

 

 

 

 

§ ¨á.2-9 ïá­®, çâ® ¢ª« ¤ ¯¥à¢®£® á« £ ¥¬®£® ä㭪樮­ «

Z[J] ¢ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï

(x1; x2) à ¢¥­ ¯à®áâ® i F (x1 ;x2), â.¥. ᢮¡®¤­®¬ã ¯à®¯ £ â®àã. ¨ £à ¬¬

¨á.2-9

á ç¥âëàì¬ï \墮áâ ¬¨" ᮤ¥à¦¨â ç¥âëॠ¬­®¦¨â¥«ï J ¨ ­¥ ¤ ¥â (J = 0) ¢ª« ¤ ¢

2-â®ç¥ç­ãî äã­ªæ¨î. ª« ¤ ®â ¤¨ £à ¬¬ë á ¯¥â«¥© ¢ Z[J ] à ¢¥­:

 

 

 

 

g

 

 

 

dxdy F (z ; x)J (x) F (z ; y)J(y) exp ;

i

Z J F J

 

 

 

4 F (0)Z

 

 

(2.114)

 

 

2

¨ää¥à¥­æ¨àãï íâ® ¢ëà ¦¥­¨ï ¤¢

à § , ¯®«ãç ¥¬:

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

ig

(z ; x1) F (z ; y)J(y) exp ;

i

Z J F J + :::

 

 

 

 

(:::) = ; 4 F (0)2 Z dydz F

 

 

 

i J(x1)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.115)

1

 

 

 

1

 

g

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

(:::) = ; 2 F (0) Z dz F (z ;x1 ) F (z ; x2) exp ;

 

Z J F J +:::

i J(x2) i J(x1)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.116)

£¤¥ ®¯ã饭ë ç«¥­ë, ®¡à é î騥áï ¢ ­ã«ì ¯à¨ J ! 0. ¨â®£¥, ¨¬¥¥¬:

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x1; x2) = i F (x1 ; x2) ; 2 F (0) Z dz F (z ; x1) F (z

; x2) + O(g2)

(2.117)

46

:

¨á. 2-10

çâ® ¨§®¡à ¦¥­® ¤¨ £à ¬¬ ¬¨ ­ ¨á.2-10 «ï ᢮¡®¤­®© ç áâ¨æë ¨¬¥¥¬:

(x) = i F (x) = i Z

d4k

 

e;ikx

(2.118)

(2 )4 k2 ; m2 + i"

¨ äãàì¥-®¡à § ᢮¡®¤­®£® ¯à®¯ £ â®à ¨¬¥¥â ¯®«îá ¯à¨ k2 = m2 , çâ® ¤ ¥â ᯥªâà ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ç áâ¨æë. ¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¯à¨ ­ «¨ç¨¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï, ¬ áá ç áâ¨æë áâ ­®¢¨âáï ®â«¨ç­®© ®â m. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢â®à®© ç«¥­ ­ ¨á.2-10 ¬®¦­® § ¯¨á âì ª ª:

 

 

g

F (0)Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;2

dz F (x1 ; z) F (x2 ; z) =

 

 

g

d4pd4qdz

e;ip(x1;z) e;iq(x2;z)

 

= ;

2 F (0)Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

(2 )8

p2 ; m2 + i" q2

; m2 + i"

 

 

g

 

 

d4pd4q e;ip(x1;x2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ;2 F

(0)Z (2 )4

 

 

 

 

 

 

 

(p + q) =

 

 

(p2 ; m2 + i")2

 

 

 

 

 

 

g

 

 

d4p

e;ip(x1;x2)

 

 

 

 

 

= ;2 F (0) Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.119)

 

 

 

 

(2 )4

(p2 ; m2 + i")2

â ª çâ® (2.117) ᢮¤¨âáï ª:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d4p e;ip(x1;x2)

i

 

F (0)

 

(x1; x2) = i Z

 

 

 

 

1 +

 

g

 

 

(2.120)

 

(2 )4

p2 ; m2 + i"

2

p2 ; m2 + i"

ਠg 1 ç«¥­ ¢ 䨣ãà­ëå ᪮¡ª å ¢ (2.120) ¬®¦­® ¯¥à¥¯¨á âì (á ⮩ ¦¥ â®ç­®-

áâìî) ª ª:

 

 

 

 

 

 

g

F (0)

;1

1 ; i

 

 

 

 

(2.121)

2 p2

; m2 + i"

®®â¢¥âá⢥­­®:

 

 

 

 

 

(x1; x2) = i Z

d4p

 

e;ip(x1;x2)

(2 )4 p2 ; m2 ;

i

g F (0) + i"

2

¨¤¨¬, ç⮠⥯¥àì äãàì¥-®¡à § (x1; x2) ¨¬¥¥â ¯®«îá ¯à¨:

p2 = m2 +

i

g F (0)

 

m2

+ m2

= m2r

 

2

 

 

 

 

 

£¤¥

 

 

 

i

 

 

 

 

m2

= ;

g F (0)

 

 

 

2

 

(2.122)

(2.123)

(2.124)

¢¥«¨ç¨­ mr ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© 䨧¨ç¥áªãî (¨«¨ ¯¥à¥­®à¬¨à®¢ ­­ãî) ¬ ááã ç áâ¨æë. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¨§¬¥­ï¥â ¬ ááã. ᮦ «¥­¨î, ¢¥«¨ç¨­

:

47

 

2

 

­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì à ááç¨â ­ , ä®à¬ «ì­® ®­ ¡¥áª®­¥ç­ , ¯®áª®«ìªã F (0)

m4

 

R

d

k

 

R

3

2

 

R

 

 

k2

dkk =k

 

dkk, ¨ íâ®â ¨­â¥£à « ª¢ ¤à â¨ç­® à á室¨âáï ­

¢¥àå­¥¬ ¯à¥-

¤¥«¥. â® á­®¢

¯à¨¬¥à ⨯¨ç­®© \ã«ìâà 䨮«¥â®¢®©" à á室¨¬®á⨠¢ ª¢ ­â®¢®©

⥮ਨ ¯®«ï. ¨âã æ¨ï §¤¥áì â ª ï ¦¥, ª ª ¨ ¢ ª¢ ­â®¢®© í«¥ªâத¨­ ¬¨ª¥. ¨-

§¨ç¥áª ï ¯à¨ç¨­ à á室¨¬®á⨠{ â®ç¥ç­ë© å à ªâ¥à ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï («®ª «ì­ ï

⥮à¨ï ¯®«ï). ¬ ­¥¨§¢¥áâ­®, áãé¥áâ¢ã¥â { «¨ ª ª®© - ­¨¡ã¤ì \ॠ«¨áâ¨ç¥áª¨©" ¬¥å ­¨§¬ \®¡à¥§ ­¨ï" â ª¨å à á室¨¬®á⥩. ¯à¨¬¥à, ¢ ⥮ਨ ª®­¤¥­á¨à®¢ ­- ­®£® á®áâ®ï­¨ï, ¢ ­ «®£¨ç­ëå á¨âã æ¨ïå, ¢¥àå­¨© ¯à¥¤¥« ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ®¡ëç­®1=a, £¤¥ a { ­¥ª®â®à ï \¬¨­¨¬ «ì­ ï" ¤«¨­ ¯®à浪 á।­¥£® ¬¥¦ ⮬­®£® à á- áâ®ï­¨ï ¨«¨ ¯®áâ®ï­­®© à¥è¥âª¨. ­ «®£ â ª®© ¤«¨­ë ¢ ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï ­¥ ¨§¢¥á⥭, ¡®«¥¥ ⮣®, ¥£® ¢¢¥¤¥­¨¥ (­ ¯à¨¬¥à ¯ã⥬ ¢¢¥¤¥­¨ï à¥è¥â®ç­®© áâàãªâãàë ¯à®áâà ­á⢠- ¢à¥¬¥­¨ ­ ¬ «ëå à ááâ®ï­¨ïå) ® ­ àãè ¥â ५ï⨢¨áâáªãî ¨­- ¢ ਠ­â­®áâì ⥮ਨ. ஡«¥¬ à¥è ¥âáï ¤«ï ¯¥à¥­®à¬¨à㥬ëå ⥮਩, ª®£¤ 㤠- ¥âáï ¢á¥ â ª¨¥ à á室¨¬®á⨠\§ £­ âì" ¢ ª®­¥ç­®¥ ç¨á«® ¯ à ¬¥â஢, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ëå ¨§ íªá¯¥à¨¬¥­â (¬ áá , ª®­áâ ­â ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¨ â. ¯.). «ï ¯¥à¥­®à¬¨à㥬®© ⥮ਨ g'4 ¬ë ¥é¥ ¢¥à­¥¬áï ª ®¡á㦤¥­¨î íâ¨å ¢®¯à®á®¢.

4-â®ç¥ç­ ï äã­ªæ¨ï.

¬¥¥¬:

 

4Z[J]

 

(x1; x2; x3; x4) =

 

jJ=0

(2.125)

J(x1) J(x2) J (x3) J(x4)

«¥­ ¯®à浪 g0 ¡ë« à áᬮâ७ ¢ëè¥, ¨§ (2.86) ¨¬¥¥¬:

 

(x1; x2; x3; x4) = F (x2 ; x3 ) F (x1 ; x4 ) +

 

+ F (x2 ; x1) F (x3 ; x4) + F (x3 ; x1 ) F (x2 ; x4)

(2.126)

çâ® ¯®ª § ­® £à ä¨ç¥áª¨ ­ ¨á.2-7 ¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ᢮¡®¤­®¬ã à á¯à®áâà ­¥­¨î ¤¢ãå ç áâ¨æ ¡¥§ ¢á类£® à áá¥ï­¨ï. áᬮâਬ ¢ª« ¤ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¯® g. §

¢¨¤ ¯à®¨§¢®¤ï饣® ä㭪樮­ « , ¯à¨¢¥¤¥­­®£® ­

¨á.2-9, ïá­®, çâ® ®¤¨­ ¢ª« ¤

â ª®£® ⨯ , á¢ï§ ­­ë© á ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥¬ ¯¥â«¥¢®£® £à 䨪 ¢ Z[J] ¨§®¡à -

¦ ¥âáï ¨á.2-11 ¨ à ¢¥­:

 

 

 

 

g

4

 

4

J (x1) J (x2) J(x3) J(x4)

F (0)Z dx Z dy Z dz F (x ; z) F (y ; z)J(y)J(x) exp ;2 Z J F J jJ=0 =

 

 

 

i

= ;ig2 F (0)Z dz[ F (z ; x1) F (z ; x2) F (x3 ; x4) + + F (z ; x1 ) F (z ; x3) F (x2 ; x4) + F (z ; x1) F (z ; x4) F (x2 ; x3) + + F (z ; x2 ) F (z ; x3) F (x1 ; x4) + F (z ; x2) F (z ; x4) F (x1 ; x2) + + F (z ; x3) F (z ; x4 ) F (x1 ; x2(2.127))]

çâ® £à ä¨ç¥áª¨ ¯®ª § ­® ¤¨ £à ¬¬®© ­ ¨á.2-12, § ¬¥­ïî饩 è¥áâì á« £ ¥¬ëå ¤ ­­®£® ¢ëà ¦¥­¨ï. à㣮© ¢ª« ¤ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¯® g ¯®«ãç ¥âáï ¤¨ää¥à¥­æ¨-

Смотрите также файлы