Файл: Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 2.pdf

« ¢ 5

á室¨¬®á⨠¢ ⥮ਨ '4.

®­ï⨥ ¯¥à¥­®à¬¨à㥬®á⨠¨£à ¥â ¢ ᮢ६¥­­®© ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï ᮢ¥à- 襭­® äã­¤ ¬¥­â «ì­ãî ஫ì. ®«ìª® ¯¥à¥­®à¬¨àã¥¬ë¥ â¥®à¨¨ áç¨â îâáï ¨¬¥î- 騬¨ 䨧¨ç¥áª¨© á¬ëá«. ë 㦥 ¯à®¢¥«¨ ¤®áâ â®ç­® ªà ⪮¥ ®¡á㦤¥­¨¥ ¯¥à¥- ­®à¬¨à㥬®á⨠­ ¯à¨¬¥à¥ ¢ « ¢¥ 8 ç á⨠I. ¥©ç á ¬ë ¢¥à­¥¬áï ª ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡­®¬ã ®¡á㦤¥­¨î.

®á­®¢­®¬, ¬ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¯à®á⥩èãî ᪠«ïà­ãî ⥮à¨î ¯®«ï g'4, ª®â®à ï ¤®¢®«ì­® ¯®¤à®¡­® à áᬠâਢ « áì ¢ëè¥ ¢ « ¢¥ 2. ë 㦥 ¢áâà¥ç - «¨áì â ¬ á ⨯¨ç­ë¬¨ à á室¨¬®áâﬨ ⨯ (2.124). ¥à¥©¤¥¬ ª ¡®«¥¥ á¥à쥧­®¬ã ¨å ­ «¨§ã. ®«ì§ãïáì ¯à ¢¨« ¬¨ ¤¨ £à ¬¬­®© â¥å­¨ª¨ ¢ë¯¨è¥¬ ®¯ïâì ¯¥à¢ãî ¯®¯à ¢ªã ª ᮡá⢥­­® - í­¥à£¥â¨ç¥áª®© ç áâ¨, ¨§®¡à ¦ ¥¬ãî £à 䨪®¬ ¨á.5-1.®®â¢¥âáâ¢ãî饥 ­ «¨â¨ç¥áª®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤:

£¤¥ ãç⥭ ä ªâ®à ᨬ¬¥âਨ 1=2. ç¨á«¨â¥«¥ ¯®¤¨­â¥£à «ì­®£® ¢ëà ¦¥­¨ï á⮨â

¨á. 5-1

115

¤¥áì ¨¬¥¥âáï ç¥â¢¥àâ ï á⥯¥­ì p, ª ª ¢ ç¨á«¨â¥«¥, â ª ¨ ¢ §­ ¬¥­ ⥫¥, çâ® ¯à¨- ¢®¤¨â ª «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®© à á室¨¬®áâ¨1.

®á¬®âਬ ª ª ¬®¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì á⥯¥­ì à á室¨¬®á⨠¯à®¨§¢®«ì­®£® £à - 䨪 . ®¤®¡­ë© ­ «¨§ 㦥 ¯à®¢®¤¨«áï ­ ¬¨ ¤«ï ¢ « ¢¥ 8 ç á⨠I. ® §¤¥áì ¬ë 㤥«¨¬ ¥¬ã ¡®«ì襥 ¢­¨¬ ­¨¥. 祢¨¤­®, çâ® ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®© ¤¨ £à ¬¬¥ ª ¦¤ë© ¯à®¯ £ â®à ¤ ¥â ¢ª« ¤ ¢ §­ ¬¥­ â¥«ì ¯®¤¨­â¥£à «ì­®£® ¢ëà ¦¥­¨ï p2 (¯à¨ ¡®«ìè¨å p ¬ áᮩ m ¬®¦­® ¯à®áâ® ¯à¥­¥¡à¥çì!), ª ¦¤ ï ¢¥à設 ¤ ¥â ¢ª« ¤ ¢ ç¨á«¨â¥«ì p4, â ª¦¥ -äã­ªæ¨î, ¢ëà ¦ îéãî § ª®­ á®åà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá ¢ í⮩ ¢¥à設¥. ¨á«® ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¨¬¯ã«ìᮢ, ¯® ª®â®àë¬ ¢¥¤¥âáï ¨­â¥£à¨à®¢ - ­¨¥, à ¢­® ç¨á«ã § ¬ª­ãâëå ¯¥â¥«ì ¢ ¤¨ £à ¬¬¥. à áᬮâ७­ëå ¯à¨¬¥à å íâ® ç¨á«® à ¢­® 1 (®¤­®¯¥â«¥¢ë¥ ¤¨ £à ¬¬ë). áᬮâਬ ¤¨ £à ¬¬ã ¯®à浪 gn, â.¥. á n ¢¥à設 ¬¨. ãáâì ã ­¥¥ ¨¬¥¥âáï E ¢­¥è­¨å «¨­¨©, I ¢­ãâ७­¨å ¨ L ¯¥- ⥫ì. «ï ®¡é­®á⨠à áᬮâਬ ¯à®áâà ­á⢮ - ¢à¥¬ï á à §¬¥à­®áâìî d { ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¢¥àè¨­ë ¤ îâ ¢ª« ¤ ¢ ç¨á«¨â¥«ì, à ¢­ë© pd . ¯à¥¤¥«¨¬ ãá«®¢­ãî á⥯¥­ì à á室¨¬®á⨠D ¤ ­­®© ¤¨ £à ¬¬ë ª ª:

«ï à áᬮâ७­ëå ¢ëè¥ ¤¨ £à ¬¬ ¨¬¥¥¬, ª ª 㦥 ®â¬¥ç¥­®, D = 2 ¨ D = 0.®¦­® ⥯¥àì ¢ëà §¨âì D ç¥à¥§ E ¨ n, ¨áª«î稢 I ¨ L. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨¬¥- ¥âáï ¢á¥£® I ¢­ãâ७­¨å ¨¬¯ã«ìᮢ. ª ¦¤®© ¨§ n ¢¥à設 á®åà ­ï¥âáï ¨¬¯ã«ìá, ®¤­ ª® ¨¬¥¥âáï ¥é¥ ¨ ¯®«­ë© § ª®­ á®åà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá ¢ ¯à®æ¥áᥠà áá¥ï­¨ï, ®¯¨áë¢ ¥¬®£® ¤ ­­®© ¤¨ £à ¬¬®© (¨¬¯ã«ìáë ¢­¥è­¨å «¨­¨© 䨪á¨à®¢ ­ë). à¥- §ã«ìâ ⥠¨¬¥¥âáï ¢á¥£® n ; 1 ᮮ⭮襭¨© ¬¥¦¤ã ¨¬¯ã«ìá ¬¨ (¯® ª®â®àë¬ ¢¥¤¥âáï ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥). ª¨¬ ®¡à §®¬ ®áâ ¥âáï ¢á¥£® I ; n + 1 ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¨¬¯ã«ìᮢ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï. ® íâ® ç¨á«® à ¢­® L:

⥮ਨ '4 ¢ ª ¦¤ãî ¢¥à設㠢室¨â ç¥âëॠ«¨­¨¨, â ª çâ® ¢á¥£® ¨¬¥¥âáï 4n «¨­¨©, ç áâì ¨å ­¨å ¢­ãâ७­¨¥, ç áâì { ¢­¥è­¨¥. ਠ¯®¤áç¥â¥ ç¨á« «¨­¨©

1 ªâ¨ç¥áª¨, ¬ë 㦥 ¤®¢®«ì­® ¯®¤à®¡­® à áᬠâਢ «¨ â ª¨¥ ¤¨ £à ¬¬ë ¯à¨ ®¡á㦤¥­¨¨ ⥮ਨ ªà¨â¨ç¥áª¨å¥­¨© ¢ ç¥âëà¥å¬¥à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥, £¤¥ ¯à®¡«¥¬ à á室¨¬®áâ¨à¥è « áì ¢¢¥¤¥­¨¥¬ ¥áâ¥á⢥­­®£® ¯ à ¬¥âà ®¡à¥§ ­¨ï , ¯®à浪 ®¡à â­®© ¯®áâ®ï­­®© à¥è¥âª¨.

®âªã¤ , ¢ ç áâ­®áâ¨, ¯®«ãç îâáï ¯à ¢¨«ì­ë¥ १ã«ìâ âë ¤«ï à áᬮâ७­ëå ¢ëè¥ ¯à®á⥩è¨å ¤¨ £à ¬¬. § (5.7) ¢¨¤­®, çâ® á⥯¥­ì à á室¨¬®á⨠㬥­ìè ¥âáï á à®á⮬ ç¨á« ¢­¥è­¨å «¨­¨© (¨ § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ­¥£®!) 2.

¥à­¥¬áï, ®¤­ ª®, ª ®¡á㦤¥­¨î ®¡é¥© ä®à¬ã«ë (5.6) ¨ à áᬮâਬ ¯®á«¥¤­¥¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ í⮬ ¢ëà ¦¥­¨¨. ᫨ ª®íää¨æ¨¥­â ¯à¨ n ¡®«ìè¥ ­ã«ï, â® á¨âã æ¨ï ¡¥§­ ¤¥¦­ { á⥯¥­ì à á室¨¬®á⨠D à áâ¥â á à®á⮬ n, â ª çâ® ¯®«­ ï ⥮à¨ï, ¯à®á㬬¨à®¢ ­­ ï ¯® ¢á¥¬ n ¡ã¤¥â ᮤ¥à¦ âì ¡¥áª®­¥ç­®¥ ç¨á«® ç«¥­®¢, ª ¦¤ë© ¨§ ª®â®àëå ᮤ¥à¦¨â à á室¨¬®áâì ¡®«¥¥ ¢ë᮪®© á⥯¥­¨, 祬 ¯à¥¤ë¤ã騩. â® ®§­ ç ¥â ­¥¯¥à¥­®à¬¨à㥬®áâì ⥮ਨ. ⥮ਨ '4 ¯а¨ d = 4 бв¥¯¥­м а б室¨¬®бв¨ § ¢¨б¨в в®«мª® ®в E ¨ ­¥ § ¢¨б¨в ®в ¯®ап¤ª в¥®а¨¨ ¢®§¬гй¥­¨©, в ª зв® ¬л ¨¬¥¥¬ ª®­¥з­®¥ з¨б«® в¨¯®¢ а б室¨¬®бв¥© ¨ ¬®¦­® ­ ¤¥пвмбп, зв® б®®в¢¥вбв¢гой¨¥ ¡¥бª®­¥з­л¥ ¢ª« ¤л ¬®¦­® ¨бª«оз¨вм б ¯®¬®ймо ª®­¥з­®£® з¨б« (¡¥бª®­¥з­ле) ¯¥а¥­®а¬¨а®¢®ª б®®в¢¥вбв¢гой¨е д¨§¨з¥бª¨е ¢¥«¨з¨­ (¯¥а¥­®а¬¨аг¥¬ п в¥®а¨п).®­¥з­®¥ з¨б«® в¨¯®¢ а б室¨¬®бв¥© { ­¥®¡е®¤¨¬®¥ гб«®¢¨¥ ¯¥а¥­®а¬¨аг¥¬®бв¨.

®«¥§­® à áᬮâà¥âì ­ «®£¨ç­ë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï á«ãç ï ⥮ਨ á ¢§ ¨¬®¤¥©-

¥à­¥¬áï, ®¤­ ª®, ª (5.7) ¨ ®¡á㤨¬ ¢®¯à®á ® á室¨¬®á⨠¨«¨ à á室¨¬®á⨠£à - 䨪®¢ á E > 4. ⥮ਨ '4 ç¨á«® E ¢á¥£¤ ç¥â­®. áᬮâਬ, ¤«ï ¯à¨¬¥à , £à - 䨪¨, ¯®ª § ­­ë¥ ­ ¨á.5-3. ¤¥áì E = 6, â ª çâ® ¯® ªà¨â¥à¨î (5.7) ®­¨ ¤®«¦­ë, ¢à®¤¥ - ¡ë, á室¨âìáï. â® ¢¥à­® ¤«ï £à 䨪 ¨á.5-3( ), ­® § ¢¥¤®¬® ­¥¢¥à­® ¤«ï

2 ®¦¥â ¯®ª § âìáï, çâ® ¢®®¡é¥ ¢á¥ ¤¨ £à ¬¬ë á ç¨á«®¬ ¢­¥è­¨å ª®­æ®¢, ¡®«ì訬 4, á室ïâáï.

¯à¨¬¥à, ¤«ï E = 6 ¨¬¥¥¬ D = ;2. â®, ª ª ¬ë 㢨¤¨¬, ­¥¢¥à­®.

3 в в¥®а¨п, ®¤­ ª®, ­¥е®а®и , ¯®бª®«мªг ¢ ­¥© ®вбгвбв¢г¥в гбв®©з¨¢®¥ ®б­®¢­®¥ б®бв®п­¨¥.

¨á. 5-3

(¡) ¨ (¢), ¯®áª®«ìªã ®­¨ ᮤ¥à¦ â \áªàëâë¥" à á室¨¬®á⨠®â 㦥 à áᬮâ७­ëå ­ ¬¨ ¯¥â¥«ì. ¬¥­­® ¯®íâ®¬ã ¬ë ¨ ­ §¢ «¨ D ãá«®¢­®© á⥯¥­ìî à á室¨¬®áâ¨. ã- é¥á⢥­­®, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® ®¡à â­®¥ ã⢥ত¥­¨¥: ¤¨ £à ¬¬ ¥©­¬ ­ á室¨âáï, ¥á«¨ ¥¥ á⥯¥­ì à á室¨¬®á⨠D, â ª¦¥ á⥯¥­¨ à á室¨¬®á⨠¢á¥å ¥¥ ¯®¤£à 䮢 ®âà¨æ ⥫ì­ë (⥮६ ©­¡¥à£ ).

¢¥ à áᬮâ७­ë¥ ¢ëè¥ à á室ï騥áï ¤¨ £à ¬¬ë ¨á.5-1 ¨ ¨á.5-2, ­ §ë¢ - îâáï ¯à¨¬¨â¨¢­® à á室ï騬¨áï ¤¨ £à ¬¬ ¬¨. ¬¨ ¨áç¥à¯ë¢ îâáï ¢á¥ ¯à¨¬¨- ⨢­® à á室ï騥áï ¤¨ £à ¬¬ë ⥮ਨ '4 (⨯ë à á室¨¬®á⥩).

­ «¨§ à §¬¥à­®á⥩.

®í⮬ã à §¬¥à­®áâì ª®­áâ ­âë á¢ï§¨ ¢ à §­ëå ⥮à¨ïå ¥áâì:

ç áâ­®áâ¨, ¤«ï d = 4 ¨¬¥¥¬ D = 4;E ;n . âáî¤ ïá­®, çâ® ­¥®¡å®¤¨¬ë¬ ãá«®- ¢¨¥¬ ¯¥à¥­®à¬¨à㥬®á⨠⥮ਨ ï¥âáï ãá«®¢¨¥ 0. ëè¥, ¤«ï ¯à®áâ®âë, ¬ë ¢á¥ ¢à¥¬ï £®¢®à¨«¨ ® ¡¥§à §¬¥à­®á⨠ª®­áâ ­âë á¢ï§¨ ( = 0), ª ª ® ­¥®¡å®¤¨¬®¬ ãá«®¢¨¨ ¯¥à¥­®à¬¨à㥬®áâ¨. (5.14) 㪠§ ­®, ª®£¤ íâ® ãá«®¢¨¥ ¢ë¯®«­ï¥âáï ¤«ï ¯à®á⥩è¨å ¬®¤¥«¥© ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. ¨¤¨¬, çâ® §¤¥áì áãé¥áâ¢ã¥â â ª¦¥ ¨ ¢¥áì¬ áãé¥á⢥­­ ï § ¢¨á¨¬®áâì ®â à §¬¥à­®á⨠¯à®áâà ­á⢠.

§ ª«î祭¨¥, ¯à¨¢¥¤¥¬ â ¡«¨æã \ª ­®­¨ç¥áª¨å" à §¬¥à­®á⥩ à §«¨ç­ëå ¬­®- £®â®ç¥ç­ëå ä㭪権 ਭ ¨ ¢¥à設­ëå ç á⥩ [8]:

§¬¥à­ ï ॣã«ïਧ æ¨ï ⥮ਨ '4.

«ï ⮣®, çâ®¡ë ¯à®¢¥á⨠­ «¨§ à á室¨¬®á⥩ 䥩­¬ ­®¢áª¨å £à 䨪®¢, ­¥®¡- 室¨¬® á­ ç « ­ ãç¨âìáï í⨠à á室¨¬®á⨠ª®à४⭮ ¢ë¤¥«ïâì. â® ¤®á⨣ ¥âáï ⥬ ¨«¨ ¨­ë¬ ¬¥â®¤®¬ ॣã«ïਧ 樨 䥩­¬ ­®¢áª¨å ¨­â¥£à «®¢. ëè¥ (­ ¯à¨- ¬¥à ¯à¨ ®¡á㦤¥­¨¨ à á室¨¬®á⥩ ¢ )4 ¬ë ¨á¯®«ì§®¢ «¨ ¯à®á⥩訩 ¬¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨, ®á­®¢ ­­ë© ­ ¢¢¥¤¥­¨¨ ¯ à ¬¥âà ®¡à¥§ ­¨ï ­ ¢¥àå­¥¬ ¯à¥- ¤¥«¥. â®â ¬¥â®¤ ® ­ àãè ¥â ५ï⨢¨áâáªãî ¨­¢ ਠ­â­®áâì, ¯®áª®«ìªã ®­ íª¢¨¢ «¥­â¥­ ¢¢¥¤¥­¨î \¬¨­¨¬ «ì­®© ¤«¨­ë". ãé¥áâ¢ã¥â ¡®«¥¥ ᮢ६¥­­ë© ¨ í«¥£ ­â­ë© ¯®¤å®¤, ­ §ë¢ ¥¬ë© à §¬¥à­®© ॣã«ïਧ 樥© (â' ®®äâ ¨ ¥«ì⬠­), ª ¨§«®¦¥­¨î ª®â®à®£® ¬ë ᥩç á ¨ ¯¥à¥å®¤¨¬. ¤¥ï í⮣® ¬¥â®¤ , ¡«¨§ª ï, ¯® áãé¥áâ¢ã, ª ¬¥â®¤¨ª¥ à áᬮâ७¨ï ªà¨â¨ç¥áª¨å ¥­¨© ¢ ¯à®áâà ­á⢥ á à §- ¬¥à­®áâìî d = 4 ; " ( ¨«ìá®­), á®á⮨⠢ ⮬, ç⮡ë à áᬠâਢ âì ¨­â¥£à «ë, ᮤ¥à¦ 騥 à á室¨¬®áâ¨, ª ª ¨­â¥£à «ë ¢ ¯à®áâà ­á⢥ á ¯à®¨§¢®«ì­®© d < 4,

4 « ¢ 8, ç á⨠I.