Файл: Маркова Вычислит методы алгебры Практикум.doc

П 4.4 Метод Якоби для нахождения собственных значений и собственных векторов

Итерационный метод вращения (метод Якоби) решает полную проблему нахождения собственных значений и собственных векторов вещественной симметрической матрицы без использования характеристического уравнения.

Вычисление всех собственных значений и собственных векторов можно свести к отысканию такой ортогональной матрицы Т, для которой произведение представляет диагональную матрицу, причем столбцы матрицыТ будут являться соответствующими собственными векторами матрицы А. Матрица Т находится как предел бесконечного произведения элементарных матриц вращений, каждая из которых имеет вид [20]:

Если необходимо обратить в нуль элемент a_ik матрицы А, то cosφ и sinφ нужно выбрать по формулам

(1)

где

Тогда получим матрицу с измененнымиi-м и k-м столбцами и строками:

(2)

Отметим, что выполняется соотношение =, т.е. сумма квадратов диагональных элементов увеличивается. Элементы, которые однажды обратились в нуль, при последующих шагах снова могут стать ненулевыми. Если на каждом шаге данного преобразования подобия брать максимальный по модулю наддиагональный элемент преобразуемой матрицы, то в пределе получится диагональная матрица. Исследование сходимости является сложным вопросом и в данном пункте не рассматривается.

Заметим, что по мере того, как А_m при m→∞ превращается в диагональную матрицу, на диагонали которой стоят собственные значения в некоторой последовательности, зависящей от выбранных вначале пар i, k, в столбцах матрицы появляются стоящие в соответствующей последовательности нормированные собственные векторы.

В качестве критерия окончания итерационного процесса используется условие малости суммы квадратов внедиагональных элементов [10].

Пример 1. Используя метод Якоби, найти собственные значения и векторы матрицы с точностью

.

Решение:

Выберем максимальный по модулю наддиагональный элемент матрицы А.

Пусть (i, k) = (1, 4), . По формулам (1) вычислимc и s:

c = 0,7245; s = 0,6892. Тогда матрица вращения будет иметь вид:

.

Матрица , вычисленная, согласно, будет иметь вид:

.

Первая итерация завершена.

Выберем максимальный по модулю наддиагональный элемент матрицы . Пусть (i, k) = (2, 3), . Проверим условие окончания итерационного процесса

,

следовательно, процесс необходимо продолжить. По формулам (1) вычислим c и s: c = 0,7733; s = 0,643. Тогда матрица вращения будет иметь вид:

.

Матрица , вычисленная, согласно, будет иметь вид:

.

Вторая итерация завершена.

Выберем максимальный по модулю наддиагональный элемент матрицы . Пусть(i, k) = (1, 2), . Условие окончания итерационного процесса не выполняется, переходим к следующей итерации. По формулам (1) вычислимc и s: c = 0,7989; s = 0,6015. Тогда матрица вращения будет иметь вид:

.

Матрица , вычисленная, согласно, будет иметь вид:

.

Продолжаем итерационный процесс до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность наддиагональных элементов.

На двенадцатой итерации имеем:

.

Так как сумма квадратов наддиагональных элементов меньше , то процесс завершается.

На главной диагонали матрицы находятся собственные значения матрицыА:

Столбцы матрицы являются собственными векторами матрицыА

.

, .

Лабораторная работа № 16

Цель: изучить метод Якоби для нахождения собственных значений и собственных векторов.

Задание

1. В классе «JacobiMatrix» («Матрица Якоби»), который наследуется от класса «SquareMatrix» («Квадратная матрица»), сформируйте матрицу вращения.

2. В классе «Полная проблема нахождения собственных значений» («CompleteProblem») реализуйте метод Якоби («jacobiMethod») для нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы.

Для реализации метода используйте объекты матричных классов «SquareMatrix» и «JacobiMatrix». Для выполнения основных матричных операций (перемножение матриц, транспонирование) используйте методы, реализованные в классе «SquareMatrix».

3. Используя метод Якоби, найдите собственные значения и собственные векторы матрицы в соответствии с вариантом.

4. Решите ту же задачу, используя пакет для математических вычислений.

5. Сравните результат выполнения п. 3 с решением, полученным в п. 4.

Варианты заданий

П р и л о ж е н и я Приложение 1 Основные сведения о матрицах

• Квадратной матрицей размера называется совокупностьчисел, расположенных в виде квадратной таблицы, содержащейстрок истолбцов.

.

• Главная диагональ – это часть матрицы, состоящая из элементов .

• Побочная диагональ – это часть матрицы, состоящая из элементов .

• Квадратная матрица называется диагональной, если при.

.

• Верхняя треугольная матрица – все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю.

.

• Нижняя треугольная матрица – все элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю.

.

• Трехдиагональная матрица – матрица, у которой все ненулевые элементы располагаются на трех диагоналях: главной, первой сверху и первой снизу.

.

• Ленточная – квадратная матрица, все ненулевые элементы которой примыкают к главной диагонали.

.

• Единичная матрица – эта матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а остальные элементы равны нулю.