Файл: Маркова Вычислит методы алгебры Практикум.doc

1. Дополните класс «Квадратная матрица» («SquareMatrix») методами «determinant» (определитель матрицы) и «inverseMatrix» (обратная матрица). Для нахождения определителя и обратной матрицы используйте LDU и LU-разложение соответственно.

2. Найдите определитель матрицы () в соответствии с вариантом.

3. Обратите матрицу () в соответствии с вариантом.

4. Решите те же задачи, используя пакет для математических вычислений.

5. Сравните результат выполнения п. 2 и п. 3 с решением, полученным в п. 4.

Варианты заданий

№ 1	№ 2
№ 3	№ 4
№ 5	№ 6
№ 7	№ 8
№ 9	№ 10
№ 11	№ 12
№ 13	№ 14
№ 15	№ 16

П 3.6 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом прогонки

Рассмотрим метод прогонки. Этот метод применим в случае, когда матрица системы является трехдиагональной.

Имеем систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей:

(1)

Достаточным условием устойчивости метода прогонки является условие преобладания диагональных элементов в матрице А, в которой :

причем строгое неравенство имеет место хотя бы при одном i [7; 8].

Решение системы будем искать в виде [4; 18]

, (2)

где  прогоночные коэффициенты.

Для их определения выразим из первого уравнения системы (1) х₁ через х₂, получим:

, (3)

откуда . (4)

Из второго уравнения системы (1) с помощью (3) выразим через , получим:

откуда . (5)

Продолжая этот процесс, получим из i-го уравнения системы (1)

, i = 1, 2, …, n–1. (6)

следовательно =, =, i = 2, …, n (7)

Таким образом, прямой ход метода прогонки по определению прогоночных коэффициентов завершен. Коэффициенты находятся по формулам (4), (7).

Обратный ход прогонки состоит в нахождении неизвестных

(8)

и далее, используя формулу (2) и значения прогоночных коэффициентов (4) , (7), последовательно вычисляем все неизвестные .

Рассмотренный метод (4), (7), (8) называется правой прогонкой. В этом случае определение неизвестных происходит в направлении убывания индексов.

Аналогично, начиная с последнего уравнения СЛАУ (1), можно вывести формулы левой прогонки (9) – (12). В этом алгоритме значение неизвестных находятся в направлении возрастания индексов [4; 19].

, (9)

, , (10)

(11)

, (12)

Пример 1. Решить систему уравнений методом прогонки:

Решение:

Представим систему в матричном виде

Прямой ход. Вычисляем прогоночные коэффициенты:

Обратный ход. Вычисляем неизвестные x_i:

Лабораторная работа № 9

Цель: изучить метод прогонки для решения системы линейных алгебраических уравнений.

Задание

1. В классе «Алгоритмы решения СЛАУ, не использующие факторизацию» («DirectMethodsNF») реализуйте метод прогонки («sweepMethod»). В методе прогонки матрица системы представляет собой объект класса «ThreeDiagonalMatrix», а прогоночные коэффициенты – объекты класса «Vector». Для работы с матричными объектами используйте методы, реализованные в данных классах.

2. Решите систему линейных алгебраических уравнений методом прогонки () в соответствии с вариантом.