Файл: Маркова Вычислит методы алгебры Практикум.doc

называют методом простых итераций. Вектор начального приближения выбирается произвольно. В качестве начального приближения вектора неизвестных можно также принимать вектор правых частей: , т.е. .

В качестве критерия сходимости метода простых итераций имеет место следующее утверждение [20]:

Для того чтобы метод простой итерации сходился при любом начальном приближении , необходимо и достаточно, чтобы , где  все собственные значения матрицы В. Метод будет сходиться также в случае

, (6)

так как , где  первая или вторая норма матрицы.

Таким образом выбор матрицы В для системы (5) метода простой итерации должен подчиняться требованиям сходимости и не может быть совсем произвольным.

Если матрица А имеет диагональное преобладание, т.е. ее элементы удовлетворяют неравенствам

(7)

то в качестве матрицы В можно задать матрицу с элементами

(8)

В этом случае систему (1) в эквивалентном виде (3) можно записать следующим образом:

(9)

т.е.

Описанная модификация метода простой итерации, связанная с делением уравнений на диагональные элементы матрицы системы, называется методом Якоби [10].

Если ,то для метода простых итераций известна оценка погрешности [18]:

, (10)

где  точное решение.

Выход из итерационного процесса осуществляется по результатам выполнения неравенства

, (11)

где  заданная точность, которую необходимо достигнуть при решении исходной задачи и . Заменив (11) более простым условием и используя понятие первой нормы вектора, получим условие прерывания итерационного процесса в виде

.(12)

Пример 1. Методом простых итераций решить систему линейных уравнений с точностью , приведя ее к виду, удобному для итераций.

Решение:

Очевидно, что матрица этой системы не удовлетворяет условиям диагонального преобладания. Переставим уравнения местами так, чтобы выполнялось условие преобладания диагональных элементов.

Преобразуем эту систему к эквивалентному виду (5). Для этого выразим из первого уравнения , из второго , из третьего , получаем

Имеем

, .

Заметим, что , следовательно, условие сходимости выполнено.

Зададим вектор начального приближения .

Выполним расчеты по формуле (6)

На первой итерации имеем систему

Условие окончания итерационного процесса не выполняется, значит продолжаем процесс. На второй итерации получаем систему

Условие окончания итерационного процесса не выполняется, продолжаем итерировать до требуемой точности.

На пятой итерации требуемая точность достигнута

Пример 2. Описать алгоритм метода простой итерации на языке программирования С++.

При описании алгоритма используются объекты и методы классов «SquareMatrix», «Vector».

void IterationMethods :: simpleIterationMethod(SquareMatrix A, Vector f, double tochnost){

/* Создание вспомогательной матрицы В, векторов g, x1 и вектора решений x */

SquareMatrix B = SquareMatrix(A.getRowCount());

Vector g = Vector(A.getColCount());

Vector x = Vector(A.getColCount());

Vector x1 = Vector(A.getColCount());

/* Получение канонического вида системы: X = BX + g, т.е. матрицы В и g */

for (int i = 0; i < A.getRowCount(); i++){

for (int j = 0; j < A.getColCount(); j++){

if ( i == j){

B.setElement(i, j, 0);

}

if (i != j){

B.setElement(i,j,-A.getElement(i,j)/A.getElement(i, i));

}

g.setElement(i, f.getElement(i)/A.getElement(i, i));

}

/* Построение итерационной последовательности и вычисление значения вектора на текущей итерации по формуле X(k+1) = BX(k) + g */

.................................................

/*Вывод вектора решений*/

}

Данный алгоритм основан на матричном представлении метода простой итерации. Однако можно обойтись без построения матрицы В и вектора g, воспользовавшись непосредственно формулами (10) для описания итерационного процесса. Это позволит сэкономить вычислительные ресурсы.

Лабораторная работа № 10

Цель: изучить метод простых итераций решения систем линейных алгебраических уравнений.

Задание

1. В классе «Итерационные методы решения СЛАУ» («IterationMethods») реализуйте метод простых итераций («simpleIterationMethod»). Для реализации методов используйте объекты и методы матричных классов «SquareMatrix», «Vector».

2. Решите систему линейных алгебраических уравнений методом простых итераций () в соответствии с вариантом.