Файл: Маркова Вычислит методы алгебры Практикум.doc

.

• Расширенная матрица – это матрица, полученная «склеиванием» двух матриц, как правило, для осуществления одних и тех же элементарных преобразований со строками сразу в двух матрицах. Например, для матриц ,расширенная матрица будет выглядеть следующим образом:

.

• Суммой матриц A и B называется матрица C такая, что элемент .

• Матрица называетсяпроизведением матриц A и B, если элемент

. (1)

Причем умножение матриц не является коммутативным, т.е. (за исключением умножения на единичную матрицу:). Поэтому длябудет справедлива формула:

. (2)

Данные формулы (1) и (2) будут называться соответственно левостороннее и правостороннее произведение матриц.

• Вектор – это матрица, состоящая из одного столбца (вектор- столбец), т.е. ..

• При умножении матрицы A на вектор X мы получим некоторый вектор , элементы которого вычисляются по формуле:.

• Квадратные матрицы А и В одинакового порядка называются подобными, если существует невырожденная матрица P такого же порядка, такая что .

• Матрицей, обратной данной матрице A, называется матрица такая, что произведениеA на равняется единичной матрице.

• Ортогональной называют такую квадратную матрицу A, для которой выполняется равенство .

• Невырожденной называют квадратную матрицу А, определитель которой не равен 0.

• Квадратная матрица называется симметрической, если для любыхi, j, т.е. ее элементы расположены симметрично относительно главной диагонали.

• Транспонированная матрица – матрица , полученная из исходной матрицыА заменой строк на столбцы:

.

• Признаки положительной определенности матрицы

1. Критерий Сильвестра. Чтобы матрица А была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ее главные миноры были положительны.

2. Достаточное условие. Диагональное преобладание, т.е. свойство влечет положительную определенность матрицы.

• Нормой вектора Х называется поставленное в соответствие этому вектору неотрицательное число , удовлетворяющее аксиомам:

1. Положительная определенность, т.е. для любого ненулевого вектора его норма больше нуля и равна нулю только для ноль вектора

2. Однородность

3. 

Существует несколько способов введения нормы вектора. Наиболее употребительными являются следующие:

1. первая (кубическая) ;

2. вторая (октаэдрическая) ;

3. третья (сферическая) .

• Нормой матрицы А называется поставленное этой матрице в соответствие неотрицательное число такое, что

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Здесь Н – линейное пространство квадратных матриц n-го порядка.

Норма матрицы, как и норма вектора, может быть определена по-разному.

1. первая ;

2. вторая ;

3. , где   наибольшее собственное значение матрицы .

• Если для любой матрицы А и любого вектора Х выполняется неравенство то говорят, что норма матрицы согласована с данной нормой вектора.

• Нормой матрицы А, подчиненной данной норме вектора, называется число  верхняя грань (т.е. максимальное число) множество норм такого вида.

• Собственным значением квадратной матрицы А n-го порядка

называется такое число λ, при котором для некоторого ненулевого вектора имеет место равенство

АХ= λХ.

Любой ненулевой вектор X, удовлетворяющий этому равенству, называется собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному значению λ.

• Матрица называется характеристической матрицей данной матрицыА.

• Уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А, а полином  характеристическим полиномом.

• Совокупность всех собственных значений λ₁, λ₂, …, λ_n матрицы А называется спектром этой матрицы.

• Спектральным радиусом (А) матрицы Аназывается максимум из модулей собственных значений этой матрицы.

• Собственные значения треугольной матрицы равны ее диагональным элементам.

.

Приложение 2

Функции MathCad

Для контроля вычислений можно использовать стандартные функции пакета MathCad:

eigenvals (A) – возвращает вектор из собственных значений матрицы A.

eigenvec (A, λ) – нормированный собственный вектор матрицы A, соответсвующий ее собственному значению λ.

eigenvecs (A) – возвращает матрицу, чьими столбцами являются собственные векторы матрицы A. Порядок расположения собственных векторов соответсвует порядку собственных значений, возвращаемых функцией eigenvals.

max(A), min(A) – вычисление максимального и минимального элементов матрицы или вектора.

norm1(A) – возвращает первую норму матрицы или вектора.

norm2(A) – возвращает вторую норму матрицы или вектора.

norme(A) – возвращает третью норму матрицы или вектора.

Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующее:

• Задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений, так как Mathcad решает систему с помощью итерационных методов.

• Оформить блок решения системы с помощью ключевого слова Given. Оно указывает Mathcad, что далее следует система уравнений. 

• Записать систему уравнений. Для печати символа = необходимо использовать комбинацию клавиш [Ctrl]+[ =] .

• Для решения системы вызвать функцию Find или Minerr.

Find(x1,x2,…,xn), Minerr(x1,x2,…,xn) – возвращает решение системы уравнений в виде вектора. В качестве аргументов указываются имена искомых неизвестных. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.

Функция Minerr использует тот же самый алгоритм, что и функция Find. Различие состоит в следующем: если в результате поиска решения не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Minerr возвращает это приближение, а функция Find возвращает в этом случае сообщение об ошибке “решение не найдено”. 

Л и т е р а т у р а

1. Архангельский А.Я. С++ Builder 6: справоч. пособие. – М.: Бином-Пресс, 2002.  Кн. 1. Язык С++. – 564 с.

2. Архангельский А.Я. С++ Builder 6: справоч. пособие. – М.: Бином-Пресс, 2002.  Кн. 2. Классы и компоненты. – 528 с.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином, 2004. – 636 с.

4. Бахвалов Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях: учеб. пособие.  М.: Высшая школа (Высшая математика), 2000.  190 с.

5. Икрамов Х.Д. Нессиметричная проблема собственных значений. Численные методы.  М.: Наука, 1991. – 240 с.

6. Исаков В.Н. Элементы численных методов. – М.: Изд. Центр «Академия», 2003.

7. Калиткин Н.Н. Численные методы: учеб. пособие. – М.: Наука, 1978. – 512 с.

8. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах: учеб. пособие.  М.: «Высшая школа», 2006. – 480 с.

9. Костомаров Д.П., Фаворский А.П. Программирование и численные методы. – М.: МГУ, 2004.

10. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы высшей математики: учеб. пособие. – Минск: Вышэйшая школа, 1972. – 585 с.

11. Маркова Л.В., Адаменко Н.Д., Казанцева О.Г., Корчевская Е.А. Формирование профессиональных компетенций у студентов специальности «Прикладная математика» // Вестн. Витебск. гос. ун-та.  2012.  № 1(67). – С. 116121.

12. Маркова Л.В., Корчевская Е.А. Обучение вычислительной математике. Современные аспекты // Инновационные технологии обучения физико-математическим дисциплинам: материалы междунар. науч.-практ. интернет-конф., посвященной 60-летию доктора физико-математических наук, профессора Н.Т. Воробьева, Витебск, 21–22 июня 2011 г.  Витебск, 2011. – С. 128–129.

13. Маркова Л.В., Корчевская Е.А., Красоткина А.Н. Объектная реализация методов вычислительной алгебры // Вестн. Витебск. гос. ун-та.  2013.  № 2(74). – С. 1822.

14. Марчук П.И. Методы вычислительной математики.  М.: Наука, 1989. – 608 с.

15. Павловская Т.А. С/С++. Программирование на языке высокого уровня: учебник для вузов.  СПб.: Питер, 2003. – 461 с.

16. Рыжиков Ю.И. Вычислительные методы. – СПб.: БХВ-Петербург, 2007.

17. Ращиков В.И., Рошаль А.С. Численные методы решения физических задач. – СПб.: «Лань», 2005.

18. Самарский А.А. Введение в численные методы.  М.: Наука, 1983. – 272 с.

19. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы.  М.: Наука, 1989. – 432 с.

20. Сборник задач по методам вычислений: учеб. пособие для студ. учреждений, обеспечивающих получение высш. образования по физико-математическим спец. / под ред. П.И. Монастырного.  Минск: Изд. центр БГУ, 2007.  376 с.

21. Семенов В.А., Тарлапан О.А. Объектно-ориентированный подход к программированию прямых методов линейной алгебры // Вопросы кибернетики. Приложения системного программирования / под ред. В.П. Иванникова. – М.: Науч. совет по комплексной проблеме «Кибернетика» РАН, 1996.  Вып. 2. – С. 147170.

22. Турчак Л.И. Основы численных методов: учеб. пособие для студ. вузов.  2-е изд., перераб. и доп.  М.: Физматлит, 2002.  300 с.

23. Устинов С.М., Зимницкий В.А. Вычислительная математика. – СПб.: БХВ-Петербург, 2009.

24. Формалев В.Ф., Ревезников Д.Л. Численные методы.  М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 400 с.