Файл: Маркова Вычислит методы алгебры Практикум.doc

Анализ ошибок (или, как говорят чаще, погрешностей) является неотъемлемой частью процесса решения прикладной задачи. Часть этих погрешностей связана с вычислениями, которые в наше время производятся на ЭВМ. С увеличением скорости производства вычислений и с вовлечением в счетный процесс чисел с большим количеством значащих цифр, как это делается в ЭВМ, потребность в оценке фактической точности результата лишь возрастает. При этом следует правильно рассматривать сам термин «ошибка», который в данном случае выражает объективно неизбежную погрешность, сопровождающую процесс решения задачи, начиная с измерения исходных значений. Задача анализа ошибок сводится, по существу, к отысканию их надежных границ и соблюдению условий, обеспечивающих их минимальное распространение.

Возникновение, накопление и распространение ошибок проходят через все стадии решения прикладной задачи, начиная с получения значений исходных данных.

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами:

математическое описание задачи является неточным, т.к. при описании модели всегда присутствуют определенные ограничения;
неточность задания исходных данных модели. Исходные данные чаще всего известны приближенно, что связано с неточностью измерения числовых параметров различными приборами;

3) метод, применяемый для решения задачи, как правило, является приближенным. Получение точного решения исходной математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, поэтому вместо точного решения задачи приходится прибегать к приближенному;

4) действия над приближенными числами, а также обязательное округление, связанное с двоичным представлением чисел и конечностью разрядной сетки ЭВМ, вносят дополнительную погрешность.

Погрешности, соответствующие этим причинам, называют:

1) погрешностью математической модели;

2) погрешностью исходных данных (неустранимая погрешность);

3) погрешностью метода;

4) вычислительной погрешностью.

П 1.2 Вычисление абсолютной и относительной погрешностей

Пусть X – точное значение некоторой величины, а х – наилучшее из известных приближений. В этом случае ошибка (или погрешность) приближения х определяется разностью Х – х. Обычно знак этой ошибки не имеет решающего значения, поэтому рассматривают абсолютную величину ошибки:

. (1)

Величина , называемая абсолютной погрешностью приближенного значения х, в большинстве случаев остается неизвестной, так как для ее вычисления нужно знать точное значение X. На практике обычно удается установить верхнюю границу абсолютной погрешности, т.е. такое число , для которого справедливо неравенство

. (2)

Число называютпредельной абсолютной погрешностью (или границей абсолютной погрешности) приближения х.

Таким образом, предельная абсолютная погрешность приближенного числа х – это всякое число , не меньшее абсолютной погрешности этого числа.

По абсолютной погрешности нельзя в полной мере судить о точности измерений или вычислений. Качество приближения измеряется с помощью относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки к модулю значения X (когда оно неизвестно, то к модулю приближения х).

Предельной относительной погрешностью (или границей относительной погрешности) приближенного числа называется отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютному значению приближения х:

. (3)

Формула (3) позволяет при необходимости выражать абсолютную погрешность через относительную:

. (4)

Относительную погрешность выражают обычно в процентах, и тогда она умножается на 100.

Неравенство (2) позволяет установить приближения к точному значению X по недостатку и избытку [4]:

, (5)

которые могут рассматриваться как одна из возможных пар значений соответственно нижней границы (НГ) и верхней границы (ВГ) приближения х:

. (6)

Пример 1. Найти абсолютную и относительную погрешности числа , заданного тремя цифрами после запятой, т.е..

Тогда абсолютную погрешность рассчитаем по формуле (1) .

Предельной абсолютной погрешностью будет верхняя граница абсолютной погрешности (2), т.е. .

Вычислим предельную относительную погрешность по формуле (3) .

Тогда можем записать ;.

В дальнейшем рассматриваются только предельные погрешности, поэтому слово «предельная» будет опускаться.

П 1.3 Округление чисел

Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Пример 1. У чисел а = 0,03045, а = 0,03045000 значащими цифрами являются подчеркнутые цифры. Число значащих цифр в первом случае равно 4, во втором – 7.

Цифра числа называется верной (в широком смысле), если абсолютная погрешность этого числа не превосходит единицы разряда, в котором стоит эта цифра.

Цифра числа называется верной (в строгом смысле), если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит эта цифра.

Излишне сохраненные цифры, помимо верных, называются сомнительными.

Вычислить приближенное число с точностью означает, что необходимо сохранить верной значащую цифру, стоящую вn-м разряде после запятой.

В приближённых вычислениях часто приходится округлять как точные, так и приближённые числа. Округлением числа называют замену его близким по величине, но с меньшим количеством значащих цифр. Округление числа производят путем отбрасывания одной или нескольких последних цифр в десятичном представлении числа.

При округлении соблюдают следующие правила.

Если первая из отброшенных цифр больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляется единица.
Если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняются без изменения.
Если первая из отброшенных цифр равна 5, а среди остальных отброшенных цифр есть ненулевые, то к последней оставшейся цифре прибавляется единица.
Если первая из отброшенных цифр равна 5 и остальные отброшенные цифры нулевые, то последняя оставшаяся цифра не изменяется, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная.

Во многих практических задачах пользуются упрощёнными правилами округления, согласно которым цифра, если за ней стоят цифры 0, 1, 2, 3, 4, при округлении не изменяется и увеличивается на 1 в противоположном случае.

Также различают округление к большему (с избытком) и к меньшему (с недостатком).

Погрешности округления в ЭВМ числа x, обусловленные конечностью разрядной сетки, могут быть вычислены по формуле: