Файл: Маркова Вычислит методы алгебры Практикум.doc

.

Величина будет минимальной, если положить

.

Величина неизвестна, так как неизвестно точное решение . Однако надо учесть, что погрешность и невязка связаны равенством, следовательно, вычисление можно проводить по формуле

. (6)

Таким образом, в методе скорейшего спуска переход от k-ой итерации к (k+1)-ой осуществляется следующим образом: по найденному значению вычисляется вектор невязки (3) и по формуле (6) находится параметр, затем по формуле (5) вычисляется вектор приближенного решения . Вектор начального приближения выбирается произвольно.

Для погрешности метода скорейшего спуска справедлива оценка [19].

где .

Пример 1. Методом скорейшего спуска решить систему линейных алгебраических уравнений AX = f, где

, .

Решение:

Выберем начальное приближение .

Рассчитаем вектор невязки по формуле .

Получим .

Вычислим ,

Приближение вычислим по формуле: , имеем .

Вычислим вектор невязки по формуле , получим .

Продолжаем итерации. Имеем ,

Приближение находим по формуле :, получим .

Найдем вектор невязки по формуле , имеем .

Вычислим ,

Приближение вычислим по формуле:, получим .

Данный итерационный процесс можно продолжать до получения решения с требуемой точностью.

Пример 2. В рамках метода скорейшего спуска реализовать нахождение скалярного произведения векторов.

Данный метод описан в классе «Vector». Реализация на языке программирования С++ может иметь следующий вид:

double Vector :: mul(Vector r) {

double result = 0;

for (int i=0; i< this.getColCount ; i++)

{

result += this.elements[i] * r.elements[i];

}

return result;

}

Лабораторная работа № 12

Цель: изучить метод скорейшего спуска решения систем линейных алгебраических уравнений.

Задание

1. В классе «Итерационные методы решения СЛАУ» («IterationMethods») реализуйте метод скорейшего спуска («methodSkorSpusk»). Для реализации метода используйте объекты класса «SquareMatrix» и «Vector». Для перемножения матрицы и вектора, для нахождения скалярного произведения векторов используйте методы, реализованные в данных классах. Доступ к элементам осуществляйте с помощью методов getElement и setElement.

2. Решите систему линейных алгебраических уравнений методом скорейшего спуска () в соответствии с вариантом.

3. Решите эту же задачу, используя пакет для математических вычислений.

4. Сравните результат выполнения п. 2 с решением, полученным в п. 3.

Варианты заданий

Глава 4 вычисление собственных значений и собственных векторов матриц

Пусть А  действительная числовая квадратная матрица размера (n*n).

Ненулевой вектор , удовлетворяющий условию

, (1)

называется собственным вектором матрицы А.

Число  в равенстве (1) называется собственным значением. Говорят, что собственный вектор X соответствует (принадлежит) собственному значению .

Равенство (1) равносильно однородной относительно X системе:

. (2)

Система (2) имеет ненулевое решение для вектора X (при известном ) при условии . Это равенство есть характеристическое уравнение:

, (3)

где  характеристический многочлен n-й степени.

Корни характеристического уравнения (3) являются собственными (характеристическими) значениями матрицыА, а соответствующие каждому собственному значению , ненулевые векторы, удовлетворяющие системе

или , (4)

являются собственными векторами.

Требуется найти собственные значения и собственные векторы заданной матрицы. Поставленная задача часто именуется второй задачей линейной алгебры [7].

Проблема собственных значений (частот) возникает при анализе поведения мостов, зданий, летательных аппаратов и других конструкций, характеризующихся малыми смещениями от положения равновесия, а также при анализе устойчивости численных схем. Характеристическое уравнение вместе с его собственными значениями и собственными векторами является основным в теории механических или электрических колебаний на макроскопическом или микроскопическом уровнях.