Файл: Маркова Вычислит методы алгебры Практикум.doc

Корни этого уравнения являются собственными значениями матрицы Ф, а следовательно матрицы А. Решаем уравнение, получаем

.

Найдем собственные векторы матрицы А.

Собственные векторы матриц Ф и А, принадлежащие одним и тем же собственным значениям, будут различны, но между ними существует связь [10].

Если Х – собственный вектор матрицы А, принадлежащий собственному значению , а вектор Y – собственный вектор матрицы Фробениуса , принадлежащий тому же собственному значениюλ, то вектор SY также будет собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному значению , т.е. X = SY.

Действительно, так как ФY = Y и , то следовательно .

Умножая это равенство слева на матрицу S, получаем ,учитывая, что , имеем

X = SY. (6)

Итак, собственные векторы матрицы А легко определить по соответствующим собственным векторам матрицы Ф.

Найдем собственные векторы матрицы Ф. Имеем ФY=Y 

.

Отсюда получаем систему

. (7)

Так как собственный вектор матрицы определен с точностью до постоянного множителя, то полагаем .

Тогда из предыдущих равенств системы можно последовательно найти остальные координаты вектора Y

. (8)

Равенство можно использовать для контроля вычислений.

Собственный вектор , соответствующий числу, определяется равенством:

, (9)

где  собственный вектор матрицы Фробениуса, соответствующий собственному значению _i.

Отдельные координаты вектора находим из равенства (9), в предположении, что .

Пример 2. Найти собственные векторы матрицы из предыдущего примера.

Решение:

Матрица Фробениуса построена

.

Собственные значения найдены

.

Найдем собственные вектора матрицы А.

Матрица подобия имеет вид

.

Собственные векторы матрицы Фробениуса:

, ,

, .

Собственные векторы матрицы А

, ,

, .

Пример 3. В рамках метода Данилевского реализовать операцию перемножения матриц.

Данный метод описан в матричном классе «SquareMatrix».

Реализация на языке программирования С++ может иметь следующий вид:

SquareMatrix SquareMatrix :: operator *(SquareMatrix B){

int n = this->size;

int m = B.getColCount();

/* Объявление результирующей матрицы*/

double **C = new double*[n];

for (int i=0; i < n; i++){

C[i] = new double[m];

}

/* Вычисление произведения матриц*/

for (int i = 0; i < n; i++){

for (int j = 0; j < m; j++){

for (int k = 0; k < n; k++){

C[i][j]+=this->elements[i][k]*B.elements[k][j];

}

}

}

/* Создание матрицы*/

return SquareMatrix(n, C);

};

Лабораторная работа № 13

Цель: изучить метод Данилевского для нахождения собственных значений и собственных векторов.

Задание

1. В классе «FrobeniusMatrix» («Матрица Фробениуса»), который наследуется от класса «SquareMatrix» («Квадратная матрица»), сформируйте матрицу Фробениуса.

2. В классе «DirectMethodsE» («Прямые методы нахождения собственных значений») реализуйте метод Данилевского («danilevskyMethod») для нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы.

Для реализации метода используйте объекты матричных классов «FrobeniusMatrix», «SquareMatrix» и «Vector». Для выполнения основных матричных операций (перемножение матриц, умножение матрицы на вектор) используйте методы, реализованные в матричном классе «SquareMatrix».

3. Методом Данилевского найдите собственные значения и собственные векторы матрицы в соответствии с вариантом.

4. Решите ту же задачу, используя пакет для математических вычислений.

5. Сравните результат выполнения п. 3 с решением, полученным в п. 4.

Варианты заданий

П 4.2 Итерационный степенной метод нахождения наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора

Рассмотрим степенной метод нахождения наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора [10].

Рассмотрим вещественную квадратную матрицу

.

Пусть – ее собственные значения, а – собственные вектора, соответствующие этим собственным значениям, т.е.

.

Будем считать, что матрица А обладает полной системой линейно-независимых собственных векторов, т.е. все предполагаем линейно-независимыми.

Это будет иметь место, например, если матрица А симметрична () или если все ее собственные значенияразличны.

Тогда систему собственных векторов можно считать базисомn-мерного векторного пространства.

Выберем некоторый вектор в качестве начального итерационного приближения и рассмотрим следующую последовательность векторов:

.(1)

Выразим вектор на k-ой итерации через вектор начального приближения.

Разложим вектор начального приближения по базису

, (2)