Файл: Маркова Вычислит методы алгебры Практикум.doc

Множество всех собственных значений матрицы А называется спектром матрицы А. Различают полную и частичную проблему собственных значений, когда необходимо найти весь спектр и собственные векторы либо часть спектра, например: и. Величина называется спектральным радиусом.

Если для собственного значения найден собственный вектор, то вектор, где – произвольное число, также является собственным вектором, соответствующим этому же собственному значению , т.е. все собственные векторы матрицы определяются с точностью до числового множителя.

Попарно различным собственным значениям соответствуют линейно независимые собственные векторы; k-кратному корню характеристического уравнения соответствует не более k линейно независимых собственных векторов.

Симметрическая матрица имеет полный спектр действительных собственных значений ;k-кратному корню характеристического уравнения симметрической матрицы соответствует ровно k линейно независимых собственных векторов.

К настоящему времени создано немало специальных вычислительных приемов, упрощающих численное нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы. Все эти методы, как и в случае проблемы численного решения системы линейных алгебраических уравнений, можно разделить на точные и итерационные методы [8].

К первой группе относятся методы, по которым сначала строят собственный многочлен матрицы, затем, находя его корни, получают собственные значения матрицы и уже по ним находят соответствующие собственные векторы. Методы этой группы получили название точных методов. Точные методы позволяют решать полную проблему собственных значений, т.е. дают возможность находить все собственные значения матрицы и все принадлежащие им собственные векторы. Полная проблема собственных значений в некоторых случаях может быть решена также и специальными итерационными методами. Эти методы, конечно, более трудоемки, чем точные методы.

В методах второй группы собственные значения матрицы определяются непосредственно, без обращения к собственному многочлену, при этом одновременно вычисляются и соответствующие собственные векторы. Вычислительные схемы таких методов носят итерационный характер. В них используется многократное умножение матрицы на вектор. Схемы этого типа обычно приводят к последовательности векторов, имеющей своим пределом собственный вектор, и к числовой последовательности, предел которой является соответствующим собственным значением. Как правило, итерационные методы позволяют с достаточной точностью определить лишь первые (наибольшие по модулю) собственные значения и соответствующие им собственные векторы. Поэтому методы этой группы чаще всего применяются к решению частичной проблемы собственных значений, т.е. их чаще используют лишь для отыскания одного или нескольких собственных значений матрицы и соответствующих собственных векторов. Большим достоинством итерационных методов перед точными является простота и единообразие производимых действий, что особенно ценно при использовании быстродействующих вычислительных машин.

Полная и частичная проблемы собственных значений сильно различаются как по методам их решения, так и по области приложений. Для решения полной проблемы собственных значений используют метод Данилевского, QR-алгоритм, итерационный метод вращения (метод Якоби). Степенной метод нахождения наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора  метод решения частичной проблемы собственных значений.

П 4.1 Метод Данилевского для нахождения собственных значений и собственных векторов

Рассмотрим метод Данилевского.

Этот метод основан на том, что преобразование подобия не изменяет характеристического многочлена матрицыА [10]. Матрицы, связанные преобразованием подобия, имеют одинаковые спектры. Поэтому, удачно подобрав преобразование подобия, можно получить матрицу, собственный многочлен, который записывается непосредственно по ее виду. М.А. Данилевский предложил исходную матрицу А приводить преобразованием подобия к так называемой канонической форме Фробениуса.

. (1)

Характеристический полином матрицы Ф можно записать в виде

. (2)

Таким образом, элементы первой строки матрицы Фробениуса являются соответствующими коэффициентами ее собственного многочлена, а значит, и собственного многочлена исходной матрицыА, связанной с матрицей Ф преобразованием подобия:

. (3)

Решая уравнение

, (4)

найдем собственные значения матриц Фробениуса и А.

Следовательно, основная задача сводится к отысканию матрицы S, которая обеспечивает преобразование подобия от матрицы A к матрице Ф.

Рассмотрим эти преобразования и построим матрицу Фробениуса.

Возьмем единичную матрицу, размерность которой соответствует размерности матрицы А.

В единичной матрице n–1 строка заменяется строкой, сформированной из элементов n-ой строки матрицы А, взятых с противоположным знаком, после их деления на элемент . Только элементn–1 столбца формируется по-иному. В эту позицию выставляется элемент, обратный элементу .

Получим матрицу

Умножение матрицы А справа на матрицу дает матрицу, в которой последняя строка принимает нужный вид, т.е. совпадает с последней строкой матрицы Фробениуса. Затем полученную матрицу умножим слева на матрицу(обратную), которая существует, так как, т.е в единичной матрице(n–1)-строка заменяется n-строкой исходной матрицы А.

Очевидно, что преобразование не изменяет последнюю строку матрицы. Таким образом, после выполнения первого шага метода Данилевского, получаем матрицу:

При этом матрицы изаписываются непосредственно по виду матрицыА.

Второй шаг метода Данилевского аналогичен первому. Приведем вторую снизу строку матрицы к форме Фробениуса при сохранении неизменной первой снизу строки. Для этого проводим преобразование:, где

Итак, если , то послеn–1 шагов будем иметь:

, (5)

где матрицы формируются из единичной матрицы заменой элементовn–i строки на элементы, полученные делением элементов n–i+1 строки матрицы А, взятых с противоположным знаком, на n–i элемент столбца из этой строки.

Преобразование (5) можно записать следующим образом:

Тем самым исходная матрица А посредством преобразования подобия с матрицей будет приведена к канонической форме Фробениуса, по виду первой строки которой записывается собственный многочлен: .