ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1100
Скачиваний: 7
86
Система уравнений Максвелла в среде содержит восемь уравнений (два
векторных и два скалярных) и четыре неизвестных вектора:
E
,
B
,
D
,
H
.
Поэтому система (8.21) не замкнута и ее следует дополнить уравнениями,
устанавливающими дополнительные связи между четырьмя векторами поля:
D
=
D
(
E
,
H
)
,
B
=
B
(
E
,
H
)
или
D
=
D
(
E
,
B
)
,
H
=
H
(
E
,
B
)
.
В отличие от (8.21) уравнения связей не носят универсального характе-
ра и определяются, как правило, конкретными свойствами рассматриваемой
среды. Если напряженности полей малы по сравнению с внутриатомными, то
уравнения связи (их называют также
материальными уравнениями
) долж-
ны быть линейными. В наиболее простых случаях их можно записать в сле-
дующей символической форме
D
= ˆ
ε
E
,
B
= ˆ
µ
H
.
(8.22)
Под
ˆ
ε
и
ˆ
µ
понимаются некоторые линейные операторы, которые, в частности,
могут быть тензорами второго ранга, дифференциальными или интегральны-
ми операторами и зависеть от координат (неоднородные среды) и времени
(нестационарные среды). В простейшем случае действие
ˆ
ε
и
ˆ
µ
сводится к
умножению на число. Операторы
ˆ
ε
и
ˆ
µ
называются операторами диэлектри-
ческой и магнитной проницаемостей.
Рекомендуемая литература: [2] Ч.II,§2; [10] §§1,3.
9. Постоянное электрическое поле
Из системы уравнений (8.21) следует, что в в средах, так же как и ва-
кууме постоянные электрическое (
∂
D
/∂t
=0) и магнитное (
∂
B
/∂t
=0) поля
существуют независимо друг от друга. В этом разделе рассмотрим постоян-
ное электрическое поле при наличии проводников и диэлектриков.
9.1. Электростатика проводников
Если проводник внести в электростатическое поле внешних зарядов (плот-
ность которых обозначаем
ρ
ext
), то под его воздействием заряды проводника
перераспределяются так, что внутри проводника электрическое поле
E
in
= 0
становится равным нулю (в противном случае в проводнике должен суще-
ствовать ток и выделяться тепловая энергия, источник которой отсутствует).
Поскольку
E
in
= 0
, то в силу уравнения
div
E
= 4
πρ
плотность зарядов внут-
ри проводника тоже равна нулю, т.е. избыточные заряды могут находиться
только на поверхности проводника.
Таким образом, задача электростатики проводников сводится к нахожде-
нию поля вне проводников и нахождению плотности заряда на их поверхно-
87
сти. Вне проводников поле подчиняется уравнениям
div
E
= 4
πρ
ext
,
rot
E
= 0
,
т.е. является потенциальным полем с потенциалом
ϕ
, связанным с напря-
женностью поля соотношением
E
=
−∇
ϕ
и удовлетворяющим уравнению
Пуассона
∆
ϕ
=
−
4
πρ
ext
.
(9.1)
Граничные условия для поля
E
на поверхности проводника следуют из
самого уравнения
rot
E
= 0
, справедливого и вне, и внутри проводника. Про-
ведем плоский контур в виде прямоугольника, две стороны которого длины
l
примыкают с обеих сторон к поверхности проводника и бесконечно близки
друг друг другу. Вычисляя циркуляцию вектора
E
по этому контуру
I
E
d
l
=
Z
rot
E
d
S
= 0
,
придем к соотношению
E
λ
·
l
−
(
E
in
)
λ
·
l
= 0
,
где
λ
обозначает направление, касательное к поверхности проводника и ле-
жащее в плоскости контура. Поскольку внутри проводника
E
in
= 0
, то и
(
E
in
)
λ
= 0
. В силу произвольности ориентации контура приходим к выво-
ду, что касательная составляющая
E
τ
|
S
внешнего поля на его поверхности
обращаются в нуль
E
τ
|
S
= 0
,
(9.2)
т.е. электростатическое поле нормально к поверхности проводника в каж-
дой его точке. Это условие следует и из физических соображений: если бы
имелась касательная составляющая поля, то заряды перемещались бы вдоль
поверхности. Уравнение (9.2) означает, что производная потенциала по лю-
бому касательному направлению равна нулю,
∂ϕ
∂τ
= 0
, или
ϕ
¯
¯
S
= 0
,
(9.3)
т.е. потенциал поля одинаков во всех точках на поверхности проводника. А
поскольку внутри проводника напряженность поля равна нулю, то потенциал
имеет одно и то же значение во всех точках проводника как внутри, так и
на его поверхности.
Нормальная к поверхности компонента вектора
E
весьма просто связана
с плотностью распределенного по поверхности заряда. Рассмотрим область
между двумя бесконечно бесконечно близкими площадками, примыкающими
88
с обеих сторон к поверхности проводника. Уравнение для дивергенции поля
в этой области следует записать как
div
E
= 4
πρ ,
поскольку в ней отсутствуют сторонние заряды, но имеются избыточные за-
ряды, расположенные на поверхности. Применив к выделенному объему тео-
рему Гаусса и учитывая, что на внутренней площадке
E
= 0
, найдем, что
E
n
= 4
πσ
(9.4)
(ср. переход от ( 8.8) к ( 8.13)). Таким образом, распределение зарядов по
поверхности проводника дается формулой
σ
=
1
4
π
E
n
=
−
1
4
π
∂ϕ
∂n
(9.5)
(производная от потенциала берется в направлении внешней нормали
n
к
поверхности). Полный заряд проводника
e
=
−
1
4
π
I
∂ϕ
∂n
dS ,
где интеграл берется по всей его поверхности.
Итак, чтобы найти поле в пространстве между проводниками и на их
поверхности, необходимо решить уравнение Пуассона ( 9.1) с граничными
условиями. Могут использоваться граничные условия двух типов:
1) задаются потенциалы проводников
ϕ
¯
¯
S
i
=
ϕ
i
,
(9.6)
2) задаются полные заряды проводников
−
1
4
π
I
S
i
∂ϕ
∂n
dS
=
e
i
.
(9.7)
Поверхностная плотность заряда
σ
не может быть задана произвольно и
вычисляется по формулам (9.5) после определения электростатического поля
во всем пространстве. Можно показать, что уравнение (9.1) с граничными
условиями (9.6), (9.7) имеет единственное решение (
теорема о единственно-
сти решения задачи электростатики проводников
). Если удается угадать
решение уравнения (9.1) с (9.6) или (9.7), то в силу указанной теоремы это
решение будет единственным.
89
Рассмотрим проводник с полостью, помещенный во внешнее постоянное
электрическое поле, и найдем поле в полости. Пусть внутри полости заряды
отсутствуют, так что потенциал в ней подчиняется уравнению Лапласа
∆
ϕ
= 0
.
(9.8)
Свободные заряды проводника могут находиться только на поверхностях,
причем нетрудно убедиться, что полный заряд на внутренней поверхности
равен нулю. Воспользуемся теоремой Гаусса и рассмотрим гауссову поверх-
ность, охватывающую полость и проходящую всюду внутри проводника. То-
гда напряженность поля на этой поверхности равна нулю, а следовательно,
равны нулю поток вектора
E
и полный заряд внутри поверхности. Таким
образом, имеем следующее граничное условие для уравнения (9.8)
−
1
4
π
I
S
внутр
∂ϕ
∂n
dS
= 0
.
(9.9)
Очевидно, решением ( 9.8), ( 9.9) является
ϕ
=
const
,
E
= 0
, что означа-
ет и равенство нулю плотности зарядов на внутренней поверхности. В силу
теоремы единственности других решений быть не может. Таким образом, по-
стоянное электрическое поле не проникает в полость внутри проводника. На
этом основана
электростатическая защита
— экранирование тел, напри-
мер измерительных приборов от от внешних электростатических полей. На
практике сплошной проводник-оболочка может быть заменен достаточно гу-
стой металлической сеткой.
Рекомендуемая литература: [2] Ч.I,§12; [10] §1; [3] §§2.2-2.5.
9.2. Метод изображений
Общие методы решения уравнения Пуассона при заданных граничных
условиях на тех или иных поверхностях изучаются в математической физи-
ке. В ряде случаев удается решить задачу, не прибегая к общим методам,
а с помощью более простых приемов. Один из таких приемов, называемых
методом изображений, состоит в использовании решения задачи с фиксиро-
ванным расположением точечных зарядов в отсутствие проводников.
Простейшим примером применения метода изображений является опре-
деление поля, создаваемого точечным зарядом
e
, расположенным вне прово-
дящей среды, заполняющей полупространство. Пусть плоскость
z
= 0
сов-
падает с поверхностью проводника и заряд
e
находится на расстоянии
a
над
ней. Потенциал проводящей среды считается равным нулю. Требуется найти
поле вне проводника и распределение наведенного заряда по его поверхно-
сти. Вместо того чтобы решать уравнение Пуассона (9.1) с
ρ
ext
=
eδ
(
r
−
a
)
и
90
граничным условием
ϕ
|
z
=0
= 0
, рассмотрим задачу о поле двух зарядов
e
и
−
e
в вакууме, расположенных в точках
(0
,
0
, a
)
и
(0
,
0
,
−
a
)
соответственно.
Другими словами, заряд
−
e
расположен в точке, являющейся зеркальным
отображением точки
e
в граничной плоскости проводящей среды. Потенциал
поля поля заряда
e
и его ”изображения“
−
e
равен
ϕ
=
e
|
r
−
a
|
−
e
|
r
+
a
|
.
(9.10)
На граничной плоскости
|
r
−
a
|
=
|
r
+
a
|
и потенциал обращается в нуль,
так что необходимое граничное условие выполняется. Поскольку распреде-
ление зарядов в полупространстве
z >
0
не изменилось, то в силу теоремы
о единственности (9.10) дает решение исходной задачи. Очевидно, точно та-
кое же поле создается точечным зарядом
e
, находящимся около проводящей
плоскости.
Распределение на граничной плоскости поверхностных зарядов, индуци-
рованных точечным зарядом
e
дается формулой
σ
=
−
1
4
π
∂ϕ
∂n
¯
¯
¯
¯
S
=
−
1
4
π
∂ϕ
∂z
¯
¯
¯
¯
z
=0
=
−
e
2
π
a
(
x
2
+
y
2
+
a
2
)
3
/
2
.
Полный заряд на этой плоскости можно подсчитать непосредственным инте-
грированием
Z
σdS
=
−
e .
Общий заряд, индуцированный внешними зарядами на первоначально не
заряженном изолированном проводнике, разумеется, остается равным нулю.
Поэтому, если в данном случае проводящая среда (в действительности —
проводник больших размеров) изолирована, то надо представлять себе, что
одновременно с зарядом
−
e
индуцируется заряд
+
e
, который, однако, бу-
дучи распределен по поверхности большого тела имеет исчезающе малую
плотность.
Итак, если требуется найти поле, создаваемое системой зарядов, располо-
женной около проводников, то в (немногих) наиболее простых случаях зада-
ча решается с помощью метода изображений. Идея метода состоит в подборе
таких дополнительных фиктивных зарядов, которые вместе с данными заря-
дами создавали бы поле, для которого поверхность заданного проводника
совпадает с эквипотенциальной поверхностью поля (с нужным значением
потенциала). При этом фиктивные заряды должны располагаться вне обла-
сти, в которой ищется поле.
Рекомендуемая литература: [10] §3; [3] §§2.2-2.5; [8] гл. 10.