Файл: Электродинамика.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.04.2021

Просмотров: 1128

Скачиваний: 8

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

26

то

div

E

=

e

div

r

r

3

= 0

,

r

6

= 0

.

(3.15)

Рассмотрим два случая.

1) Заряд вне объёма.

Чтобы вычислить поток, переходим к объёмному интегралу от дивер-
генции (2.7), и с учётом (3.15) находим:

I

E

d

S

=

Z

div

E

dV

= 0

.

(3.16)

2) Заряд внутри объёма.

Окружим заряд сферой радиуса

R

. Применим результат предыдущего

пункта к поверхности, составленной из

S

и поверхности сферы

S

R

. За-

ряд находится вне объема, ограниченного этой поверхностью, поэтому

I

S

E

d

S

I

S

R

E

d

S

=

Z

V

div

E

dV

= 0

,

так что

I

S

E

d

S

=

I

S

R

E

d

S

.

Поток через поверхность

S

R

нетрудно вычислить

I

S

R

E

d

S

=

I

S

R

e

R

R

3

d

S

=

e

R

2

I

S

R

dS

= 4

πe .

Итак, для потока через произвольную замкнутую поверхность имеем

I

E

d

S

=

½

0

, e /

V,

4

πe, e

V .

(3.17)

Если зарядов несколько, то согласно принципу суперпозиции

E

=

X

E

i

и

I

E

d

S

=

I X

i

E

i

d

S

=

X

i

I

E

i

d

S

= 4

π

X

i

V

e

i

= 4

πQ .


background image

27

В этом состоит

теорема Гаусса

: поток напряженности электростатического

поля через произвольную замкнутую поверхность пропорционален заряду,
находящемуся внутри этой замкнутой поверхности

I

E

d

S

= 4

πQ

охв

.

(3.18)

Перепишем теорему Гаусса в дифференциальной форме. Представим левую
и правую часть через интегралы (3.7), (3.16):

Z

div

E

dV

= 4

π

Z

ρ dV .

(3.19)

Приравнивая подынтегральные выражения, получаем теорему Гаусса в диф-
ференциальной форме

div

E

= 4

πρ .

(3.20)

Магнитное поле постоянного тока.

Одно из наглядных проявлений

магнитных свойств материи состоит в существовании постоянных магнитов,
с исследования которых началось изучение магнетизма. Свойства постоян-
ных были известны задолго до установления количественных законов элек-
тродинамики. Напомним 2 из них:

1) Любой магнит имеет два полюса (

N

и

S

), причем одноименные полюсы

отталкиваются, а разноименные притягиваются;

2) Невозможно создать магнит с одним полюсом.

Закон взаимодействия магнитных полюсов был открыт Кулоном одновремен-
но с законом для электрических зарядов и оказался совпадающим с ним по
форме. А именно: если взять две длинные магнитные спицы и пренебречь
влиянием далеких полюсов то сила взаимодействия двух ближайших полю-
сов

F

=

m

1

m

2

r

3

r

.

(3.21)

Здесь

m

1

, m

2

— магнитные массы (заряды) полюсов. Закон (3.21) позволяет

ввести магнитную индукцию (ср. с напряженностью электрического поля,
формулы (3.13), (3.14)). Если предположить, что существуют магнитные за-
ряды, то точечный магнитный заряд окружен полем с

магнитной индукцией

B

=

m

r

r

3

(название магнитная индукция сложилось исторически, удобнее было бы на-
зывать

B

напряженностью магнитного поля). Поскольку ( 3.21) совпадает


background image

28

с (3.13), однако (как первоначально понималось второе свойство магнитов)
положительные и отрицательные заряды магнитов нельзя разделить, то в
любой области пространства

X

m

i

= 0

, и по аналогии с теоремой Гаусса

(3.18), (3.19) можем записать

I

B

d

S

= 0

,

div

B

= 0

.

(3.22)

(Свойство 2 постоянных магнитов легко объясняется с точки зрения пред-
ставлений о молекулярной структуре вещества: если любая молекула — эле-
ментарный магнит, то при разделении магнита на две части снова получим
магниты с

N

и

S

полюсами.)

Решающую роль в выяснении природы магнетизма сыграло эксперимен-

тальное обнаружение действия тока на магнит (Эрстед, 1820 г.). Из опытов
следовало, что ток создает магнитное поле, которое спадает обратно пропор-
ционально расстоянию от провода. Более детально, магнитное поле элемента
тока

Jd

l

определяется

законом Био-Савара-Лапласа

d

B

=

J

c

[

d

l r

]

r

3

,

(3.23)

где

c

— постоянная, имеющая размерность скорости и равная

c

= 3

·

10

10

см/с.

Вскоре (1821 г.) в опытах Фарадея, Эрстеда и Ампера было обнаружено

обратное действие магнитного поля на токи. Оказалось, что сила, действую-
щая в магнитном поле

B

на элемент тока

Jd

l

равна

d

F

=

J

c

[

d

l B

]

(3.24)

формула Ампера

. Закон Био-Савара и формула для силы Ампера не со-

гласуются с предположением о существовании магнитных зарядов, в связи
с чем Ампер выдвинул гипотезу, что магнитное поле создается током, а по-
стоянный магнит эквивалентен системе замкнутых токов (гипотеза молеку-
лярных токов). Это предположение Ампер подтвердил экспериментально,
показав, что катушка с током ведет себя как прямой магнит, а круговой ток
эквивалентен магнитному листку (теорема эквивалентности Ампера). Таким
образом, равенство нулю

div

B

в (3.22) означает не то, что магнитные заряды

разделить невозможно, а то, что магнитных зарядов нет.

Вернемся к формуле Ампера. Если сила действует на проводник с током,

то она действует на движущийся заряд. Чтобы найти её, преобразуем (3.24).
Запишем

d

l

=

v

dt,


background image

29

где

v

— скорость заряда. Полный заряд, который за время

dt

пройдет через

сечение проводника (и движется на участке

d

l

), равен

dq

=

J dt

. Тогда

d

F

=

J

c

[

d

l B

] =

J dt

c

[

vB

] =

dq

c

[

vB

]

.

Таким образом, на заряд

e

, который движется в магнитном поле со ско-

ростью

v

, действует сила

F

=

e
c

[

vB

]

— магнитная составляющая силы Лоренца. Полная сила, действующая на
заряд в электромагнитном поле, —

сила Лоренца

— есть

F

=

e

E

+

e
c

[

vB

]

.

(3.25)

Зная закон Био-Савара-Лапласа, можно показать, что выполняется сле-

дующее соотношение (подобно тому, как из закона Кулона следует теорема
Гаусса)

I

B

d

l

=

4

π

c

J

(3.26)

— интеграл по замкнутому контуру от вектора

B

(циркуляция поля

B

) про-

порционален полному току через поверхность, ограниченную этим контуром.
В этом состоит

закон Ампера

. Из-за громоздкости выкладок не будем здесь

получать (3.26) из (3.23). В разделе 5.1 будет показано, что из закона Ампера
следует закон Био-Савара-Лапласа.

Преобразуем закон Ампера к дифференциальной форме. Так как по фор-

муле Стокса

I

B

d

l

=

I

rot

B

d

S

,

а

J

=

Z

j

d

S

, то

rot

B

=

4

π

c

j

.

(3.27)

Подчеркнём, что закон Ампера был установлен для постоянных токов.

Закон электромагнитной индукции Фарадея.

В 1831 г. Фарадеем был

поставлен опыт, в котором при замыкании и размыкании контура (первичной
обмотки, охватывающей сердечник), в другой (вторичной) обмотке возникал
ток, который фиксировался гальванометром. Наиболее общая формулировка
результатов опыта Фарадея состоит в том, что ток, возникающий в первич-
ной обмотке, порождает магнитное поле, которое, в свою очередь порождает


background image

30

электрическое поле во вторичной обмотке. Введем величину потока вектора
магнитной индукции (магнитного потока) через поверхность

S

Φ =

Z

B

d

S

и ЭДС индукции

E

=

I

E

d

l

.

Из экспериментов следует

закон электромагнитной индукции

E

=

1

c

d

Φ

dt

(3.28)

— при изменении магнитного потока через поверхность, опирающуюся на
замкнутый контур, в последнем наводится ЭДС индукции, зависящая от
скорости изменения магнитного потока. Знак "

" отражает правило Лен-

ца: индукционный ток должен быть направлен так, чтобы своим магнитным
полем ослабить влияние внешнего магнитного потока. Правило Ленца — это
следствие закона сохранения энергии.

Воспользуемся теоремой Стокса

E

=

I

E

d

l

=

Z

rot

E

d

S

(3.29)

и, считая поверхность неподвижной, преобразуем производную от потока

d

Φ

dt

=

d

dt

Z

S

B

d

S

=

Z

S

B

∂t

d

S

.

(3.30)

Подставляя (3.29) и (3.30) в (3.28), получим закон электромагнитной индук-
ции в дифференциальной форме

rot

E

=

1

c

B

∂t

(3.31)

– переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. Такая
взаимосвязь электрического и магнитного полей позволяет рассматривать их
как различные проявления единого электромагнитного поля.

Рекомендуемая литература: [2] Ч.I,§14; [7] §§1-6; [8] гл.1,§4.

3.3. Система уравнений Максвелла для электромагнит-

ного поля в вакууме

Законы электромагнетизма, которые были известны из экспериментов к

середине XIX века, могут быть записаны в виде следующих уравнений (см.
(3.20), (3.22), (3.27), (3.31)):