ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1128
Скачиваний: 8
26
то
div
E
=
e
div
r
r
3
= 0
,
r
6
= 0
.
(3.15)
Рассмотрим два случая.
1) Заряд вне объёма.
Чтобы вычислить поток, переходим к объёмному интегралу от дивер-
генции (2.7), и с учётом (3.15) находим:
I
E
d
S
=
Z
div
E
dV
= 0
.
(3.16)
2) Заряд внутри объёма.
Окружим заряд сферой радиуса
R
. Применим результат предыдущего
пункта к поверхности, составленной из
S
и поверхности сферы
S
R
. За-
ряд находится вне объема, ограниченного этой поверхностью, поэтому
I
S
E
d
S
−
I
S
R
E
d
S
=
Z
V
div
E
dV
= 0
,
так что
I
S
E
d
S
=
I
S
R
E
d
S
.
Поток через поверхность
S
R
нетрудно вычислить
I
S
R
E
d
S
=
I
S
R
e
R
R
3
d
S
=
e
R
2
I
S
R
dS
= 4
πe .
Итак, для потока через произвольную замкнутую поверхность имеем
I
E
d
S
=
½
0
, e /
∈
V,
4
πe, e
∈
V .
(3.17)
Если зарядов несколько, то согласно принципу суперпозиции
E
=
X
E
i
и
I
E
d
S
=
I X
i
E
i
d
S
=
X
i
I
E
i
d
S
= 4
π
X
i
∈
V
e
i
= 4
πQ .
27
В этом состоит
теорема Гаусса
: поток напряженности электростатического
поля через произвольную замкнутую поверхность пропорционален заряду,
находящемуся внутри этой замкнутой поверхности
I
E
d
S
= 4
πQ
охв
.
(3.18)
Перепишем теорему Гаусса в дифференциальной форме. Представим левую
и правую часть через интегралы (3.7), (3.16):
Z
div
E
dV
= 4
π
Z
ρ dV .
(3.19)
Приравнивая подынтегральные выражения, получаем теорему Гаусса в диф-
ференциальной форме
div
E
= 4
πρ .
(3.20)
Магнитное поле постоянного тока.
Одно из наглядных проявлений
магнитных свойств материи состоит в существовании постоянных магнитов,
с исследования которых началось изучение магнетизма. Свойства постоян-
ных были известны задолго до установления количественных законов элек-
тродинамики. Напомним 2 из них:
1) Любой магнит имеет два полюса (
N
и
S
), причем одноименные полюсы
отталкиваются, а разноименные притягиваются;
2) Невозможно создать магнит с одним полюсом.
Закон взаимодействия магнитных полюсов был открыт Кулоном одновремен-
но с законом для электрических зарядов и оказался совпадающим с ним по
форме. А именно: если взять две длинные магнитные спицы и пренебречь
влиянием далеких полюсов то сила взаимодействия двух ближайших полю-
сов
F
=
m
1
m
2
r
3
r
.
(3.21)
Здесь
m
1
, m
2
— магнитные массы (заряды) полюсов. Закон (3.21) позволяет
ввести магнитную индукцию (ср. с напряженностью электрического поля,
формулы (3.13), (3.14)). Если предположить, что существуют магнитные за-
ряды, то точечный магнитный заряд окружен полем с
магнитной индукцией
B
=
m
r
r
3
(название магнитная индукция сложилось исторически, удобнее было бы на-
зывать
B
напряженностью магнитного поля). Поскольку ( 3.21) совпадает
28
с (3.13), однако (как первоначально понималось второе свойство магнитов)
положительные и отрицательные заряды магнитов нельзя разделить, то в
любой области пространства
X
m
i
= 0
, и по аналогии с теоремой Гаусса
(3.18), (3.19) можем записать
I
B
d
S
= 0
,
div
B
= 0
.
(3.22)
(Свойство 2 постоянных магнитов легко объясняется с точки зрения пред-
ставлений о молекулярной структуре вещества: если любая молекула — эле-
ментарный магнит, то при разделении магнита на две части снова получим
магниты с
N
и
S
полюсами.)
Решающую роль в выяснении природы магнетизма сыграло эксперимен-
тальное обнаружение действия тока на магнит (Эрстед, 1820 г.). Из опытов
следовало, что ток создает магнитное поле, которое спадает обратно пропор-
ционально расстоянию от провода. Более детально, магнитное поле элемента
тока
Jd
l
определяется
законом Био-Савара-Лапласа
d
B
=
J
c
[
d
l r
]
r
3
,
(3.23)
где
c
— постоянная, имеющая размерность скорости и равная
c
= 3
·
10
10
см/с.
Вскоре (1821 г.) в опытах Фарадея, Эрстеда и Ампера было обнаружено
обратное действие магнитного поля на токи. Оказалось, что сила, действую-
щая в магнитном поле
B
на элемент тока
Jd
l
равна
d
F
=
J
c
[
d
l B
]
(3.24)
—
формула Ампера
. Закон Био-Савара и формула для силы Ампера не со-
гласуются с предположением о существовании магнитных зарядов, в связи
с чем Ампер выдвинул гипотезу, что магнитное поле создается током, а по-
стоянный магнит эквивалентен системе замкнутых токов (гипотеза молеку-
лярных токов). Это предположение Ампер подтвердил экспериментально,
показав, что катушка с током ведет себя как прямой магнит, а круговой ток
эквивалентен магнитному листку (теорема эквивалентности Ампера). Таким
образом, равенство нулю
div
B
в (3.22) означает не то, что магнитные заряды
разделить невозможно, а то, что магнитных зарядов нет.
Вернемся к формуле Ампера. Если сила действует на проводник с током,
то она действует на движущийся заряд. Чтобы найти её, преобразуем (3.24).
Запишем
d
l
=
v
dt,
29
где
v
— скорость заряда. Полный заряд, который за время
dt
пройдет через
сечение проводника (и движется на участке
d
l
), равен
dq
=
J dt
. Тогда
d
F
=
J
c
[
d
l B
] =
J dt
c
[
vB
] =
dq
c
[
vB
]
.
Таким образом, на заряд
e
, который движется в магнитном поле со ско-
ростью
v
, действует сила
F
=
e
c
[
vB
]
— магнитная составляющая силы Лоренца. Полная сила, действующая на
заряд в электромагнитном поле, —
сила Лоренца
— есть
F
=
e
E
+
e
c
[
vB
]
.
(3.25)
Зная закон Био-Савара-Лапласа, можно показать, что выполняется сле-
дующее соотношение (подобно тому, как из закона Кулона следует теорема
Гаусса)
I
B
d
l
=
4
π
c
J
(3.26)
— интеграл по замкнутому контуру от вектора
B
(циркуляция поля
B
) про-
порционален полному току через поверхность, ограниченную этим контуром.
В этом состоит
закон Ампера
. Из-за громоздкости выкладок не будем здесь
получать (3.26) из (3.23). В разделе 5.1 будет показано, что из закона Ампера
следует закон Био-Савара-Лапласа.
Преобразуем закон Ампера к дифференциальной форме. Так как по фор-
муле Стокса
I
B
d
l
=
I
rot
B
d
S
,
а
J
=
Z
j
d
S
, то
rot
B
=
4
π
c
j
.
(3.27)
Подчеркнём, что закон Ампера был установлен для постоянных токов.
Закон электромагнитной индукции Фарадея.
В 1831 г. Фарадеем был
поставлен опыт, в котором при замыкании и размыкании контура (первичной
обмотки, охватывающей сердечник), в другой (вторичной) обмотке возникал
ток, который фиксировался гальванометром. Наиболее общая формулировка
результатов опыта Фарадея состоит в том, что ток, возникающий в первич-
ной обмотке, порождает магнитное поле, которое, в свою очередь порождает
30
электрическое поле во вторичной обмотке. Введем величину потока вектора
магнитной индукции (магнитного потока) через поверхность
S
Φ =
Z
B
d
S
и ЭДС индукции
E
=
I
E
d
l
.
Из экспериментов следует
закон электромагнитной индукции
E
=
−
1
c
d
Φ
dt
(3.28)
— при изменении магнитного потока через поверхность, опирающуюся на
замкнутый контур, в последнем наводится ЭДС индукции, зависящая от
скорости изменения магнитного потока. Знак "
−
" отражает правило Лен-
ца: индукционный ток должен быть направлен так, чтобы своим магнитным
полем ослабить влияние внешнего магнитного потока. Правило Ленца — это
следствие закона сохранения энергии.
Воспользуемся теоремой Стокса
E
=
I
E
d
l
=
Z
rot
E
d
S
(3.29)
и, считая поверхность неподвижной, преобразуем производную от потока
d
Φ
dt
=
d
dt
Z
S
B
d
S
=
Z
S
∂
B
∂t
d
S
.
(3.30)
Подставляя (3.29) и (3.30) в (3.28), получим закон электромагнитной индук-
ции в дифференциальной форме
rot
E
=
−
1
c
∂
B
∂t
(3.31)
– переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. Такая
взаимосвязь электрического и магнитного полей позволяет рассматривать их
как различные проявления единого электромагнитного поля.
Рекомендуемая литература: [2] Ч.I,§14; [7] §§1-6; [8] гл.1,§4.
3.3. Система уравнений Максвелла для электромагнит-
ного поля в вакууме
Законы электромагнетизма, которые были известны из экспериментов к
середине XIX века, могут быть записаны в виде следующих уравнений (см.
(3.20), (3.22), (3.27), (3.31)):