Файл: Mech_sol(Volchkov).pdf

1.4. Постановка краевых задач в линейной теории упругости.

51

(

λ

+

µ

)

θ

,i

+

µ

∆

u

i

+

ρF

i

= 0

(1.80)

∆

θ

= 0

(1.81)

∆∆

u

i

= 0

(1.82)

1.4.2

Уравнения теории упругости в напряжениях

Уравнения (1.74) - (1.77) можно свести к системе шести уравнений относительно
шести независимых компонент тензора напряжений:

∆

σ

ij

+

3

1 +

ν

σ

,ij

=

−

ρν

1

−

ν

div

F δ

ij

−

ρ

(

F

i,j

+

F

j,i

)

(1.83)

или в случае отсутствия массовых сил

∆

σ

ij

+

3

1 +

ν

σ

,ij

= 0

(1.84)

∆∆

σ

= 0

(1.85)

∆∆

σ

ij

= 0

(1.86)

52

Глава 1. Основные уравнения теории упругости

Глава 2

Пластичность

2.1

Диаграммы

σ

∼

ε

одноосного растяжения

Определяющие соотношения (зависимость между напряжениями и деформаци-
ями) строятся на основе экспериментальных данных а свойствах материала. На
рис. 2.1 приведены диаграммы растяжения мягкой стали и меди при комнат-
ной температуре. Как видно, характер этих кривых совершенно различный. На
диаграмме растяжения стали точка

A

соответствует так называемому преде-

лу пропорциональности и лежит несколько ниже токи

B

— предела упругости,

после которого появляются остаточные деформации и удлинения быстро уве-
личиваются. После точки

B

имеется "площадка текучести "

BC

. За точкой

C

напряжения вновь возрастают. Участок

CD

соответствует состоянию упрочне-

ния материала.

Рис. 2.1:

Если нагрузку уменьшать, то кривая разгрузки

ABC

, близка к прямой ли-

нии (рис. 2.2)

53

54

Глава 2. Пластичность

Рис. 2.2:

2.2

Условие текучести. Поверхность и кривая текучести

Приведенные выше кривые

σ

∼

ε

относились к одноосному напряженному

состоянию. Для построения трехмерных моделей теории пластичности нужно
знать поведение материала при сложном напряженном состоянии. В частности
необходимо знать, при каких условиях материал из упругого состояния перехо-
дит в состояние текучести, сопровождаемое появлением остаточных деформа-
ций.

Условие, при котором наступает состояние текучести называется условием

текучести (или пластичности).

Для изотропного материала это условие должно быть симметричной функ-

цией главных напряжений:

f

(

σ

1

, σ

2

, σ

3

) =

const

=

K

Поскольку основными симметричными функциями компонент тензора напря-
жений являются его инварианты, последнее условие может быть представлено
в виде:

f

(

σ, I

2

(

T

σ

)

, I

3

(

T

σ

)) =

K,

где

I

2

(

T

σ

)

и

I

3

(

T

σ

)

—инварианты тензора напряжений.

Из экспериментальных данных следует, что влияние среднего давления на

процесс формоизменения пренебрежимо мало. Если считать, что состояние те-
кучести не зависит от среднего давления, то условие текучести записывается в

2.2. Условие текучести. Поверхность и кривая текучести

55

виде:

f

(

σ, I

2

(

D

σ

)

, I

3

(

D

σ

)) =

K,

или

f

(

I

2

(

D

σ

)

, I

3

(

D

σ

)) = 0

,

(2.1)

где

I

2

(

D

σ

)

и

I

3

(

σ

)

—инварианты девиатора напряжений.

Для изотропного материала, свойства которого одинаковы при растяжении

и сжатии, кривая текучести обладает следующими свойствами (рис. 2.3):

1) Кривая текучести не проходит через начало координат.
2) Кривая текучести симметрична относительно осей

1

0

,

2

0

,

3

0

3) Кривая текучести симметрична относительно прямых, перпендикулярных

к осям

1

0

,

2

0

,

3

0

4) Кривая текучести должна быть выпуклой

Рис. 2.3:

2.2.1

Условие текучести Треска — Сен-Венана

.

Французский исследователь Треска проводил опыты по истечению матери-

ала через отверстия. Основываясь на результатах экспериментов, он высказал
следующее предположение:

в состоянии текучести во всех точках среды максимальное касательное

напряжение имеет одно и то же значение для данного материала.