ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 661
Скачиваний: 2
1.2. Напряжения
21
кусочно гладкими непрерывными функциями координат и времени. Чтобы убе-
диться в этом, повторим кратко еще раз проводившиеся рассмотрения, но уже
с учетом новых обстоятельств.
Начнем с того, что в напряженной движущейся среде в некоторый момент
времени
t
сделаем вдоль какой-либо плоскости
n
1
x
1
+
n
1
x
1
+
n
1
x
1
=
const
(
n
2
1
+
n
2
2
+
n
2
3
= 1)
надрез. Предположим, что сделав надрез, мы прикладываем к
его берегам такие дополнительные усилия, чтобы движение, благодаря этим
усилиям, в среде с надрезом было бы точно таким же, каким оно было в его
отсутствие. Это дополнительное усилие, приложенное к нижнему берегу над-
реза на площадке с нормалью
(
n
1
, n
2
, n
3
)
и площадью
dS
, проходящей через
точку
(
x
1
, x
2
, x
3
)
обозначим через
dS
Σ
(
x
1
, x
2
, x
3
;
n
1
, n
2
, n
3
)
, а вектор плотности
(на единицу площади) этой силы
Σ
с компонентами
σ
1
, σ
2
, σ
3
будем называть
напряжением
на этой площадке.
При повороте площадки, проходящей через некоторую фиксированную точ-
ку, вектор
Σ
преобразуется точно так же, как и в покоящейся среде, нахо-
дящейся в равновесии. Чтобы обосновать это утверждение, мы должны вос-
пользоваться законом сохранения количества движения (импульса). Рассмот-
рим некоторую гладкую поверхность
S
, ограничивающую объем
V
. Выделим
массу среды, заполнявшую в некоторый момент времени
t
этот объем
V
. Пусть
плотность среды обозначается как
ρ
=
ρ
(
x
1
, x
2
, x
3
;
t
)
, компоненты вектора ско-
рости как
u
i
(
x
1
, x
2
, x
3
;
t
)
. Тогда импульс (количество движения) выделенной
массы вычислится как вектор с компонентами
p
i
=
Z Z
V
(
t
)
Z
ρ
(
x
1
, x
2
, x
3
;
t
)
u
i
(
x
1
, x
2
, x
3
;
t
)
dx
1
dx
2
dx
3
.
Выделив этот объем в некоторый момент времени, мы должны во все после-
дующие моменты времени считать его изменяющимся, так как образован дви-
жущейся средой, границы которой в начальный момент времени совпадали с
границей выделенного в этот момент объема.
Производная
dp
i
(
t
)
dt
от компонент количества движения во времени может
быть вычислена через ускорения
du
i
dt
=
∂u
i
∂t
+
u
1
∂u
i
∂x
1
+
u
2
∂u
i
∂x
2
+
u
3
∂u
i
∂x
3
22
Глава 1. Основные уравнения теории упругости
частиц среды, составляющих объем
V
(
t
)
:
dp
i
(
t
)
dt
=
Z Z
V
(
t
)
Z
ρ
du
i
dt
dx
1
dx
2
dx
3
.
Масса вещества в выделенном объеме
m
=
Z Z
V
(
t
)
Z
ρ
(
x
1
, x
2
, x
3
)
dx
1
dx
2
dx
3
не зависит от времени.
Производная по времени от импульса является вектором
d
p
dt
с компонентами
dp
i
(
t
)
dt
, который должен равняться сумме сил, приложенных к массе вещества,
заключенной в выделенном движущемся объеме:
R R
S
(
t
)
Σ
(
x
1
, x
2
, x
3
;
n
1
, n
2
, n
3
;
t
)
dS
+
+
R R
V
(
t
)
R
ρ
(
x
1
, x
2
, x
3
, t
)
F
(
x
1
, x
2
, x
3
, t
)
dx
1
dx
2
dx
3
=
d
p
dt
.
Двойной интеграл берется по поверхности, ограничивающей выделенный объем
(
n
1
, n
2
, n
3
— компоненты нормали к поверхности). Покомпонентная запись этого
равенства
R R
S
(
t
)
σ
i
(
x
1
, x
2
, x
3
;
n
1
, n
2
, n
3
;
t
)
dS
+
+
R R
V
(
t
)
R
ρ
(
x
1
, x
2
, x
3
, t
)
£
F
i
(
x
1
, x
2
, x
3
, t
)
−
du
i
dt
¤
dx
1
dx
2
dx
3
= 0
отличается от условия равновесия в стационарном случае лишь тем, что
F
i
теперь надо заменить на
F
i
−
du
i
dt
. Точно так же, как и в стационарном слу-
чае, используя ту же самую лемму, мы доказываем, что напряжения на любой
площадке с единичным вектором нормали
(
n
1
, n
2
, n
3
)
определяются по напря-
жениям на площадках, параллельных координатным плоскостям по формуле
Σ
=
σ
1
σ
2
σ
3
=
σ
11
σ
12
σ
13
σ
21
σ
22
σ
23
σ
31
σ
32
σ
33
n
1
n
2
n
3
.
Эта матричная запись говорит о том, что для того, чтобы получить вектор
напряжения на площадке с нормалью достаточно применить матрицу тензора
1.2. Напряжения
23
напряжений к этому единичному вектору нормали. Тензор напряжений пол-
ностью определяет напряженное состояние в точке, как в покоящейся, так и
в движущейся среде. Здесь, однако, надо еще раз подчеркнуть, что в наших
рассуждениях мы существенно пользовались ограниченностью ускорений.
Зададимся теперь вопросом о том,
однозначно ли определяется тензор напряжений из закона сохранения ко-
личества движения при заданном распределении массовых и поверхностных
сил в случае, если закон движения среды, определяемый полем ускорений, из-
вестен.
Начнем с интегральной покомпонентной записи уже известного нам равен-
ства, связывающего напряжения с ускорениями и массовыми силами:
Z Z
S
(
t
)
(
σ
i
1
n
1
+
σ
i
2
n
2
+
σ
i
3
n
3
)
dS
+
Z Z
V
(
t
)
Z
ρ
·
F
i
−
du
i
dt
¸
dx
1
dx
2
dx
3
= 0
.
В этой записи учтена зависимость напряжений от направления нормали к
площадке
dS
. Так как объем вместе с ограничивающей его поверхностью, мо-
жет быть для любого момента времени выбран произвольно (после этого для
других он уже определяется законом движения), то можно считать, что при
любом фиксированном равенство имеет место для любой области интегрирова-
ния. При достаточной гладкости всех участвующих функций, как известно из
анализа, устанавливается эквивалентность этого равенства дифференциальным
уравнениям
∂σ
i
1
∂x
1
+
∂σ
i
2
∂x
2
+
∂σ
i
3
∂x
3
=
ρ
µ
F
i
−
du
i
dt
¶
,
i
= 1
,
2
,
3
.
Вопрос о том, однозначно ли определяется тензор напряжений, теперь мо-
жет быть сформулирован как вопрос о том, единственно ли решение системы из
трех выписанных дифференциальных уравнений при заданных правых частях
(
ρ
¡
F
i
−
du
i
dt
¢
и заданных граничных значениях
σ
i
1
n
1
+
σ
i
2
n
2
+
σ
i
3
n
3
поверхност-
ных сил (
n
1
, n
2
, n
3
— компоненты единичного вектора нормали к граничной по-
верхности). Покажем, что единственности нет. Для этого достаточно построить
ненулевое решение однородной системы
∂σ
i
1
∂x
1
+
∂σ
i
2
∂x
2
+
∂σ
i
3
∂x
3
= 0
,
i
= 1
,
2
,
3
.
24
Глава 1. Основные уравнения теории упругости
внутри некоторой области, удовлетворяющее на границе условиям
σ
11
n
1
+
σ
12
n
2
+
σ
13
n
3
= 0
,
σ
21
n
1
+
σ
22
n
2
+
σ
23
n
3
= 0
,
σ
31
n
1
+
σ
32
n
2
+
σ
33
n
3
= 0
.
В качестве области возьмем куб
−
1
≤
x
1
≤
1
,
−
1
≤
x
2
≤
1
,
−
1
≤
x
3
≤
1
, для
которого граничные условия имеют вид
σ
11
=
σ
21
=
σ
31
= 0
при
x
1
=
±
1
σ
12
=
σ
22
=
σ
32
= 0
при
x
2
=
±
1
σ
13
=
σ
23
=
σ
33
= 0
при
x
3
=
±
1
Пример ненулевого решения, удовлетворяющего однородным дифференциаль-
ным уравнениям и краевым условиям, дается формулами
σ
11
= cos
πx
1
cos
πx
2
+ cos
πx
2
,
σ
12
=
σ
21
= sin
πx
1
sin
πx
2
,
σ
22
= cos
πx
1
cos
πx
2
+ cos
πx
1
,
σ
33
=
σ
13
=
σ
31
=
σ
23
=
σ
32
= 0
.
Таким образом, для определения поля напряжений должны быть привлече-
ны дополнительные соображения и постулаты.
Очень важное свойство таблицы
k
σ
ij
k
, характеризующей напряженное со-
стояние в некоторой точке, может быть получено из рассмотрения закона со-
хранения момента количества движения.
Моментом количества движения, заключенным в некотором объеме сплош-
ной среды, называют интеграл по объему
Z Z
V
(
t
)
Z
x
×
(
ρ
u
)
dx
1
dx
2
dx
3
от векторного произведения радиуса вектора
x
(с компонентами
x
1
, x
2
, x
3
) на
вектор плотности импульса
ρ
u
(его компоненты
ρu
1
, ρu
2
, ρu
3
). В этом определе-
нии момент вычисляется относительно начала координат. Если мы хотим вы-
числить момент количества движения относительно какой-либо другой точки
x
0
, то мы должны использовать интеграл
Z Z
V
(
t
)
Z
(
x
−
x
0
)
×
(
ρ
u
)
dx
1
dx
2
dx
3
,
1.2. Напряжения
25
определяющий вектор с компонентами
R R
V
(
t
)
R
[(
x
2
−
x
20
)
u
3
−
(
x
3
−
x
30
)
u
2
]
ρ dx
1
dx
2
dx
3
,
R R
V
(
t
)
R
[(
x
3
−
x
30
)
u
1
−
(
x
1
−
x
10
)
u
3
]
ρ dx
1
dx
2
dx
3
,
R R
V
(
t
)
R
[(
x
1
−
x
10
)
u
2
−
(
x
2
−
x
20
)
u
1
]
ρ dx
1
dx
2
dx
3
.
В качестве
x
0
часто выбирается центр тяжести рассматриваемой массы веще-
ства.
Изменение с течением времени момента количества движения в некото-
ром движущемся объеме, образованным некоторыми фиксированными части-
цами рассматриваемой среды, происходит за счет момента приложенных к
этой массе внешних сил
.
Таким образом, в дальнейшем мы исключаем из рассмотрения источники
моментов.
В классической среде для любой фиксированной точки
x
0
(
x
10
, x
10
, x
10
)
и для
любого движущегося объема
V
(
t
)
, образованного во все моменты времени
t
на
рассматриваемом интервале времени одними и теми же частицами, уравнение
момента количества движения имеет вид
d
dt
R R
V
(
t
)
R
(
x
−
x
0
)
×
(
ρ
u
)
dx
1
dx
2
dx
3
=
=
R R
S
(
t
)
(
x
−
x
0
)
×
Σ
dS
+
R R
V
(
t
)
R
(
x
−
x
0
)
×
(
ρ
F
)
dx
1
dx
2
dx
3
.
Двойной интеграл в правой части — это момент напряжений
Σ
=
Σ
(
x
1
, x
2
, x
3
)
,
действующих на поверхность
S
(
t
)
, ограничивающую рассматриваемый объем
V
(
t
)
, а тройной интеграл — момент массовых сил, действующих в этом объеме.
Рассматривая уравнение момента количества движения для последователь-
ности объемов
V
1
(
t
)
, V
2
(
t
)
, . . . V
N
(
t
)
, . . .
, определенных каждый как объем, за-
нимаемый веществом, которое при некотором
t
=
t
∗
заполняло объем
V
N
(
t
∗
)
с ребром
h
N
(
h
N
→
0
при
N
→ ∞
)
, можно показать, что тензор напряжений
симметричен, т.е. имеют место равенства
σ
32
−
σ
23
=
σ
13
−
σ
31
=
σ
21
−
σ
12
= 0
при всех
x
и
t
.