ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2201
Скачиваний: 4
100
Лемма 3.
Положим
<
a
i
>
0
для
i
= 1
, . . . , q
и
<
ψ >
0
. Тогда имеет место пред-
ставление:
q
F
q
A
B
−
z
!
=
q
Y
i
=1
Γ(
b
i
)
Γ(
a
i
)
1
Z
0
1
s
G
q,
0
q,q
s
B
A
!
e
−
zs
ds.
(8)
Доказательство этой леммы повторяет
mutatis mutandis
доказательство доста-
точности в [6, Theorem 2]. Представление (8) было ранее найдено в книге Киряковой
[11] при более жестких ограничениях на параметры при помощи последовательного
дробного интегрирования. Напомним, что бесконечно дифференцируемая на
(0
,
∞
)
функция
f
называется вполне монотонной, если
(
−
1)
k
f
(
k
)
(
x
)
>
0
для всех целых
неотрицательных
k
и любых
x >
0
[17, Definition 1.3]. Согласно классической теоре-
ме Бернштейна, полная монотонность на
(0
,
∞
)
равносильна тому, что
f
является
преобразованием Лапласа неотрицательной меры [17, Theorem 1.4].
Теорема 1.
Пусть
B
≺
W
A
. Тогда функция
x
→
q
F
q
A
B
−
x
!
вполне монотонна на
(0
,
∞
)
.
Доказательство получается комбинацией Лемм 1,2 и 3 при
ψ >
0
. При
ψ
= 0
последовательность коэффициентов
(
q
Y
i
=1
(
a
i
)
n
(
b
i
)
n
)
n
>
0
также является последовательностью моментов неотрицательной меры согласно тео-
реме Альцера [1, Theorem 10].
Теорема 2.
Пусть
B
≺
W
A
. Тогда функция
f
µ
(
x
) :=
q
F
q
A
+
µ
B
+
µ
−
x
!
q
F
q
A
B
−
x
!
монотонно убывает на
R
при каждом фиксированном
µ >
0
.
Доказательство теоремы 2.
Положим сначала
ψ >
0
. C учетом формулы [15, 8.2.2.15]
G
q,
0
q,q
s
B
+
µ
A
+
µ
!
=
s
µ
G
q,
0
q,q
s
B
A
!
,
(9)
непосредственным вычислением убеждаемся, что неравенство
f
0
µ
(
x
)
<
0
равносиль-
но неравенству
1
Z
0
q
(
s
)
p
(
x
;
s
)
ds
1
Z
0
h
(
s
)
p
(
x
;
s
)
ds <
1
Z
0
q
(
s
)
h
(
s
)
p
(
x
;
s
)
ds
1
Z
0
p
(
x
;
s
)
ds,
где
p
(
x
;
s
) =
e
−
xs
s
G
q,
0
q,q
s
B
A
!
,
q
(
s
) =
s
µ
,
h
(
s
) =
s.
Последнее неравенство справедливо согласно неравенству Чебышева [14, Chapter
IX, formula (1.1)], поскольку
p
(
x
;
s
)
неотрицательна, а
q
и
h
монотонно возрастают
на
(0
,
1)
. Результат распространяется на случай
ψ
= 0
по непрерывности.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
101
Теорема 3.
Пусть
B
≺
W
A
. Тогда справедливы неравенства
exp
(
x
q
Y
i
=1
a
i
b
i
)
<
q
F
q
A
B
x
!
<
exp(
x
)
,
x >
0
(10)
exp
(
x
q
Y
i
=1
a
i
b
i
)
<
q
F
q
A
B
x
!
<
1
,
x <
0
.
(11)
Доказательство теоремы 3.
Из асимптотической формулы [2, 16.11.7] для функции
q
F
q
следуют соотноше-
ния
f
µ
(
x
) =
Γ(
a
1
+
µ
)
Γ(
a
1
)
q
Y
i
=1
Γ(
b
i
+
µ
)Γ(
a
i
)
Γ(
a
i
+
µ
)Γ(
b
i
)
x
−
µ
(1 +
o
(1))
,
x
→ ∞
и
f
µ
(
x
) =
q
Y
i
=1
Γ(
b
i
+
µ
)Γ(
a
i
)
Γ(
a
i
+
µ
)Γ(
b
i
)
(1 +
o
(1))
,
x
→ −∞
Здесь
f
µ
(
x
)
определена в Теореме 2 и принято во внимание, что
a
1
= min(
a
1
, a
2
, . . . , a
q
)
по условию теоремы. Тогда по Теореме 2
f
µ
(0) = 1
< f
µ
(
x
)
<
q
Y
i
=1
Γ(
b
i
+
µ
)Γ(
a
i
)
Γ(
a
i
+
µ
)Γ(
b
i
)
=
f
µ
(
−∞
)
,
x <
0
f
µ
(
∞
) = 0
< f
µ
(
x
)
<
1 =
f
µ
(0)
,
x >
0
.
Далее, поскольку
d
dx
q
F
q
A
B
x
!
=
q
Y
i
=1
a
i
b
i
q
F
q
A
+ 1
B
+ 1
x
!
,
приведенные неравенства при
µ
= 1
можно переписать в виде
q
Y
i
=1
a
i
b
i
<
d
dx
"
log
q
F
q
A
B
x
!#
<
1
,
x >
0
,
0
<
d
dx
"
log
q
F
q
A
B
x
!#
<
q
Y
i
=1
a
i
b
i
,
x <
0
.
Интегрирование этих неравенств от
0
до
x
приводит к утверждению теоремы.
Замечание.
Неравенства снизу в (10), (11) впервые получены Люком [12, Theorem
16] другим способом и при более сильных ограничениях
b
i
>
a
i
,
i
= 1
,
2
, . . . , q
. При
таких же ограничениях в указанной статье Люка содержатся также неравенства
сверху, которые лучше неравенств сверху в (10), (11). Неравенство сверху в (11) по-
чти тривиально. Это связано с отсутствием нетривиальной оценки снизу для
f
µ
(
x
)
при положительных
x
. Задача поиска такой оценки представляется поэтому инте-
ресной. Численные эксперименты свидетельствуют в пользу следующей гипотезы.
Гипотеза 1.
При
x >
0
и
B
≺
W
A
справедлива следующая оценка снизу
1
(1 +
αx
)
µ
< f
µ
(
x
)
,
α
=
(
Γ(
a
1
+
µ
)
Γ(
a
1
)
q
Y
i
=1
Γ(
b
i
+
µ
)Γ(
a
i
)
Γ(
a
i
+
µ
)Γ(
b
i
)
)
−
1
/µ
.
Теорема 4.
Положим
ψ >
0
и
B
≺
W
A
. Тогда функция
µ
→
q
F
q
A
+
µ
B
+
µ
−
x
!
логарифмически выпукла на
(0
,
∞
)
при любом фиксированном
x
∈
R
.
Доказательство теоремы 4.
Действительно, представление (8) в сочетании с равенством (9) показывает, что
функция из формулировки теоремы является интегралом от функции
s
µ
по неот-
рицательной мере. Утверждение теоремы теперь следует из того, что
µ
→
s
µ
лог-
выпукла и интегрирование по неотрицательной мере сохраняет лог-выпуклость.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
102
2.
О полной монотонности функции
q
+1
F
q
Функция
f
: (0
,
∞
)
→
(0
,
∞
)
называется логарифмически вполне монотонной,
если
(
−
1)
k
[log
f
(
x
)]
(
k
)
>
0
при
k
= 1
,
2
, . . .
или, другими словами, если функция
−
(log
f
)
0
вполне монотонна [3]. Класс логарифмически вполне монотонных функ-
ций строго ´
уже класса вполне монотонных функций и совпадает с классом функ-
ций, представляющая мера которых в теореме Бернштейна является бесконечно
делимой [3, 16, 17]. Из представления (2) непосредственно следует, что функция
q
+1
F
q
(
σ, A
;
B
;
−
x
)
вполне монотонна на
(0
,
∞
)
, когда
B
≺
W
A
и
σ >
0
. Этот факт
можно дополнить следующим.
Теорема 5.
Пусть
B
≺
W
A
и
0
< σ
6
1
. Тогда функция
x
→
x
−
σ
q
+1
F
q
(
A
;
B
;
−
1
/x
)
логарифмически вполне монотонна на
(0
,
∞
)
.
Доказательство теоремы 4.
Имеет место следующее представление
x
−
σ
q
+1
F
q
(
σ, A
;
B
;
−
1
/x
) =
1
Γ(
σ
)
Z
[0
,
∞
)
e
−
ux
u
σ
−
1
Z
[0
,
1]
e
−
ut
dρ
(
t
)
du,
где
dρ
- положительная мера с плотностью (12). Далее, согласно [16, Th. 51.4] рас-
пределение бесконечно делимо если оно имеет лог-выпуклую плотность. Функция
u
σ
−
1
Z
[0
,
1]
e
−
ut
dρ
(
t
)
лог-выпукла при
0
< σ
6
1
, поскольку оба сомножителя лог-
выпуклы (второй сомножитель вполне монотонный, а значит и лог-выпуклый). Та-
ким образом,
x
−
σ
q
+1
F
q
(
σ, A
;
B
;
−
1
/x
)
- преобразование Лапласа бесконечно делимой
меры, а значит логарифмически вполне монотонно.
Утверждение Теоремы 5 ставит следующий вопрос: можно ли ослабить усло-
вия
B
≺
W
A
и
σ >
0
, если потребовать лишь полной монотонности функции
x
−
σ
q
+1
F
q
(
σ, A
;
B
;
−
1
/x
)
без требования логарифмически полной монотонности. Для
изучения этого вопроса следующая лемма оказывается полезной.
Лемма 4.
Пусть
dτ
(
s
)
- знакопеременная мера с носителем в
[0
,
∞
)
. Если
Z
[0
,t
)
dτ
(
s
)
>
0
при всех
t >
0
, то
Z
[0
,
∞
)
e
−
xs
dτ
(
s
)
>
0
при всех
x >
0
.
Доказательство леммы получается интегрированием по частям. Мы опускаем
детали. При
ψ >
0
мера
dρ
(
s
)
в (2) имеет вид [6, Theorem 2]
dρ
(
s
) =
q
Y
i
=1
Γ(
b
i
)
Γ(
a
i
)
G
q,
0
q,q
s
B
−
1
A
−
1
!
ds.
(12)
Тогда, по Лемме 4, вопрос о полной монотонности
x
−
σ
q
+1
F
q
(
σ, A
;
B
;
−
1
/x
)
сводит-
ся к вопросу о неотрицательности интеграла
Z
x
0
dρ
(
s
)
при
x
∈
(0
,
1)
. Формула [15,
1.16.2.1] дает
x
Z
0
G
q,
0
q,q
s
B
−
1
A
−
1
!
ds
=
G
q,
1
q
+1
,q
+1
x
1
, B
A,
0
!
.
Вопрос о неотрицательности функции в правой части этого равенства эквивалентен
вопросу об ограничениях на параметры
A
и
B
, гарантирующих, что последователь-
ность
q
Y
i
=1
Γ(
b
i
)
Γ(
a
i
)
1
Z
0
x
n
G
q,
1
q
+1
,q
+1
x
1
, B
A,
0
!
dx
=
1
n
+ 1
(
1
−
q
Y
k
=1
(
a
k
)
n
+1
(
b
k
)
n
+1
)
, n
= 0
,
1
, . . . ,
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
103
является последовательностью моментов Хаусдорфа.
Список литературы
1.
H. Alzer, On some inequalities for the gamma and psi functions, Mathematics of
Computation, Volume 66, Number 217(1997), 373–389.
2.
R.A. Askey and A.B. Olde Daalhuis, Generalized Hypergeometric Functions and Meijer G-
Function, Chapter 16, pp.403–419, NIST Handbook of Mathematical Functions (edited by
F.W.J. Olver, D.W. Lozier, R.F. Boisvert, C.W. Clark), Cabridge University Presss, 2010.
3.
C. Berg, Integral Representation of Some Functions Related to the Gamma Function,
Mediterranean Journal of Mathematics, 1 (2004), 433–439.
4.
S.I. Kalmykov and D.B. Karp, Log-concavity for series in reciprocal gamma functions and
applications, Integral Transforms and Special Functions, article in press, 2013.
5.
S.I. Kalmykov and D.B. Karp, Log-convexity and log-concavity for series in gamma ratios
and applications, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 406(2013), 400–
418.
6.
D. Karp and E. Prilepkina, Hypergeometric functions as generalized Stieltjes transforms,
Journal of Mathematical Analysis and Applications, Volume 393, Issue 2(2012), 348–359.
7.
D. Karp and E. Prilepkina, Generalized Stieltjes functions and their exact order, Journal
of Classical Analysis, 2012, Volume 1, Number 1(2012), 53–74.
8.
D. Karp and S.M. Sitnik, Inequalities and monotonicity of ratios for generalized
hypergeometric function, Journal of Approximation Theory 161(2009), 337–352.
9.
D. Karp and S.M. Sitnik, Log-convexity and log-concavity of hypergeometric-like
functions, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 364(2010), 384–394.
10.
A.A. Kilbas, M. Saigo, H-transforms and applications, Analytical Methods and Special
Functions, Volume 9, Chapman & Hall/CRC, 2004.
11.
V.S. Kiryakova, Generalized Fractional Calculus and Applications, Pitman Research
Notes in. Math. Series No. 301, Longman Group UK Ltd., 1994.
12.
Y. L. Luke,
Inequalities
for
generalized
hypergeometric
functions,
Journal
of
Approximation Theory, 5(1972), 41–65.
13.
A.W. Marshall, I. Olkin and B.C. Arnold, Inequalities: Theory of Majorization and Its
applications, second edition, Springer, 2011.
14.
D.S. Mitrinovi´
c, J.E. Pecari´
c, A.M. Fink, Classical and new inequalities in Analysis,
Kluwer Academic Publishers, 1993.
15.
A.P. Prudnikov, Yu.A. Brychkov and O.I. Marichev Integrals and series, Volume 3: More
Special Functions, Gordon and Breach Science Publishers, 1990.
16.
K. Sato, L´
evy processes and infinitely divisible distributions, Cambridge University Press,
1999.
17.
R.L. Schilling, R. Song Z. Vondraˇ
cek, Bernstein Functions. Theory and Applications,
Walter de Gruyter, Studies in Mathematics, 37, 2010.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
УДК 621.3
ДИАГНОСТИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ
ОТОЖДЕСТВЛЕНИЯ НЕКОТОРЫХ
НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ
П.В. Кац
Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН
Россия, 690041, Владивосток, Радио 5
E-mail:
pkatz@dvo.ru
Н.В. Киншт
Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН
Россия, 690041, Владивосток, Радио 5
E-mail:
kin@dvo.ru
Ключевые слова:
диагностика электрических цепей, отождествление па-
раметров
Одной из актуальных задач является диагностика электрических цепей. В
данной статье рассматривается один из методов диагностики, использую-
щий отождествление однотипных параметров схемы. Такое отождествление
позволяет выделить неизвестные из уравнения в явном виде, что заметно
снижает трудоемкость вычислений.
Одним из подходов к диагностике электрических цепей (ЭЦ) явилось пред-
ставление диагностируемой ЭЦ в виде многополюсника с (частично) доступными
узлами, параметры которого подлежат определению. В качестве диагностической
модели ЭЦ примем ее матрицу контурных сопротивлений –
Z
k
, и, соответственно,
основное уравнение для анализа электрического режима имеет вид:
Z
К
∆
I
= ∆
E
,
где
∆
I
=
col
[
I
1
. . . I
m
]
– вектор (изменения) контурных токов,
∆
E
=
col
[
U
1
. . . U
m
]
– вектор (изменения) контурных источников напряжений,
Z
К
=
Z
11
. . .
Z
1
n
..
.
. ..
..
.
Z
n
1
. . .
Z
nn
– квадратная матрица контурных сопротивлений. Для вос-
становления этой матрицы необходимо провести n экспериментов, варьируя источ-
ники напряжения и измеряя токи ветвей. В ряде задач диагностирования ЭЦ име-
ется возможность отождествить некоторые из искомых параметров между собой.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.